概率論習(xí)題解答(蘇敏邦)(參考版)
2025-03-28 04:53本頁面
【正文】 p2(y)＝p(x，y)，因此，X與Y相互獨(dú)立．習(xí)題41．盒中有5個(gè)球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球．從中任取兩球，求白球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解由題意可知因此2．某地區(qū)計(jì)劃明年出生1000個(gè)嬰兒，若男孩出生率為p＝，問明年(1)出生多少男孩？(2)期望出生多少男孩？答案是：(1)0～1000；(2)512．3．兩臺(tái)生產(chǎn)同一種零件的車床，一天中生產(chǎn)的次品數(shù)的概率分布分別是甲臺(tái)次品數(shù)0123p乙臺(tái)次品數(shù)0123p0如果兩臺(tái)車床的產(chǎn)量相同，問哪臺(tái)車床好？答案是：乙好．4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為求E(X)．解 由定義，有5．10個(gè)隨機(jī)地進(jìn)入15個(gè)房間，每個(gè)房間容納的人數(shù)不限，設(shè)表示有人的房間，求（設(shè)每個(gè)人進(jìn)入每個(gè)房間是等可能的，且每人進(jìn)入房間是相互獨(dú)立的）．解 設(shè)隨機(jī)變量（=1，2，…，15）則，且服從同一分布，因每人進(jìn)入某個(gè)房間的概率均為．則 于是 故有而，（=1，2，…，15），因此6．假設(shè)市場(chǎng)上每年對(duì)某種出口商品的需求量X（單位：噸），它服從[2000，4000]上的均勻分布．每年售出這種商品一噸，可為掙得3萬元，但假設(shè)銷售不出去，囤積于倉庫，每噸浪費(fèi)保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)組織多少噸貨源，才是收入最大？解 設(shè)預(yù)備某年銷售商品量為噸（顯然有2000≤≤4000），用表示這年的收益（萬元），則利用求函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式，可得組織噸貨源時(shí)，所獲得的期望收益為兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，令，得=3500．即組織3500噸貨源時(shí)收益最大．7．一輛送客汽車，載有m位乘客從起點(diǎn)站開出，沿途有n個(gè)車站可以下車，若到達(dá)一個(gè)車站，沒有乘客下車就不停車．設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)．分析 由于所求的是汽車平均停車的次數(shù)，因此，我們從每一個(gè)車站有沒有人下車來考慮，而不要著眼于每一個(gè)乘客在哪一站下車．這里，設(shè) 于是，我們有因此，隨機(jī)變量，其均值又設(shè)停車次數(shù)為S，于是有其均值可見，汽車平均停車次數(shù)為8．地鐵到達(dá)一站時(shí)間為每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘、55分鐘，設(shè)一乘客在早8點(diǎn)～9點(diǎn)之間隨時(shí)到達(dá)，求侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．分析 已知X在[0，60]上服從均勻分布，其密度為設(shè)Y是乘客等候地鐵的時(shí)間(單位：分)，則因此9．有3個(gè)小球和2個(gè)杯子，將小球隨機(jī)地放入杯中，設(shè)X為有小球的杯子數(shù)，求X的分布函數(shù)及數(shù)學(xué)期望E(X)．解 設(shè)A＝{甲杯有球個(gè)數(shù)}，B＝{乙杯有球的個(gè)數(shù)}．當(dāng)X＝1或2(見表4－1)時(shí)，由加法公式有因此 表4－1甲杯乙杯X=13003X=2211210．設(shè)二維隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合分布密度函數(shù)求E(XY)．分析 因?yàn)閜(x，y)＝p1(x)p2(y)≠p(x，y)，故X與Y不獨(dú)立．(4)15．求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析(1)由可導(dǎo)出(2)(3)由p(x，y)＝f1(x)j1(X，Y)聯(lián)合分布如下表YX1012120求二維隨機(jī)向量的函數(shù)Z的分布：（1）Z=X+Y。j1分析 應(yīng)注意到X與Y相互獨(dú)立．解 由于P(X＝x1，Y＝y(tǒng)1)＝P(Y＝y(tǒng)1)－P(X＝x2，Y＝y(tǒng)1)考慮到X與Y相互獨(dú)立，有P(X＝x1)P(Y＝y(tǒng)1)＝P(X＝x1，Y＝y(tǒng)1)，所以同理，可以導(dǎo)出其他數(shù)值．故XY的聯(lián)合分布律為YXy1y2y3P{X＝xi}＝pi解 設(shè)事件A，B分別表示產(chǎn)品為一、二等品，顯然事件A與B互補(bǔ)相容，并且事件表示產(chǎn)品為合格品，于是，,.可見 、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取到自己的筆的概率；（2）都沒有取到自己的筆的概率．分析 設(shè)D1＝{都取到自己的筆}，D2＝{都沒有取到自己的筆}．這是一個(gè)古典概型問題．我們有n＝3!＝6．情況甲 乙 丙m每個(gè)人都取到自己的筆A B C1恰有兩個(gè)人取到自己的筆A B C1恰有一個(gè)人取到自己的筆A C B C B A B A C 3三個(gè)人都沒有取到自己的筆C A B B C A 2因此，已知P(A)＝1/4，P(B)＝1/6，求P(B|A)．解 因?yàn)锽A，所以P(B)＝P(AB)，因此，無放回地抽取兩件，問第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 設(shè)事件A＝{第一次取到正品}，B＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以由公式(1－4)，求第二個(gè)人抓到的概率．解 這是一個(gè)乘法公式的問題．設(shè)Ai＝{第i個(gè)人抓到有物之鬮}(i＝1，2，3，4，5)，有根據(jù)事件相同，對(duì)應(yīng)概率相等有又因?yàn)樗裕O(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率．答案是：(或1－)．，其中有次品10個(gè)．每次從中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．答案是：．，某船只在不同情況下運(yùn)輸某種物品，損壞2％，10％，90％，．現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件全是好的，試分析這批物品的損壞率為多少？分析 設(shè)B＝{三件都是好的}，A1＝{損壞率為2％}，A2＝{損壞率為10％}，A3＝{
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