【正文】 ，統(tǒng)計量 由于，故拒絕原假設。即新工藝對電阻有顯著差異。，對同樣的試樣進行分析，各人實驗分析的結(jié)果如下：實驗號 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 8 乙 試問甲乙兩人的實驗分析之間有無顯著差異？解 此問題可以歸結(jié)為判斷是否服從正態(tài)分布，其中未知，即要檢驗假設。由t檢驗的統(tǒng)計量 取=，又由于，故接受 某紡織廠在正常工作條件下，，該廠作輕漿試驗，將輕紗上漿率減低20%，在200臺布機上進行實驗，，問新的上漿率能否推廣？。解 設減低上漿率后的每臺布機斷頭率為隨機變量，問新上漿率能否推廣就要分析每臺布機的平均斷頭率是否增大，即要檢驗由于未知，且n較大，用t檢驗，統(tǒng)計量為查表知，故拒絕原假設，不能推廣。，所得產(chǎn)量分別為，假設作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計算得，，問是否可認為兩個品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別？解 甲作物產(chǎn)量，乙作物產(chǎn)量，即要檢驗由于，未知，要用兩子樣t檢驗來檢驗假設，由F檢驗，統(tǒng)計量為（）故接受假設，于是對于要檢驗的假設取統(tǒng)計量又時，所以接受原假設，即兩品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別。、乙兩臺機床，加工同樣產(chǎn)品，從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干產(chǎn)品，測得產(chǎn)品直徑為（單位：mm）： 甲 ， ， ， ， ， 。 ， 乙 ， ， ， ， ， ， 。試比較甲乙兩臺機床加工的精度有無顯著差異？顯著性水平為。解：假定甲產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計算得。乙產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計算得。要比較兩臺機床加工的精度，既要檢驗 由 F檢驗 時查表得：， 由于，所以接受，即不能認為兩臺機床的加工精度有顯著差異。 隨機從一批釘子中抽取16枚，測得其長度為（cm） 設釘長服從正態(tài)分布，分別對下面兩個情況求出總體均值的90%的置信區(qū)間（1）；（2）未知解 （1）由子樣函數(shù)，可求的置信區(qū)間置信下限 置信上限 （2）在未知時，由子樣函數(shù)，可 求得置信區(qū)間為置信下限 置信上限 包糖機某日開工包糖，抽取12包糖，稱得重量為 假定重量服從正態(tài)分布，試由此數(shù)據(jù)對該機器所包糖的平均重量 求置信水平為95%的區(qū)間估計。解 由于未知，用統(tǒng)計量，計算各數(shù)據(jù)值后可以得到均值的置信區(qū)間，置信上限為，下限為 隨機取9發(fā)炮彈做實驗，得炮口速度的方差的無偏估計（米/秒）2，設炮口速度服從正態(tài)分布，分別求出炮口速度的標準差和方差的置信水平為90%的置信區(qū)間。解 選取統(tǒng)計量， 可得的置信區(qū)間為：因為故，標準差的置信區(qū)間取方差的根方即可。 假設六個整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機地選擇，重復60次獨立實驗中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問在5%的顯著性水平下是否可以認為下列假設成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗，如果成立 列表計算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391256， =由于，所以拒絕。即等概率的假設不成立。 對某型號電纜進行耐壓測試實驗，記錄43根電纜的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測試電壓 擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗）。解：用正態(tài)概率紙檢驗出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗假設其中為和的極大似然估計，其觀察值 所以要檢驗的假設 分組列表計算統(tǒng)計量的觀察值。組 距 頻數(shù)標準化區(qū)間 5781265 用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設。 用手槍對100個靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗法檢驗射擊結(jié)果所服從的分布。解 對每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點分布描述，而對一個靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項分布來描述，其中未知，可求其極大似然估計為設是十發(fā)射擊中射中靶的個數(shù)，建立假設用擬合優(yōu)度檢驗法列表如下：0123456789100241022261812420 取 ，=由于，所以接受。 在某細紗機上進行斷頭率測定，試驗錠子總數(shù)為440，測得斷頭總次數(shù)為292次只錠子的斷頭次數(shù)紀律于下表。