【正文】 P???（2） t概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 54 頁 (共 78 頁)54解 (1) ??????(5)1(5),(5)0.,PtPtPt??????????查表得 (2) ????().,576???查 表 得11. 查 F 分布表求下列各式的值：（1） (1,)。合并數(shù)據(jù)為 8 組，結(jié)果如下表：序號組 (ti1, ti),頻數(shù)頻率 序號組(t i1, ti)頻數(shù)頻率1 (329, 352]2 6 (444, 490]2 2 (352, 375]3 7 (490, 513]1 3 (375, 398]5 8 (513, 559]1 4 (398, 421]5 5 (421, 444]11 合計30 1根據(jù)表上數(shù)據(jù)作出直方圖，如下圖所示：再用組中值的頻率分布 組中間值340.5363.5386.5409.5432.5 467501.5 534頻率7 777733yxOf(x)329 559概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 53 頁 (共 78 頁)53可求出經(jīng)驗分布函數(shù) F30(x).300,.,8.,..9()5,.,1.,..41,53xFxxx??????????8. 設(shè) X1，X 2，…，X 10 為 N（0， 2）的一個樣本，求.0(4)iiP???解 由于 Xk 是來自 N(0, )的樣本，則 ，0~(,1),3kXN?k=1,2,…,10，所以有 服從自由度 n=10 的? 2 分布. ??????????因此 kPXPX??????????查表可知， =.()?故 0211k????????9. 查 分布表求下列各式中 λ 的值：2x（1） 2(8)。 39YyFy(4) 由(2),(3)可知： , 所以 X，Y 相互獨立. (,)()XYffy(X, Y) 的聯(lián)合概率密度為 (x+y)e,0,(,)xf???????其 他（1）求分布函數(shù) F(x, y)；（2）求(X ，Y) 落在由 x＝0，y＝0，x＋y＝1 所圍成的三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率. 解 (1) 當(dāng) x0, y0 時， ()0(,)(1)yxuvxyFede?????? 否則，F(xiàn)( x, y) = 0. (2) 由題意，所求的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 21 頁 (共 78 頁) 1()10(,),???????（X，Y ）的聯(lián)合概率密度為 (3x+4y)Ae,(,)0xyfxy?????其 他求：（1）常數(shù) A；（2）X ，Y 的邊緣概率密度；（ 3）(0,)PXY??.解 (1) 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，可得 (34)0(,)1/12xyfxydAedA???????????解得 A=12.(2) X, Y 的邊緣概率密度分別為： (34)3012,0()(,),xyxX edefxfydothr?????????????????(34)40,()(,),xyyYfyfxte?????????(3) 01,2Pxy??2(34)8(ed????（X，Y ）的聯(lián)合概率密度為 2,01,2,(,)30xyxyfxy???????其 他求 P(X＋Y≥1).解 由題意，所求的概率就是(X,Y)落入由直線 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 圍的區(qū)域 G 中, 則概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 22 頁 (共 78 頁)1203(,)(,)45672GxPxyfydd???????(X, Y)在圖 所示的區(qū)域 G 上服從均勻分布，試求(X, Y) 的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度. 解 由于(X, Y)服從均勻分布，則 G 的面積 A 為： , 2112022(,)()6xGAfxyddyxd???????(X, Y)的聯(lián)合概率密度為： .6,(,)fxyother????? X,Y 的邊緣概率密度為： 226(),01()(,)0,xX dyxfxfyother??????????????(),()(,),yY yfyfxt???? X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量，X 在(0, )上服從均勻分布，Y 的概率密度是 5,0()yyef????????求：（1）X 和 Y 和聯(lián)合概率密度； （2）P(Y≤X).解 由于 X 在(0, )上服從均勻分布，所以 ()1/?(1) 由于 X，Y 相互獨立，因此 X, Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為：52,0,.2(,)()yXYexfxyf other???????(2) 由題意，所求的概率是由直線 x=0, x=, y=0, y=x所圍的區(qū)域，y=x0 xy概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 23 頁 (共 78 頁)如右圖所示， 因此 ()(,)1xyGxPYXfydede?????????（X，Y）的聯(lián)合概率密度為 1,0,2(,)2xyfxy???????其 他求 X 與 Y 中至少有一個小于 的概率.解 所求的概率為 ()()2,(,)58PXYfxyd??????????????? X 與 Y 相互獨立，且 X －1 1 3 Y －3 1P P 250 14求二維隨機變量（X，Y ）的聯(lián)合分布律. 解 由獨立性，計算如下表XY 1 1 3 jp:3 1/8 1/20 3/40 1/41 3/8 3/20 9/40 3/4ip:1/2 1/5 6/20（X，Y ）的聯(lián)合分布律為概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 24 頁 (共 78 頁) X 1 2 3 Y 1 1619182 a b c（1）求常數(shù) a，b， c 應(yīng)滿足的條件；（2）設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，求常數(shù) a，b，c.解 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)，有： , 即 a + b + c =11698abc???123?? 