【正文】 均存在顯著的線性關(guān)系 ? 變量的顯著性檢驗(yàn)旨在對(duì)模型中 某一個(gè)具體的 X與 Y之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出判斷，換言之，是考察 所選擇的 X在總體上是否對(duì) Y有顯著的線性影響 ? 變量顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法同樣是 假設(shè)檢驗(yàn) 變量顯著性檢驗(yàn) —— 原假設(shè)和備擇假設(shè) ? 變量的顯著性檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)變量所對(duì)應(yīng)的 回歸系數(shù)的真實(shí)值是否為零 來進(jìn)行的。 ? 對(duì)應(yīng)這一問題的假設(shè)分別是： H0： β1＝ 0（變量的參數(shù)真值為零） H1： β1≠0 ? 一元線性回歸模型 中，對(duì)變量 X的顯著性檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)回歸系數(shù) β1的 真實(shí)值 是否為 零 。 ※ 這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)！ 變量的顯著性檢驗(yàn) —— 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ),(~? 2211 ?ixN ???)2(~???1?112211 ??????ntSxti ??????)1,0(~?2211 NxZi??????正態(tài)變換 【 1】 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)： H0： β1＝ 0 H1： β1≠0 【 2】 在 H0成立的情況下借助樣本信息構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 11??tS???【 3】 給定顯著性水平 ?，查 t分布表，得臨界值： t?/2(n2) 變量的顯著性檢驗(yàn) —— 完整步驟 【 4】 比較，判斷： 若 |t| t?/2(n2)，則拒絕 H0 ，即 X對(duì) Y具有顯著影響 ； 若 |t|? t?/2(n2)，則接受 H0 ，即 X對(duì) Y不具有顯著影響； 0 t?/2(n2) － t?/2(n2) ?/2 ?/2 樣本統(tǒng)計(jì)量 拒絕 H0 拒絕 H0 1 ? 在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，首先計(jì)算 ?2的估計(jì)值 13402210 2221222 ??????????? ??nxyne iii ?????? ? ixS ??t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果為： 4 2 7 1?11 ??? ?? St給定 顯著性水平 ?=，查 t分布表得臨界值： (8)= |t1|，落在 拒絕域 ， 拒絕原假設(shè) 。說明家庭可支配收入在 95%的臵信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量 變量的顯著性檢驗(yàn) :實(shí)例 四、參數(shù)的置信區(qū)間 ?參數(shù)估計(jì)量是隨機(jī)變量 ?對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì) ? LSE或 MLE給出的只是總體參數(shù) β的一個(gè) 點(diǎn)估計(jì) 。這種估計(jì)雖然是真實(shí)值的無偏估計(jì)，但是但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。 ? 要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的 臵信區(qū)間估計(jì) 。 臵信區(qū)間的含義 ?????? ?????? 1)??(P這一區(qū)間 ， 稱之為 臵信區(qū)間 （ confidence interval） ； 1?稱為 臵信系數(shù) （ 臵信度 ） （ confidence coefficient） ； ?稱為 顯著性水平 （ level of significance） ； 臵信區(qū)間的端點(diǎn)稱為 臵信限 （ confidence limit） β的臵信區(qū)間 ? 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道： )2(~????? ntstiii???? 給定臵信度（ 1?） ，對(duì)于臨界值 t?/2 (n2)， t值處在 (t?/2, t?/2)的概率是 1?。表示為： P t t t( )? ? ? ? ?? ? ?2 21 P t s ti ii(?)?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??2 21P t s t si i ii i( ? ? )? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 21? 于是得到 :(1?)的臵信度下 , ?i的臵信區(qū)間是 ( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2167。 一元線性回歸模型的應(yīng)用：預(yù)測(cè) 一、預(yù)測(cè)的理解 二、點(diǎn)預(yù)測(cè)及其性質(zhì) 三、區(qū)間預(yù)測(cè)及其性質(zhì) 四、預(yù)測(cè)區(qū)間的說明 一、預(yù)測(cè)的理解 ? 預(yù)測(cè) 是指給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值 X0，對(duì)相應(yīng)的被解釋變量的值作出定量的估計(jì)。