【正文】 ( 1 ) 9 ≈ 56．隨機(jī)變量 X～B（n，p） EX=，EX2=，問(wèn) X 取什么值的概率最大，其 ， 概率值為何? 解 由于 DX = EX2－(EX)2=, EX=, 即 3 24 ?npq = ? ?np = 解得 q = ，p = ，n = 4 . 由于 np+p=1，因此 X 取 0 與取 1 的概率最大，其概率值為 P { X = 0 } = P { X = 1 } = 4 = 57．隨機(jī)變量 X～B（n, p） Y=eaX，計(jì)算隨機(jī)變量 Y 的期望 EY 和方差 DY . ， 解 隨機(jī)變量 Y 是 X 的函數(shù)，由于 X 是離散型隨機(jī)變量，因此 Y 也是離散型隨 機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，有 i EY = ∑ e ai P｛X = i｝ ∑ e ai C n p i q n?i = i=0 n i =0 n n 　　 ∑ C (e p ) q = i =0 i n a i n i =0 n?i = (e a p + q ) n EY 2 = ∑ (e ai ) 2 P｛X = i｝ i 　　 ∑ C n (e 2 a p) i q n ?i = (e 2 a p + q) n 　 = i =0 n DY = (e 2 ap + q) n ? (e ap + q ) 2 n 58. 從一副撲克牌（52 張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機(jī)變量 X，Y 分 別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求 X，Y 的概 率分布以及期望和方差. 解 X 服從超幾何分布，Y 服從二項(xiàng)分布 B（4， 1 ）. 2 P｛X = m｝ = C C C m 26 4?m 26 4 52 1 1 (m = 0,1,2,3,4) P｛Y = m｝ C 4m ( ) m ( ) 4?m (m = 0,1,2,3,4) = 2 2 具體計(jì)算結(jié)果列于下面兩個(gè)表中. X P Y P EX = n 0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 0 1/16 59. 隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的泊松分布， 查表寫出概率 P｛X = m｝m = 0,1,2,3,4 并與 , 上題中的概率分布進(jìn)行比較. X N1 26 = 4 =2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX = n 1 ? 2 ? = 4 = N N N ?1 52 52 51 17 1 EY = np = 4 = 2 DY = npq = 1 2 P 0 1 2 3 4 60．從廢品率是 的 100000 件產(chǎn)品中，一次隨機(jī)抽取 500 件，求廢品率不 超過(guò) 的概率. 解 設(shè) 500 件中廢品件數(shù)為 X，它是一個(gè)隨機(jī)變量且 X 服從 N=100000， N1 =100， n=500 n 相對(duì)于 N 較小， 因此它可以用二項(xiàng)分布 B 500， （ ） B（500，）中，n=500 比較大，而 p= 非常小， 25 因此該二項(xiàng)分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù) λ=np=. ? X P? ≤ } = P｛X ≤ 5｝ ? 500 5 0 .5 m e ? = ≈ ∑ m = 0 m! ，平均每件上有 個(gè)疵點(diǎn)，若 規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 1 個(gè)為一等品，價(jià)值 10 元；疵點(diǎn)數(shù)大于 1 不多于 4 為二 等品，價(jià)值 8 元；4 個(gè)以上者為廢品，求： （1）產(chǎn)品的廢品率； （2）產(chǎn)品價(jià)值的平均值　 解 設(shè) X 為一件產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)目， （1） P｛X＞4｝= 1 ? P｛X ≤ 3｝ = 1 ? ∑ P｛X = m｝ = m=0 3 （2）設(shè)一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為 Y 元，它可以取值為 0，8，10. EY = 0 P｛Y = 0｝ 8 P｛Y = 8｝ 10 P｛Y = 10｝ + + 1 ｝ = 8P｛ ＜X ≤ 4｝ 10 P｛X ≤ 1 + = 8 + 10 ≈ (元) 62．設(shè)書籍中每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某 本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)與有 2 個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn) 4 頁(yè)，每頁(yè)上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率. 解 設(shè)一頁(yè)書上印刷錯(cuò)誤為 X ，4 頁(yè)中沒有印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)為 Y ，依題意， P｛X = 1 = P｛X = 2｝ ｝ 即 λe ? λ = λ2 2! e ?λ 解得 λ=2，即 X 服從 λ=2 的泊松分布. p = P｛X = 0｝ e ?2 = 顯然 Y～B (4, e ?2 ) 63．每個(gè)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個(gè)糧倉(cāng)內(nèi)，有一只老鼠的概 率為有兩只老鼠概率的兩倍，求糧倉(cāng)內(nèi)無(wú)鼠的概率. 