概率論習(xí)題解答(蘇敏邦)-資料下載頁
2025-03-25 04:53本頁面
【正文】 x，y)，因此，X與Y相互獨立．習(xí)題41．盒中有5個球，其中有3個白球，2個紅球．從中任取兩球，求白球個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解由題意可知因此2．某地區(qū)計劃明年出生1000個嬰兒，若男孩出生率為p＝，問明年(1)出生多少男孩？(2)期望出生多少男孩？答案是：(1)0～1000；(2)512．3．兩臺生產(chǎn)同一種零件的車床，一天中生產(chǎn)的次品數(shù)的概率分布分別是甲臺次品數(shù)0123p乙臺次品數(shù)0123p0如果兩臺車床的產(chǎn)量相同，問哪臺車床好？答案是：乙好．4．設(shè)隨機變量X的分布密度函數(shù)為求E(X)．解 由定義，有5．10個隨機地進入15個房間，每個房間容納的人數(shù)不限，設(shè)表示有人的房間，求（設(shè)每個人進入每個房間是等可能的，且每人進入房間是相互獨立的）．解 設(shè)隨機變量（=1，2，…，15）則，且服從同一分布，因每人進入某個房間的概率均為．則 于是 故有而，（=1，2，…，15），因此6．假設(shè)市場上每年對某種出口商品的需求量X（單位：噸），它服從[2000，4000]上的均勻分布．每年售出這種商品一噸，可為掙得3萬元，但假設(shè)銷售不出去，囤積于倉庫，每噸浪費保管費1萬元，問應(yīng)組織多少噸貨源，才是收入最大？解 設(shè)預(yù)備某年銷售商品量為噸（顯然有2000≤≤4000），用表示這年的收益（萬元），則利用求函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式，可得組織噸貨源時，所獲得的期望收益為兩邊對求導(dǎo)，得，令，得=3500．即組織3500噸貨源時收益最大．7．一輛送客汽車，載有m位乘客從起點站開出，沿途有n個車站可以下車，若到達一個車站，沒有乘客下車就不停車．設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)．分析 由于所求的是汽車平均停車的次數(shù)，因此，我們從每一個車站有沒有人下車來考慮，而不要著眼于每一個乘客在哪一站下車．這里，設(shè) 于是，我們有因此，隨機變量，其均值又設(shè)停車次數(shù)為S，于是有其均值可見，汽車平均停車次數(shù)為8．地鐵到達一站時間為每個整點的第5分鐘、25分鐘、55分鐘，設(shè)一乘客在早8點～9點之間隨時到達，求侯車時間的數(shù)學(xué)期望．分析 已知X在[0，60]上服從均勻分布，其密度為設(shè)Y是乘客等候地鐵的時間(單位：分)，則因此9．有3個小球和2個杯子，將小球隨機地放入杯中，設(shè)X為有小球的杯子數(shù)，求X的分布函數(shù)及數(shù)學(xué)期望E(X)．解 設(shè)A＝{甲杯有球個數(shù)}，B＝{乙杯有球的個數(shù)}．當(dāng)X＝1或2(見表4－1)時，由加法公式有因此 表4－1甲杯乙杯X=13003X=2211210．設(shè)二維隨機向量(X，Y)的聯(lián)合分布密度函數(shù)求E(XY)．分析 因為p(x，y)＝p1(x)p2(y)，其中 所以，X與Y相互獨立．由于因此求E(X)，D(X)．答案是：由于，即X服從（0，4]上的均勻分布，所以～N(0，4)，Y～U(0，4)，且X，Y相互獨立，求E(XY)，D(X＋Y)及D(2X－3Y)．答案是：E(XY)＝0，D(2X－3Y)＝28．13．設(shè)X與Y為相互獨立的隨機變量，已知X在[2，4]上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求E(XY)，．解 由于，，14．設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為已知E(X)=，D(X)=．求，的值解 由密度函數(shù)的性質(zhì)，即 （1）而，所以 （2）由，得而，所以 （3）由（1）（2）（3）所組成的方程組，得，15．設(shè)二維離散型隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布如下 YX10101（1）判斷X與Y是否獨立？（2）計算X與Y的協(xié)方差；（3）計算．解 （1）計算出X與Y的邊緣分布填入上表．從，而可知X與Y不相互獨立．（2）因為，．因此（3）16．設(shè)隨機變量（X，Y）的密度函數(shù)為求，，．解 當(dāng)，時，當(dāng)，時，而所以，同理故17．設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求隨機變量X的1至3階原點矩和中心矩．解， ，，．習(xí)題51．一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的．假設(shè)每箱平均重50 kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5 kg．若用最大載重量為5 t的汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，．解 設(shè)Xi(i＝1，2，…，n)是裝運的第i箱的重量(單位：kg)，n是所求箱數(shù)．由條件可以把X1，X2，…，Xn視為獨立同分布隨機變量，而n箱的總重量Tn＝X1＋X2＋…＋Xn是獨立同分布隨機變量之和．由條件知(單位：kg)．根據(jù)列維－林德伯格中心極限定理，Tn近似服從正態(tài)分布N(50n，25n)．箱數(shù)n決定于條件由此可見從而n＜，即最多可以裝98箱．，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率．解 用X表示10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，則X～B(n，p)，其中n＝10000，p＝．要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求,由棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理，有令于是有，以95％概率估計，在一次行動中：(1)至少有多少人能夠進入?(2)至多有多少人能夠進入? 解 用Xi表示第i人能夠按時進入掩蔽體(i＝1，2，…，1000)，令Sn＝X1＋X2＋…＋X1000．(1)設(shè)至少有m人能進入掩蔽體，要求P(m≤Sn≤1000)≥．事件令顯然令根據(jù)中心極限定理，有查正態(tài)分布數(shù)值表，得a＝－，即故m＝900－＝≈884人．(2)設(shè)至多有M人能進入掩蔽體，要求P(0≤Sn≤M)≥．P(Sn≤M)＝P(Y≤b)＝，b＝，即M＝900＋＝≈916人．31
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