三角法與向量法解平面幾何題正資料-資料下載頁
2025-03-24 05:44本頁面
【正文】 B∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＝π－2B∴A＝B或A＋B＝∴△ABC是等腰三角形或直角三角形(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C∴ ∴a2＋b2＝c2故△ABC是直角三角形，且C＝9O176。，∴cosB＝，代入c＝2acosB得cosB＝ ∴B＝45176。，A＝45176。綜上，△ABC是等腰直角三角形：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）∴sin2A－sin2B＝sinBsinC，（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，sin（A＋B）sin（A－B）＝sinBsinC∵sin（A＋B）＝sinC，∴sin（A－B）＝sinB，∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去)故A與B的關(guān)系是A＝2B：由余弦定理，知a2＋b2－c2＝2abcosC，a2－b2＋c2＝2cacosB，∴：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③∵cosA＝－cos（B＋C）由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C）＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C，2sinBsinC＝sin2B＋sin2C即（sinB－sinC）2＝O，∴sinB＝sinC，∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c代入③得a＝b∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1 由題設(shè)條件知B=60176。，A+C=120176。 設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60176。+α，C=60176。－α，依題設(shè)條件有整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，∴2cosα－=0 從而得cos 解法二 由題設(shè)條件知B=60176。，A+C=120176。 ①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC ②，利用和差化積及積化和差公式，②式可化為 ③， 將cos=cos60176。=，cos(A+C)=－代入③式得 ?、軐os(A－C)=2cos2()－1代入 ④ 4cos2()+2cos－3=0，(*)， 9 解：因?yàn)?b=a+c，由正弦定理得10 解：由已知條件得．即有 ，又 ∴ ．∴ ．所以當(dāng)A = B時(shí)，．11 解：（I）成等比數(shù)列 又 在中，由余弦定理得 （II）在中，由正弦定理得 ， 。 12 解 R=rcosθ，由此得 ，13 解 按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x 在△ABC中，∠APB=180176。－∠ABP－∠BAP=120176。－θ，由正弦定理知 ∴BP=在△PBD中，, ∵0176?！堞取?0176。，∴60176?！?0176。+2θ≤180176。，∴當(dāng)60176。+2θ=90176。，即θ=15176。時(shí)，sin(60176。+2θ)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3 14 解（1）在與中， A 求得（千米） （千米）， 東 由余弦定理得，于是船速 （千米/小時(shí)）。 （2）在中，由余弦定理得． 于是，．在中，由正弦定理得（千米），（千米）．于是從到所需時(shí)間（時(shí)）分．∴再經(jīng)過分到達(dá)海島的正西方向，此時(shí)點(diǎn)離海島千米。15 （Ⅰ）證明：所以（Ⅱ）解：， 即 ，將代入上式并整理得解得，舍去負(fù)值得， 設(shè)AB邊上的高為CD.則AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB邊上的高等于2+. 1622
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