解 設(shè) X 為糧倉(cāng)內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意 P｛X = 1 = 2 P｛X = 2｝ ｝ P｛Y = 4｝ p 4 = e ?8 = λe ? λ = 2 λ2 2! e ?λ 解得 λ=1. P｛X = 0｝ e ?1 = 64．上題中條件不變，求 10 個(gè)糧倉(cāng)中有老鼠的糧倉(cāng)不超過(guò)兩個(gè)的概率. 解 接上題，設(shè) 10 個(gè)糧倉(cāng)中有老鼠的糧倉(cāng)數(shù)目為 Y，則 Y～B（10，p） ，其中 P = X＞0｝ 1 ? P｛X = 0｝ 1 ? e ?1 , q = e ?1 ｛ = = P｛ Y ≤ 2｝= P｛ Y = 0｝ P｛ Y = 1 + P｛ Y = 2｝ + ｝ = e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 + 45) ， 65．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 [2, 3] 上的均勻分布，計(jì)算 E(2X)，D（2X） D(2 X ) 2 . 26 解 1 76 , EX 2 = DX + ( EX ) 2 = 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ， 3 2 2 2 D (2 X ) = D (4 X ) = 16 DX = 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 = ∫ 2 x 4 dx = 5 211 5776 1504 DX 2 = EX 4 ? ( EX 2 ) 2 = ? = 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 = 16 DX 2 = 45 EX=，DX= [ ] 66．隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求概率 P X ≤ 3｝ P ≤ X ≤ 5｝P X ≤ 1｝P X ≤ ?7｝ . , ｛ ,｛ , ｛ ｛ 解 P X ≤ 3｝= Φ (3) = ｛ P ≤ X ≤ 5 = Φ (5) ? Φ () = ｛ ｝ P X ≤ 1 = Φ (1) = ｛ ｝ P X ≤ ?7 = 1 ? Φ (7) = 0 ｛ ｝ 67．隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的 a 的數(shù)值： = （2） P{ X ≤ a} = 。 （1） P｛X ≤ a｝ 。 ； （3） P{X ≤ a} = 。 （4） P{ X ≤ a} = 。 解 （1） P { X ≤ a} = Φ (a) = ，查表得 a= （2） P { X ≤ a} = 2Φ (a ) ? 1 = ，得 Φ（a）=， 查表得 a= （3） P { X ≤ a} = Φ (a) = ，查表得 a =2 （4） P{ X ≤ a} = 2Φ(a) ? 1 = ，得 Φ (a)= ， 查表得 a = 68. 隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P{5＜X＜8}, P{X ≤ 0} , P{ X ? 5 ＜2}. 解 ?8?5? ?5?5? P{5＜X＜8} = Φ ? ? ?Φ ? ? ? 2 ? ? 2 ? = Φ () ? Φ (0) = P {X ≤ 0} = Φ (? ) = 1 ? Φ () = ? X ?5 ? P{ X ? 5 ＜2} = P ? ≤ 1? = 2Φ (1) ? 1 2 ? ? = 69．隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N ( ? ,σ 2 ) ，若 P{X＜9} = , P{X＜2} = ，計(jì)算 μ 和 σ 的值，求 P{X＞6}. ?9?? ? 解 P{X＜9} = Φ ? ? = ? σ ? ?2?? ? ? ? ?2? P{X＜2} = Φ? ? = , Φ? ? = ? σ ? ? σ ? 查表得： 27 ?9 ? ? ? σ = ? ? ? ? ? 2 = ? σ ? 解以 μ 和 σ 為未知量的方程組，得 μ =，σ=2. P{X＞6} = 1 ? P{X ≤ 6} = 1 ? Φ () = 70．已知隨機(jī)變量 X～N (10,2 2 ) ， P{X ? 10＜c} = ， P{X＜d} = ，確定 c 和 d 的值. ? X ? 10 c ? P{ X ? 10 ＜c} = P ? ＜ ? 2? ? 2 = 2Φ ? c ? ? 1 = ? ? ?2? ?c? Φ ? ? = ， ?2? 查表得 c = , c = 2 ? d ? 10 ? P{X＜d} = Φ ? ? = ? 2 ? 解 ? 10 ? d ? ? = ? 2 ? 查表得 ? 10 ? d ? = 2, d = 6 ? ? ? 2 ? Φ? 71．假定隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N ( ? ,σ 2 ) ，確定下列各概 率等式中 a 的數(shù)值： （1） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 。 （2） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 。 （3） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 。 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = P ? ＜a ? ? σ ? =2Φ(a) 1 （1）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=； （2）2Φ (a)1=，Φ (a)=,　a=； （3）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=. 72．