又，X, Y 相互獨立，可得 ::698 從而可以得到： 2,39c（X，Y ）的聯(lián)合分布函數(shù)為232,0,11(,),xyyF?????????????其 他 ，求邊緣分布函數(shù) 與 ，并判斷隨機變量 X 與 Y 是()x()y否相互獨立. 解 由題意, 邊緣分布函數(shù) 22lim,0(),)10,yX xFxx??????????? 下面計算 FY(y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 25 頁 (共 78 頁) 2320, 0(),)lim,11,YxxyFyyy????????????? 可以看出，F(xiàn)(x,y)= F x(x) FY(y), 因此， X，Y 相互獨立. 39. 設(shè)二維隨機變量（X ，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 132,1(,)0yexfx????????其 他 ，求邊緣概率密度 與 ，并判斷隨機變量 X 與 Y 是()Xf()Yfy否相互獨立. 解 先計算 , 當(dāng) x1 時, ()Xf ()0Xfx? 當(dāng) x≥ 1 時, 1133322yyedx???????? 再計算 , 當(dāng) y1 時, ()Yf ()Yf 當(dāng) y≥ 1 時, 11132()yyyYfxe??????? 可見, , 所以隨機變量 X, Y 相互獨立()Xfx?40. 設(shè)二維隨機變量（X ，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 ,(,)0xyxf??????????其 他 ，求邊緣概率密度 與 ，并判斷隨機變量 X 與 YXf()Yf是否相互獨立. 解 先計算 , 當(dāng) x0 或者 x1 時, ()Xf ()0Xfx? 當(dāng) 1≥x≥0 時, 1210()Xfydy???? 再計算 , 當(dāng) y0 或者 y1 時, ()Yf ()Yf概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 26 頁 (共 78 頁) 當(dāng) 1≥y≥0 時, 1201()0Yfyxdyxy????? 由于 , 所以隨機變量 X,Y(,)Xfx?????????不獨立41. 設(shè)二維隨機變量（X ，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 2,0(,)0xyefy????????其 他求隨機變量 Z＝X－2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函數(shù) F(z) :2())(2(,)DXYzFzPzfxyd??????當(dāng) z0 時，積分區(qū)域為：D={(x,y)|x0, y0, x?2y≤z} 求得 220()zyyded????241zzze??? 當(dāng) z≥0 時，積分區(qū)域為： D={(x,y)|x0, y0, x?2y≤z}， 20()zyxyFded????412zze???由此, 隨機變量 Z 的分布函數(shù)為 1,02()zzeF???????因此, 得 Z 的密度函數(shù)為： 1,02()zef????????42. 設(shè)隨機變量 X 和 Y 獨立，X～ ，Y 服從［－b，b］(b0) 上的均勻分布，求2()N???隨機變量 Z＝X＋Y 的分布密度. 解 解法一 由題意，0zxyzxyxyyx?2y=zx?2y=zzxyxy0zxyDyyDy概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 27 頁 (共 78 頁)2()11()()(zyabXYFzfzyfdedb????????????令 則/,[,]att????21()2zba zbazbae? ????? ?????解法二 2()()),1()1()2112XYzbFzfxzdx,+xaedxbzzazbaabzb?????????????????????????????????????????????????zb????????43. 設(shè) X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，Y 服從12參數(shù)為 的指數(shù)分布，且 X 與 Y 獨立，求 Z＝X＋Y 的密13度函數(shù). 解 由題設(shè)，X~ , Y~120,()Xxfe????????130,()xfye????????并且，X， Y 相互獨立，則 ()()ZXFzfxzd???由于 僅在 x0 時有非零值， 僅當(dāng) z?x0，即 zx()Xfx Y時有非零值，所以當(dāng) z0 時， =0, 因此 =0. ()Xf ()Zf 當(dāng) z0 時，有 0zx, 因此1132()0()zzxxZFed???1632zzxe??44. 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X 0 1 2 3概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 28 頁 (共 78 頁) Y0 0 1 2 求：（1）Z＝X ＋Y 的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y ）的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值為：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = Z=X+Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5p 0 同理，U=max(X,Y) 的分布如下 U∈{0,1,2,3}U 0 1 2 3p 0 同理，V=min(X,Y) 的分布分別如下 V∈{0,1,2}V 0 1 2p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 29 頁 (共 78 頁)第三章 隨機變量的數(shù)字特征1. 隨機變量 X 的分布列為 X －1 0 1 22 P 3616 14求 E(X)，E(－X＋1)，E(X 2)解 1111362243()0E???????112366243()()()()()??????或者 13EX222222351113664()X2. 一批零件中有 9 件合格品與三件廢品，安裝機器時從這批零件中任取一件，如果取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)取得合格品之前已經(jīng)取出的廢品數(shù)為 X, X 的取值為0, 1,