【正文】 對(duì)及項(xiàng)作檢驗(yàn)：故方程中兩項(xiàng)均為顯著。（1）試確定與之間的關(guān)系表達(dá)式（2）求出其中系數(shù)的最小二乘估計(jì)（3）對(duì)回歸方程及各項(xiàng)作顯著性檢驗(yàn)試驗(yàn)號(hào)金屬成分和膨脹系數(shù)12345678910111213解 （1）由散點(diǎn)圖可知與的關(guān)系為： 并可假設(shè)。對(duì)各因子作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量分別為故在的水平上，是顯著的，與是不顯著的。 研究同一地區(qū)土壤中所含植物可給態(tài)磷的情況，得到18組數(shù)據(jù)如下，其中，——土壤內(nèi)所含無機(jī)磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機(jī)磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有機(jī)磷濃度——載在土壤內(nèi)的玉米中可給態(tài)磷的濃度已知與之間有下述關(guān)系：各相互獨(dú)立，均服從分布，試求出回歸方程，并對(duì)方程及各因子的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。解 若記 則的最小二乘估計(jì)為下述方程組的解： （*）的最小二乘估計(jì)為： 若把方程組（*）的系數(shù)矩陣記為，則，又記，則在顯著性水平上檢驗(yàn)的拒絕域是： 其中， 某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蜇晻r(shí)，得尿貢含量與肖光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如下：尿貢含量246810肖光系數(shù)64138205285360已知它們之間有下述關(guān)系式： 各相互獨(dú)立，均服從分布，試求的最小二乘估計(jì)，并給出檢驗(yàn)假設(shè) 的拒絕域。解 設(shè)所求回歸方程為，由數(shù)據(jù)可以求出： 由最小二乘法估計(jì)公式可知 故可得回歸方程：的估計(jì)是 則的估計(jì)為655 設(shè)相互獨(dú)立同服從于。？通過原點(diǎn)的二元線性回歸模型是怎樣的？分別寫出結(jié)構(gòu)矩陣，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)矩陣，并寫出回歸系數(shù)的最小二乘法估計(jì)公式。溫度606570758005213266367264806151518 計(jì)算表方差分析表來源平方和自由度均方和F比溫度e38410總和17由于，所以在上水平上認(rèn)為溫度對(duì)得率有顯著影響。第八章 方差分析和回歸分析 考察溫度對(duì)某一化工產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下做了三次實(shí)驗(yàn)，測得其得率如下，試分析溫度對(duì)得率有無顯著影響。列表斷頭數(shù)1234501234826811238198取，=，取 ，=由于，所以拒絕。問每只錠子的紡紗條件是否相同？每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實(shí)測） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個(gè)錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個(gè)普哇松分布，所以問題是要檢驗(yàn)每只錠子的斷頭數(shù)。解 對(duì)每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點(diǎn)分布描述，而對(duì)一個(gè)靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項(xiàng)分布來描述，其中未知，可求其極大似然估計(jì)為設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個(gè)數(shù)，建立假設(shè)用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法列表如下：0123456789100241022261812420 取 ，=由于，所以接受。組 距 頻數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間 5781265 用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。 對(duì)某型號(hào)電纜進(jìn)行耐壓測試實(shí)驗(yàn)，記錄43根電纜的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測試電壓 擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對(duì)電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗(yàn)（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）。解：用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如果成立 列表計(jì)算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391256， =由于，所以拒絕。 假設(shè)六個(gè)整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機(jī)地選擇，重復(fù)60次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。解 由于未知，用統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算各數(shù)據(jù)值后可以得到均值的置信區(qū)間，置信上限為，下限為 隨機(jī)取9發(fā)炮彈做實(shí)驗(yàn)，得炮口速度的方差的無偏估計(jì)（米/秒）2，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，分別求出炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的置信水平為90%的置信區(qū)間。要比較兩臺(tái)機(jī)床加工的精度，既要檢驗(yàn) 由 F檢驗(yàn) 時(shí)查表得：， 由于，所以接受，即不能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床的加工精度有顯著差異。解：假定甲產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計(jì)算得。 ， 乙 ， ， ， ， ， ， 。，所得產(chǎn)量分別為，假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計(jì)算得，問是否可認(rèn)為兩個(gè)品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別？解 甲作物產(chǎn)量，乙作物產(chǎn)量，即要檢驗(yàn)由于，未知，要用兩子樣t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)假設(shè)，由F檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為（）故接受假設(shè)，于是對(duì)于要檢驗(yàn)的假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量又時(shí)，所以接受原假設(shè)，即兩品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別。由t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 取=，又由于，故接受 某紡織廠在正常工作條件下，該廠作輕漿試驗(yàn)，將輕紗上漿率減低20%，在200臺(tái)布機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，問新的上漿率能否推廣？。即新工藝對(duì)電阻有顯著差異。 ，改變加工工藝后，測得100個(gè)零件，根方差不變，問新工藝對(duì)此零件的電阻有無顯著差異？去顯著性水平=。 設(shè)某產(chǎn)品指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的根方差已知為150小時(shí)。