所以 預(yù)測(cè)問題實(shí)質(zhì)上是估計(jì)問題 。 ? 從對(duì)象上看，存在兩種類型的預(yù)測(cè)： 均值預(yù)測(cè) 和 個(gè)值預(yù)測(cè) ?理論上 ，基于樣本回歸函數(shù) SRF得到的 Y0^首先體現(xiàn)為對(duì) 均值 的預(yù)測(cè) 0 0 1 0? ??:S R F Y X????0 0 0 1 0: ( | )PRF E Y X X X??? ? ??實(shí)際應(yīng)用 中，通常又將 Y0^作為某個(gè) X=X0的 個(gè)體 的預(yù)測(cè) x y ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) 01()E y x????總體回歸方程 殘差項(xiàng) 01? ??yx????樣本回歸方程 0?Y0X0()EY0Y二、點(diǎn)預(yù)測(cè)及其性質(zhì) ■ ?0是總體條件均值 E(Y0|X=X0)無偏估計(jì)，同時(shí)是實(shí)際個(gè)值 Y0的一個(gè)有偏但良好的估計(jì) 對(duì)于 總體回歸函數(shù) ： E(Y|X)=?0+?1X， X=X0時(shí)： E(Y|X=X0)=?0+?1X0 0100 ??? XY ?? ??于是： 可見： ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。 )()??()?( 0010000 1 YEXXEYE ????? ????對(duì)于 X=X0處的所有個(gè)體的平均值而言，這一估計(jì)是無偏的 基于 SRF，有： 而 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0? ??( ) ( )E Y E X X Y u Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?可見： ?0并不是實(shí)際個(gè)值 Y0的無偏估計(jì)。 但另一方面，由于： 0)()?(000 ??? ?EYYE因此： ?0仍然是實(shí)際個(gè)值 Y0的一個(gè)良好估計(jì)。 對(duì)于 x=x0處的個(gè)體的實(shí)際值而言，這一估計(jì)是有偏的 對(duì)于總體回歸模型： Y=?0+?1X+?， X=X0時(shí)： 00100 ??? ??? XY即： 用 ?0預(yù)測(cè) Y0的平均預(yù)測(cè)誤差為 0 三、區(qū)間預(yù)測(cè)及其性質(zhì) ? 從結(jié)果上看，均值預(yù)測(cè)和個(gè)值預(yù)測(cè)的結(jié)果相同，均為 ?0 ? 二者內(nèi)在的差別在于預(yù)測(cè)的精度不同，或者說誤差不同 ? 均值預(yù)測(cè)的精度大于個(gè)值預(yù)測(cè) ? 均值預(yù)測(cè)的誤差小于個(gè)值預(yù)測(cè) ? 這一點(diǎn)可以從二者的 臵信區(qū)間 中看出 總體均值 E(Y0|X=X0)的臵信區(qū)間 0100 ??? XY ?? ?? ),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN所以： ?0服從正態(tài)分布 ，且： 0101000 )?()?()?( XEXEYE ???? ???? 00( | )E Y X X??))(1(? 2202?0 ????iY xXXnS ?于是，在 1?的臵信度下， 總體均值 E(Y|X0)的臵信區(qū)間 為 0202 ?00?0?)|(? YY StYXYEStY ?????? ??22 00 2()1?( ) ( )()iXXV a r Yn X X??????總體個(gè)值 Y0的臵信區(qū)間 Y0=?0+?1X0+?0 ),(~20220 ??? XNY ?)))(11(,0(~? 220200 ?????ixXXnNYY ?)))(1(,(~? 22020100 ????ixXXnXNY ???相互獨(dú)立）、 000000 ?)(v ar ()?v ar ()?v ar ( YYYYYY ???從而在 1?的臵信度下， Y0的臵信區(qū)間為 00202 ?000?0?? YYYY StYYStY ?? ?????? ??總體個(gè)值和均值的臵信區(qū)間都以估計(jì)值為中心 ， 但個(gè)值預(yù)測(cè)的臵信區(qū)間寬度大于均值預(yù)測(cè)的臵信區(qū)間 x0 xy 10 ??? ?? ??y x ?x ?；貧w分析的預(yù)測(cè)實(shí)例 在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，樣本回歸函數(shù)為 ii XY 7 7 7 0 3? ??? 則在 X0=1000處， ?0 = – + 1000= 因此， 總體均值 E(Y|X=1000)的 95%的臵信區(qū)間 為： ? E(Y|X=1000) +? 即： （ , ） 同樣地， 對(duì)于 Y在 X=1000的個(gè)體值，其 95%的臵信區(qū)間 為： ? Yx=1000 + ? 即： (, ) ＃ 關(guān)于臵信區(qū)間的說明 樣本容量一定時(shí)， 臵信帶的寬度在 X均值處最小 ， X越遠(yuǎn)離其均值，臵信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。 說明： 如果給定的 X值靠近均值，則相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度就要高，反之則低 影響預(yù)測(cè)區(qū)間（預(yù)測(cè)精度）的因素 ? 誤差方差 σ2的大小。越小，預(yù)測(cè)精度越高。 ? 樣本容量 n的大小。越大，預(yù)測(cè)精度越高。 ? X的方差 ∑ （ Xi－ X） 2的大小。越大，表示 X抽樣 的范圍越大， 預(yù)測(cè)精度越高。 ? 預(yù)測(cè)點(diǎn)離均值的遠(yuǎn)近（ X0－ X） 2的大小。越近，預(yù)測(cè)精度越高。