高中數(shù)學(xué)圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)-資料下載頁
2025-04-04 05:07本頁面
【正文】 0,exa≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞).（2）∵f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，∴≥0在R上恒成立.∴exa≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex0，∴a≤0.（3） 由題意知，x=0為f(x)的極小值點.∴=0,即e0a=0,∴a=1.例2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3xy+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 ①當(dāng)x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b==1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x24x+5,∴=3x2+4x4,令=0,得x=2,x=.當(dāng)x變化時，y ,y′的取值及變化如下表：x3(3,2)21 y′+00+y8單調(diào)遞增↗13單調(diào)遞減↘單調(diào)遞增↗4 ∴y=f（x）在［3，1］上的最大值為13，最小值為 ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.例4 設(shè)函數(shù)在及時取得極值．（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．解答過程：（Ⅰ），因為函數(shù)在及取得極值，則有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，． 令,有,解得, ， ,．∴時, 因為對于任意的，有恒成立，所以，即解得 或，因此的取值范圍為．例5 設(shè)函數(shù)（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時，求a的取值范圍例6已知函數(shù)的最小值為0，其中（1）求a的值；（2）若對任意的，有成立，求實數(shù)k的最小值例7設(shè)函數(shù)f(x)= exax2(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x0時,(xk) f180。(x)+x+10,求k的最大值
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