某科統(tǒng)考的考試成績(jī) X 近似服從正態(tài)分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成績(jī)?yōu)?60 分，問(wèn)第 20 名的成績(jī)約為多少分? 解 P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ? 10 ? = Φ (1) = . 設(shè)參加統(tǒng)考人數(shù)為 n，則 100 =，n= 100 ≈ 19 n 設(shè)第 20 名成績(jī)約為 a 分，則　 P{X ≥ a} = 20 ≈ n 28 P{X ≤ a} = ? a ? 70 ? ? = ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 10 Φ? a= 因此第 20 名的成績(jī)約為 80 分. 29 習(xí) 題 三 1．袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字 1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地 抽取兩次，記 X、Y 分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求 （X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值為（1，2）（1，3） ， ，…，(3，4).事件 {X = 1, Y = 2} 是兩個(gè) 互不相容事件“第一次取到數(shù)字 1 且第二次取到數(shù)字 2”與“第一次取到數(shù)字 2 且第二次取到數(shù)字 1”的和，其概率為 1/6，類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見 下表）.　 Y X 2 1 2 3 1 6 3 1 6 1 6 4 1 6 1 6 1 6 3 6 p i. 3 6 2 6 1 6 0 0 1 6 0 2 6 2．求上題中隨機(jī)變量 X 與 Y EX，EY 與方差 DX，DY. 解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對(duì)各列求和，得到 X 的邊緣分布 pi. （i=1，2，3）.類似地，可以得到關(guān)于 Y 的邊緣分布，其具體結(jié)果見上題聯(lián)合 分布表. EX= 1 3 + 2 2 + 3 1 = 5 EX 2 = 10 6 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY = 2 + 3 + 4 = EY 2 = 6 6 6 3 3 5 5 DX = EX 2 ? ( EX ) 2 = DY = 9 9 3．一個(gè)袋內(nèi)有 10 個(gè)球，其中有紅球 4 個(gè)，白球 5 個(gè)，黑球 1 個(gè)，不放回地抽 取兩次，每次一個(gè)，記 X 表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y 表示取到的白球數(shù) 目，求隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的邊緣概率分布. 解 顯然（X，Y）的全部取值為（0，1）（0，2） ， ，…（2，0）. P{X = 0, Y = 1} = 1 C5 5 = 2 C10 45 ： 類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見下表） Y X 0 0 4 45 1 5 45 20 45 2 10 45 0 1 0 30 2 6 45 0 0 4．上題中試驗(yàn)條件不變，若記 ?0 第i次取到紅球 ? X i = ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ? 解 式 i=1，2，求隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，計(jì)算兩次取到的球顏色相同的概率. P{X = i, Y = j} = P{X = j}P{ = i X = i} Y 易見 ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值為（0，0）（0，1） ， ，…（2，1）. 應(yīng)用乘法公 不難計(jì)算出 pij 的全部值（見下表） ： X 2 0 1 20 90 20 90 5 90 16 45 2 4 90 5 90 X1 0 1 2 12 90 20 90 4 90 0 P{X 1 = X 2 } = P{X 1 = 0, X 2 = 0} + P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 5．第 3 題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第 4 題中 定義的隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 的取值為(0，0)，(0，1)，… (2，2)． 且 P{X 1 = i, X 2 = j} = P{x = i}P{x = j} ，因此， ( X 1 , X 2 ) 的聯(lián)合概率分布為下表所示： X 2 0 1 2 X1 0 1 2 6．將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，記 X i 表示第 i 個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)，i=1，2， 求隨機(jī)變量 X 1 與 X 2 的聯(lián)合概率分布及關(guān)于 X 2 的邊緣分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 取值為（0，0）（0，1） ， ，…（3，0） 23 8 P{X 1 = 0, X 2 = 0} = 3 = 4 64 31 1 C3 2 2