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圓錐曲線經(jīng)典中點(diǎn)弦問(wèn)題-資料下載頁(yè)

2025-03-25 00:04本頁(yè)面
  

【正文】 y3),(x4,y4),則,兩式相減得,顯然x3≠x4(兩點(diǎn)不重合),故+,令中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則x+2y?=0,又(x,y)在直線上,所以,顯然,故x+2y?k=x+2y=0,即所求軌跡方程為x2+2y2﹣2x﹣2y=0(夾在橢圓內(nèi)的部分).(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)P()的直線與交于E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6),∵P()是EF的中點(diǎn),∴x5+x6=1,y5+y6=1,把E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6)代入與,得,∴(x5+x6)(x5﹣x6)+2(y5+y6)(y5﹣y6)=0,∴(x5﹣x6)+2(y5﹣y6)=0,∴k==﹣,∴過(guò)點(diǎn)P()且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程:,即2x+4y﹣3=0.點(diǎn)評(píng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用. 27.已知橢圓.(1)求過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程;(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程;(3)過(guò)點(diǎn)A(2,1)引直線與橢圓交于B、C兩點(diǎn),求截得的弦BC中點(diǎn)的軌跡方程.考點(diǎn):圓錐曲線的軌跡問(wèn)題;直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.4126984專題:綜合題.分析:(1)設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程,利用點(diǎn)差法,求斜率,再代入直線的點(diǎn)斜式方程即可.(2)同(1)類似,設(shè)出這一系列的弦與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,利用點(diǎn)差法,求斜率,再讓斜率等于2,化簡(jiǎn),即可得斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.(3)設(shè)出直線BC方程,用參數(shù)k表示,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,消去k,即可得弦BC中點(diǎn)的軌跡方程.解答:解:(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦與橢圓交與A(x1,y1),B(x2,y2)點(diǎn),則=,=∵A,B在橢圓上,∴①②②﹣①得,=﹣即,弦AB的斜率為﹣∴方程為y﹣=﹣(x﹣)即(2)設(shè)斜率為2的平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則根據(jù)中點(diǎn)弦的斜率公式,有﹣=2(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)引的直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為y﹣1=k(x﹣2),代入橢圓方程,消y,得(+k2)x2+2(1﹣2k)kx+4k2﹣4k=0∴x1+x2=,y1+y2=,設(shè)弦BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則x==,y==,∴=﹣2k又∵k=,∴,整理得x2﹣2x+2y2﹣2y=0當(dāng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)引的直線斜率不存在時(shí),方程為x=2,與橢圓無(wú)交點(diǎn)∴所求弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為x2﹣2x+2y2﹣2y=0.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率,屬于圓錐曲線的常規(guī)題. 28.已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(﹣4,0)、F2(4,0),過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)、C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(Ⅰ)求該橢圓的方程;(Ⅱ)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與圓錐曲線的關(guān)系.4126984專題:計(jì)算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:(1)根據(jù)橢圓定義結(jié)合已知條件,得|F1B|+|F2B|=10=2a可得a=5.由c=4算出b=3,即可得出該橢圓的方程;(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上,利用橢圓方程算出yB=.再根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義,算出|F2A|、|F2C|關(guān)于它們的橫坐標(biāo)xx2的式子,由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列建立關(guān)系式算出x1+x2=8,最后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可算出弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).解答:解:(1)由橢圓定義及條件,可得2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.又∵c=4,∴b==3.因此可得該橢圓方程為.(2)∵點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上,∴將x=4,代入橢圓方程求得yB=,可得|F2B|=|yB|=.∵橢圓右準(zhǔn)線方程為x=,即x=,離心率e==.根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義,得|F2A|=(﹣x1),|F2C|=(﹣x2).由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得2|F2B|=|F2A|+|F2C|即(﹣x1)+(﹣x2)=2,由此解得x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),可得中點(diǎn)橫坐標(biāo)為則x0=(x1+x2)=4.點(diǎn)評(píng):本題給出橢圓滿足的條件,求橢圓的方程并依此求AC的中點(diǎn)橫坐標(biāo),著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的統(tǒng)一定義和等差數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題. 29.(2010?永春縣一模)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(1,1)的弦AB.(1)若點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn),求直線AB的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)M的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.考點(diǎn):直線的一般式方程;軌跡方程.4126984專題:轉(zhuǎn)化思想.分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般式方程及動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,(1)由于弦AB過(guò)點(diǎn)M(1,1),故我們可設(shè)出直線AB的點(diǎn)斜式方程,聯(lián)立直線與圓的方程后,根據(jù)韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系),我們結(jié)合點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn),可得到一個(gè)關(guān)于斜率k的方程,解方程求出k值后,代入整理即可得到直線AB的方程.(2)設(shè)AB弦的中點(diǎn)為P,則由A,B,M,P四點(diǎn)共線,易得他們確定直線的斜率相等,由此可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x,y的關(guān)系式,整理后即可得到過(guò)點(diǎn)M的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解答:解:(1)設(shè)直線AB的斜率為k,則AB的方程可設(shè)為y﹣1=k(x﹣1).得x2+4(kx+1﹣k)2=16得(1+4k2)x2+8k(1﹣k)x+4(1﹣k2)﹣16=0,..∴.(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P(x,y)∵A,B,M,P四點(diǎn)共線,∴kAB=kMP∴.點(diǎn)評(píng):在求直線方程時(shí),應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件,用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí),直線的斜率必須存在,而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線,故在解題時(shí),若采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況. 30.已知橢圓C方程為,直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn),(1)求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)直線PA、PB斜率分別為kk2,求證:k1+k2為定值.考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.4126984專題:計(jì)算題;證明題.分析:(1)將代入消去y并整理得4x2+4mx+4m2﹣12=0,由△>0,知﹣2<m<2.再由x1+x2=﹣m,x1x2=m2﹣3,知弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是在橢圓內(nèi)部部分.(2)先設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),根據(jù)斜率公式即可求出結(jié)果.解答:解:(1)將代入,消去y并整理得4x2+4mx+4m2﹣12=0,△=16m2﹣16(4m2﹣12)=48(4﹣m2)>0,﹣2<m<2.x1+x2=﹣m,x1x2=m2﹣3,,∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是在橢圓內(nèi)部部分.(6分)(2)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),A、B兩點(diǎn)在直線上∴=(12分)點(diǎn)評(píng):本題考查直線 與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,具有一定的難度,解題時(shí)要認(rèn)真審題,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 1. 若不給自己設(shè)限,則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海,哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里,為自己留下一片純靜的心靈空間,不管是潮起潮落,也不管是陰晴圓缺,你都可以免去浮躁,義無(wú)反顧,勇往直前,輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間,總會(huì)看清一些事。用一些事情,總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺(jué)得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己,又打擾了別人。努力過(guò)后,才知道許多事情,堅(jiān)持堅(jiān)持,就過(guò)來(lái)了。4. 歲月是無(wú)情的,假如你丟給它的是一片空白,它還給你的也是一片空白。歲月是有情的,假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩,它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力,當(dāng)有一天驀然回首時(shí),你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕,少一些蒼白無(wú)力。只有你自己才能把歲月描畫(huà)成一幅難以忘懷的人生畫(huà)卷。學(xué)習(xí)
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