問每只錠子的紡紗條件是否相同？每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實測） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個普哇松分布，所以問題是要檢驗每只錠子的斷頭數(shù)。其中未知，求其極大似然估計為，建立假設，由擬合優(yōu)度檢驗。列表斷頭數(shù)1234501234826811238198取，=，取 ，=由于，所以拒絕。即認為每只錠子紡紗條件不相同。第八章 方差分析和回歸分析 考察溫度對某一化工產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下做了三次實驗，測得其得率如下，試分析溫度對得率有無顯著影響。溫度6065707580得率909288919392969693848383848982解 把原始數(shù)據(jù)均減去90后可列出如下計算表和方差分析表，表示因子水平數(shù)，為重復實驗次數(shù)。溫度606570758005213266367264806151518 計算表方差分析表來源平方和自由度均方和F比溫度e38410總和17由于，所以在上水平上認為溫度對得率有顯著影響。 下面記錄了三位操作工分別在四臺不同機器上操作三天的日 產(chǎn)量：機 器操 作 工甲乙丙151715181517172017171622171518151915171616151617161918171822181721221817試在顯著性水平下檢驗：（1） 操作工之間有無顯著性差異？（2） 機器之間的差異是否顯著？（3） 操作工與機器的交互作用是否顯著？ 解 用表示機器的水平數(shù)，表示操作工的水平數(shù)，表示重復實驗次數(shù)，列出計算表和方差分析表： 甲乙丙475148605445514855635451156159153159206198223627， ， ， 方差分析表來源平方和自由度均方和F比機器操作工交互作用326241總和35由于，所以在水平上，操作工有顯著差異，機器之間無顯著差異，交互作用有顯著差異。？通過原點的二元線性回歸模型是怎樣的？分別寫出結(jié)構(gòu)矩陣，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，常數(shù)項矩陣，并寫出回歸系數(shù)的最小二乘法估計公式。解 通過原點的一元線性回歸模型：，的最小二乘估計為通過原點的二元線性回歸模型： ，的最小二乘估計為： 對不同的元麥堆測得如下數(shù)據(jù)：堆 號123456重量跨度2813270511103259021315181試求重量對跨度的回歸方程，并求出根方差的估計值。解 設所求回歸方程為，由數(shù)據(jù)可以求出： 由最小二乘法估計公式可知 故可得回歸方程：的估計是 則的估計為655 設相互獨立同服從于。（1） 寫出矩陣（2） 求的最小二乘估計（3） 證明當時，的最小二乘估計不變 解 （1）（2），則，的最小二乘估計是（3）若，此時模型成為： ，則對應的，，的最小二乘估計是 若與有下述關系： 其中從中獲得了n組獨立觀測值，能否求出的最小二乘估計，試寫出最小二乘估計的公式，能否檢驗假設 試寫出檢驗的拒絕域。解 若記 則的最小二乘估計為下述方程組的解： （*）的最小二乘估計為： 若把方程組（*）的系數(shù)矩陣記為，則，又記，則在顯著性水平上檢驗的拒絕域是： 其中， 某醫(yī)院用光色比色計檢驗尿貢時，得尿貢含量與肖光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如下：尿貢含量246810肖光系數(shù)64138205285360已知它們之間有下述關系式： 各相互獨立，均服從分布，試求的最小二乘估計，并給出檢驗假設 的拒絕域。解 由數(shù)據(jù)可以求得，n=5 ， 則，最小二乘估計為： 檢驗假設可用統(tǒng)計量 因此，拒絕原假設。 研究同一地區(qū)土壤中所含植物可給態(tài)磷的情況，得到18組數(shù)據(jù)如下，其中，——土壤內(nèi)所含無機磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有機磷濃度——載在土壤內(nèi)的玉米中可給態(tài)磷的濃度已知與之間有下述關系：各相互獨立，均服從分布，試求出回歸方程，并對方程及各因子的顯著性進行檢驗。土壤樣本123456789101112131415161718532319342465443129583746504456362851158163371575912346117173112111114134731681432021246460716154778193935176967793955416899由上述數(shù)據(jù)可以求得下面的結(jié)果： 所求得的回歸方程為 記對方乘作檢驗的統(tǒng)計量為： 故在的水平上方程是顯著的。對各因子作檢驗的統(tǒng)計量分別為故在的水平上，是顯著的，與是不顯著的。 某種膨脹合金含有兩種主要成分，做了一批試驗如表所示，從中發(fā)現(xiàn)這兩種成分含量和與合金的膨脹數(shù)之間有一定關系。（1）試確定與之間的關系表達式（2）求出其中系數(shù)的最小二乘估計（3）對回歸方程及各項作顯著性檢驗試驗號金屬成分和膨脹系數(shù)12345678910111213解 （1）由散點圖可知與的關系為： 并可假設。（2）由以上數(shù)據(jù)可求得： ， =據(jù)最小二乘估計為：則回歸方程為： （3）對方程作檢驗：故在的水平上方程是顯著的。對及項作檢驗：故方程中兩項均為顯著。102