（2）不犯第二類錯(cuò)誤的概率為 設(shè)一個(gè)單一觀測的子樣取自分布密度函數(shù)為的母體，對(duì)考慮統(tǒng)計(jì)假設(shè)：試求一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)使犯第一，二類錯(cuò)誤的概率滿足，并求其最小值。 設(shè)子樣取自正態(tài)總體，已知，對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)，取臨界域，（1）求此檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤概率為時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率，并討論它們之間的關(guān)系；（2）設(shè)=，=，=，n=9，求=。 ，故，所以總體中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)的95%的置信區(qū)間觀測值為。樣本成數(shù)，估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)差SE的估計(jì)為。20. 解19. 解18. 解17. 解16. 解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。，即為。14. 解，即為。13. 解 由于已知，所以選用的置信區(qū)間。 。 ，由公式（9），故12. 證明 所以都是總體均值的無偏估計(jì)。10. 證明：故的最大似然估計(jì)是的無偏估計(jì)。9. 解 似然函數(shù)由樣本觀測值可算得。7. 解6. 解 5. 解4. 解3. 解 ，故的矩估計(jì)量?？梢钥闯龅木毓烙?jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。故似然函數(shù)為（2），令，故的矩估計(jì)量。 解得的最大似然估計(jì)量。習(xí)題解答1. 解 （1），故的矩估計(jì)量有。20. 在3091個(gè)男生，3581個(gè)女生組成的總體中，隨機(jī)不放回地抽取100人，觀察其中男生的成數(shù)，要求計(jì)算樣本中男生成數(shù)的SE。從甲生產(chǎn)線并假設(shè)抽取10只管頭測得其平均質(zhì)量，已知其總體標(biāo)準(zhǔn)差；從乙生產(chǎn)線抽取20只罐頭測得其平均質(zhì)量，已知其總體標(biāo)準(zhǔn)差。18. 某食品加工廠有甲乙兩條加工豬肉罐頭的生產(chǎn)線?，F(xiàn)測量五爐鐵水，其含碳量分別是：,（1%）。15. 隨機(jī)地取某種子彈9發(fā)作試驗(yàn)，測得子彈速度的，設(shè)子彈速度服從正態(tài)分布。14. 假定某商店中一種商品的月銷售量服從正態(tài)分布，未知。12. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，其中未知，令，試證是的相合估計(jì)。10. 試證第8題中的最大似然估計(jì)是的無偏估計(jì)。9. 在第3題中的矩估計(jì)是否是的無偏估計(jì)？解7. 已知某路口車輛經(jīng)過的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，其中未知，現(xiàn)在觀測到六個(gè)時(shí)間間隔數(shù)據(jù)（單位：s）：,4,8,，試求該路口車輛經(jīng)過的平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。其中未知，求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。5. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為 3. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從區(qū)間的均勻分布，其中未知，求的矩估計(jì)。第六章習(xí)題1. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，在下列情形下，試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)：（1），其中未知，；（2），其中未知。13. 。 12. 。 9. 0，第個(gè)樣本居民未受過高等教育其中答：（1）樣本中不少于11%；（2）樣本中19%和21%。 1，第個(gè)樣本居民受過高等教育樣本中年收入超過1萬的比例即為，由于較大，可以使用漸近分布求解，即，所求概率即為（2）同（1）解法引入新變量： （2）（3），其中 （1） 7. 解 即，自由度為3。又，與相互獨(dú)立，則即6. 解（1）易見，即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和，服從分布，即；自由度為2。：（1）獨(dú)立同分布于，由分布的定義，即。 由t分布關(guān)于縱軸對(duì)稱，所以即為。 3. 解（3）樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 其他（2）和是，和不是。 解 習(xí)題解答1. 解 12. 若，則服從什么分布？容量為的樣本，求下列統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布：（1）；（2）；（3）。9. 設(shè)總體，（1）抽取容量為36的樣本，求；（2）抽取容量為64的樣本，求；（3）取樣本容量n多大時(shí)，才能使。8. 某市有100000個(gè)年滿18歲的居民，他們中10%年收入超過1萬，20%受過高等教育。7. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，在下列三種情況下，分別求：（1）；（2）；（3），其中。6. 設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量，且每一個(gè)都服從。 4. 設(shè)，求常數(shù)，使。 3. 查表求。 1. 設(shè)是來自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本，試寫出樣本的聯(lián)合分布律。 利用中心極限定理證明：證：設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，共同分布為的Poisson分布，故，由林德貝爾格勒維中心極限定理知由Poisson分布的可加性知服從參數(shù)為的Poisson分布，因而，但，所以成立，結(jié)論得證。 設(shè)皆為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且獨(dú)立，其中，證明：的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布。，且服從上的均勻分布，證明對(duì)成立中心極限定理。 設(shè)隨機(jī)變量服從分布，其分布密度為證：當(dāng)時(shí)，的分布函數(shù)弱收斂于分布。 用特征函數(shù)的方法證明“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。 ，任取10000件，問不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令則，記，其中，記，由中心極限定理有。006，死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多大？解：保險(xiǎn)公司一年的總收入為120000元，這時(shí)（1） 若一年中死亡人數(shù)，則公司虧本；（2） 若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；令則，記已足夠大，于是由中心極限定理可得欲求事件的概率為（1）同理可求得（2） 有一批種子，其中良種占，從中任取6000粒，？解：令則，記，其中，據(jù)題意即要求使?jié)M足。解：令因?yàn)榕虐媾c校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序，因而是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。 如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時(shí)尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？解：令據(jù)題意選取試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足，因?yàn)楸容^大，由中心極限定理有故應(yīng)取，即，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有，因而，故可取。，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖冢尚翚J大數(shù)定律