導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略(編輯修改稿)
2025-04-21 00:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 +1（x）=x+1ex1+x，原命題k評(píng)析本題中，在確定出h（x）=exx2在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)的情形下，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)x0，并借助ex0=x0+2來(lái)簡(jiǎn)化g（x0）=x0+1ex01+x0，為估計(jì)g（x0），讓我們感受到“柳暗花明又一村”的奇妙詩(shī)意.如果f′（x）不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，這時(shí)很容易想當(dāng)然，用求根公式把零點(diǎn)求出來(lái)，要么無(wú)法化簡(jiǎn)，復(fù)雜的算式讓人無(wú)處下手，“思路簡(jiǎn)單，過(guò)程煩人”.這時(shí)有兩個(gè)策略：策略2反代消參構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)如果問(wèn)題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)無(wú)關(guān)，這時(shí)我們一般不要用參數(shù)來(lái)表示零點(diǎn)，而是反過(guò)來(lái)用零點(diǎn)表示參數(shù)，然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再次求導(dǎo)就可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明.例4（2014年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅱ卷文21第2問(wèn)）已知函數(shù)f（x）=x33x2+x+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）：當(dāng)k1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx2只有一個(gè)交點(diǎn).解曲線y=f（x）與直線y=kx2只有一個(gè)交點(diǎn)g（x）=f（x）kx+（x）=x33x2+（1k）x+4，g′（x）=3x26x+1k.（1）當(dāng)Δ=3612（1k）=24+12k≤0，即k≤2時(shí)，g′（x）≥0，所以g（x）（1）=k10，g（0）=40，所以存在唯一x0∈（1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).（2）當(dāng)Δ=3612（1k）=24+12k0，即2K0，g′（1）=2k0，所以0X11，1X20，g（x）在（∞，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，g′（x）0，g（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g′（x）0，g（x）在（x2，+∞）（x）的極小值點(diǎn)是x2.所以g（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需要g（x2）0.由g′（x2）=3x226x2+1k=0得1k=3x22+6x2，g（x2）=x323x22+（1k）x2+4=x323x22+（3x22+6x2）x2+4=2x32+3x22+4.令x2=t，g（x2）=h（t）=2t3+3t2+4（1Th（2）=0，即g（x2
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