異面直線典型例題-資料下載頁
2025-03-25 01:47本頁面
【正文】 線都垂直；(2)與兩條異面直線都相交．典型例題二十一例21 如圖，空間四邊形中，四邊、和對角線、都等于，、分別為、的中點．(1)求證：是異面直線、的公垂線．(2)求異面直線和的距離．分析：要證明是異面直線與的公垂線，必須說明兩個方面的問題，一個方面與、都相交，另一個方面、與都垂直．(1)證明：連結、由已知和均為正三角形，、分別為、的中點，∴，．同理，又與、都相交，∴為異面直線、的公垂線．(2)解：∵空間四邊形各邊及對角線、的長均為，∴，而，∴在中，．∴異面直線和之間的距離為．說明：(1)求線段的長度一般地要把該線段放到一個三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等．(2)滿足條件的該空間四邊形其實質是空間正四面體，該問題實質上是求正四面體對棱之間的距離．典型例題二十二例22 已知、是異面直線，直線直線，那么與（ ?。瓵．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線解：由已知、是異面直線，直線直線，所以直線直線，否則若，則有與已知矛盾．所以．∴應選C．說明：本題考察兩直線位置關系和公理4的應用及異面直線定義．典型例題二十三例23 兩條異面直線指的是（ ?。瓵．在空間內不相交的兩條直線B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線C．某平面內的一條直線和這個平面外的一條直線D．不在同一平面內的兩條直線解：對于A,在空間內不相交的兩條直線也可能是平行，應排除A．對于B，分別位于兩個不同平面內的兩條直線可能是異面直線，也可能是相交直線或平行直線，應排除B．對于C，某平面內的一條直線和這個平面外的一條直線可能是異面直線，也可能是平行直線，應排除C．∴應選D．說明：本題主要考查對異面直線定義的掌握，特別是對“不同在任何一個平面內的兩條直線”含義的理解．典型例題二十四例24 如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點，那么直線與所成的角的余弦值是（ ?。瓵． B． C． D．解：在平面中，過點作，交于，連結，如圖，(或其補角)就是與所成的角．設的中點為，則是中點．可求得，．在中，由余弦定理得．∴應選D．說明：作出平行線，進而在中利用余弦定理求出直線與所成角的余弦值．典型例題二十五例25 如圖，是正方體，則與所成的角的余弦值是（ ?。瓵． B． C． D．解：過點在平面內作，再過在平面內作，則(或其補角)即是與所成的角．由已知，是正方體，所以可求得(為正方體的棱長)，又，而，∴，顯然．在中，由余弦定理，得．∴應選A．說明：(1)解答本題的關鍵是作平行線、．進而在中解出的余弦值；(2)考查歷屆高考試題，求異面直線所成角的題常以正方體和正四面體為載體，在正方體和正四面體中命題．典型例題二十六例26 在棱長都相等的四面體中，、分別是棱、的中點，連結、如圖所示，求異面直線、所成角的余弦值．解：連結，取的中點，連結，又是的中點，故，所以是異面直線、所成角．∵是正三角形的高，∴，∴．在中，，則．在中，，用余弦定理可得．∴異面直線、所成角的余弦值是．說明：求兩條異面直線所成角或求所成角的函數值，關鍵是作出異面直線所成的角．作兩條異面直線所成角的方法一般是：將其中一條平移到某個位置使其也另一條相交也或者將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交，使得這個角在某一個平面的三角形內，進而求出．但要注意：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時應選擇恰當的位置．
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