導(dǎo)數(shù)問題中虛設(shè)零點的三大策略-資料下載頁
2025-03-25 00:40本頁面
【正文】 0（大部分情況可轉(zhuǎn)化為二次方程），在保留參數(shù)的情況下，不斷地把零點的次數(shù)降到不可再降為止，再結(jié)合其他條件，建立含參數(shù)的方程（或不等式），就可求出參數(shù)的值或參數(shù)的范圍.例6（2012年高考全國大綱卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）=13x3+x2+ax.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）有兩個極值點xx2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值；（3）（筆者加編）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點，求a的取值范圍.解（1）略.（2）f′（x）=x2+2x+a，由題設(shè)知，xx2為方程f′（x）=0的兩個根，故有a1，x21=2x1a，x22=（x1）=13x31+x21+ax1=13x1（2x1a）+x21+ax1=13x21+23ax1=13（2x1a）+23ax1=23（a1）x1a3，同理f（x2）=23（a1）=23（a1）xa3，設(shè)l與x軸的交點為（x0，0），得x0=a2（a1）.而f（x0）=13a2（a1）3+a2（a1）2+a22（a1）=a224（a1）3（12a217a+6），由題設(shè)知，點（x0，0）在曲線y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0或a=23或a=，所求a的值為a=0或a=23或a=34.（3）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點f（x）（x）有極大值極小值f′（x）有兩零點Δ=44a0即a1.評注對于問題（2），找到極值點橫坐標(biāo)xx2與參數(shù)a之間的聯(lián)系（x21=2x1a，x22=2x2a），利用它不斷地把零點的次數(shù)降到1次為止，再利用設(shè)而不求法求出直線方程，利用直線方程求出與x軸的交點，根據(jù)交點在已知曲線上建立含參數(shù)a的方程，從而得到參數(shù)a的值；對于問題（3），等價轉(zhuǎn)化為f（x1）f（x2）0，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為純粹的含參數(shù)a的不等式，求出了a的取值范圍，這也要歸功于問題（2）的降次留參.綜上所述，“虛設(shè)零點”的三大策略，讓我們成功回避復(fù)雜的運(yùn)算，擺脫解決問題過程中的一些技術(shù)難點，在求解比較復(fù)雜的含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題具有很好的應(yīng)用價值，值得我們關(guān)注.
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