【正文】 的樣本， 的 聯(lián)合概率密度函數(shù) 是關(guān)于 的函數(shù)，稱為 似然函數(shù) 。 01 ??、? ?201211 ? ?21m a xniiiYXn e??????? ? ?? （ ）22 參數(shù) 的估計(jì)結(jié)果要使得到的模型能以最大概率產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)， （ 220） 就是要使似然函數(shù)極大化，即 由于 似然函數(shù)極大化等價(jià)于似然函數(shù)的對(duì)數(shù) 2012 11 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）（ 221） 的極大化。 所以， 根據(jù)微積分中求極限的原理，分別求式（ 221）對(duì) 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令求偏導(dǎo)的結(jié)果等于 0， 可得正規(guī)方程組 01? ???、012101211 ? ?[ ( ) ] 01 ? ?[ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X?????????? ? ????? ? ? ?????（ 222） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ??? （ 223） 這就是參數(shù) 01??、 的 最大似然估計(jì)量 （ maximum likelihood estimators） 可見 ， 在滿足一系列基本假設(shè)的情況下 ， 模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的 最大或然估計(jì)量 與 普通最小二乘估計(jì)量 是相同的 。 習(xí)題： ◆ 一元線性回歸模型的基本假設(shè) ◆ 參數(shù)的普通最小二乘估計(jì) ◆ 參數(shù)的最大似然估計(jì) ◆ 普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ◆ 普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) ◆ 隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì) 講課內(nèi)容 當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮 參數(shù)估計(jì)值的精度 ，即是否能 代表總體參數(shù)的真值 ，或者說需考察 參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 。 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ?漸近無偏性 估計(jì)量 優(yōu)劣性 ?漸近有效性 ?一致性 ?無偏性 ?有效性 ?線性性 線性性 無偏性 有效性 （最小方差性） 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進(jìn)性質(zhì) ) —— 指參數(shù)估計(jì)量可以表示為 被解釋變量 iY的 線性組合 —— 指參數(shù)估計(jì)量的 數(shù)學(xué)期望等于參數(shù)的真實(shí)值 —— 指在所有的線性、無偏估計(jì)量中該參數(shù)估計(jì)量的 方差最小 —— 指樣本容量 趨于無窮大 時(shí)，參數(shù)估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望 趨于參數(shù)的真實(shí)值 —— 樣本容量趨于無窮大時(shí)，參數(shù)估計(jì)量 依概率收斂于 參數(shù)的真實(shí)值 —— 指樣本容量趨于無窮大時(shí)，在所有的一致估計(jì)量中 該參數(shù)估計(jì)量具有 最小的漸近方差 。 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 估計(jì)參數(shù) 和 均是樣本觀測(cè)值 (Xi和 Yi)的 線性函數(shù)。 1??OLS ??????????????????????????????????????? ????? ????XYXXYYXXXXnYXYXniiininiiiniiniiniii10212121111??)()()(????0??四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ???????? ?????22221)(?iiiiiiiiiiixYxxYxxYYxxyx?證 : 令 ?? 2iii xxk???2iiixYx? ?? ?? iiiii YkYxx21??則 ? ?? ??????? iiiiiii YwYkXnXYkYnXY )1(1?? 10 ??同理 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 估計(jì)參數(shù) 和 的均值等于總體參數(shù)真值 0?? 1??證： ? ? ? ? ???????? iiiiiiiiii kXkkXkYk ??????? 10101 )(?易知 02 ??? ??iii xxk ? ? 1ii Xk故 ???iik ??? 11??? ????? 1111 )()()?( ?????? iiii EkkEE同樣地，容易得出 ? ? ?????0000 )()()()?( ?????? iiii EwEwEE? 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 1)(22222???????????????iiiiiiiiiiiixxXxxxXxxxXxXk四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ： 利用 OLS估計(jì)的參數(shù) 和 的方差最小 ( 1 ) 先 求 0?? 與 1?? 的 方 差 ? ?? ????? )v a r ()v a r ()v a r ()?v a r ( 21021 iiiiiii kXkYk ?????? ?? ?????? 221020 )/1()v a r ()v a r ()?v a r ( ????? iiiiii kXnXwYw22222222 21121 ?? ????????????????????????????? ????????? ? ???iiiii xxXkXnnkXkXnn22222222221??? ????? ??????????? ??iiiii xnXxnXnxxXn?? ? ??????????22222iiixxx ??0?? 1??四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) （ 2）證明最小方差性 假設(shè) *1?? 是其他估計(jì)方法得到的關(guān)于 ? 1 的線性無偏估計(jì)量： ?? iiYc*1??其中 ， ci=vi+di， di為不全為零的常數(shù) 則容易證明 )?v a r ()?v a r ( 1*1 ?? ?同理， 可 證 明 ? 0 的 最 小 二 乘 估 計(jì) 量 0?? 具 有 最 的 小 方 差 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 1）滿足線性性、無偏性、有效性三個(gè)小樣本性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量稱為 最佳 線性無偏估計(jì)量（ best linear unbiased estimator， BLUE）。 2）滿足小樣本性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量 自然也滿足大樣本性質(zhì) 。 3）在小樣本性質(zhì)不滿足的情況下， 應(yīng)擴(kuò)大樣本容量，考察大樣本性質(zhì)。 4）在滿足基本假設(shè)情況下， 一元線性回歸模型的普通最小二乘參數(shù)估計(jì) 量是最佳線性無偏估計(jì)量 。（ why??） 幾點(diǎn)說明： 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè) “ 好 ” 的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性 。 ???????????)/l i m ()/l i m ()l i m ()l i m ()l i m ()?l i m (212111nxPnxPxxPPkPPiiiiiiii???????1110),( ???? ?????XC o v四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) P41 (229) 習(xí) 題 假定有如下的回歸結(jié)果： ，其中， Y表示美國(guó)的咖啡的消費(fèi)量（每天每人消費(fèi)的杯數(shù)）， X表示咖啡的零售價(jià)格（美元 /杯）， t表示時(shí)間。 ? 要求： ? （ 1）這是一個(gè)時(shí)間序列回歸還是橫截面序列回歸？ ? （ 2）如何解釋截距的意義，它有經(jīng)濟(jì)含義嗎？如何解釋斜率？ ? （ 3）能否求出真實(shí)的總體回歸函數(shù)？ ? （ 4）根據(jù)需求的價(jià)格彈性定義：彈性 =斜率 （ X/Y），依據(jù)上述回歸結(jié)果，你能求出對(duì)咖啡需求的價(jià)格彈性嗎？如果不能，計(jì)算此彈性還需要其他什么信息？ tt XY 47 ???習(xí) 題 答 案 ? ⑵ 截距 0美元時(shí)，美國(guó)平均消費(fèi)量為每天每人 ，這個(gè)數(shù)字沒有經(jīng)濟(jì)意義；斜率 ，在時(shí)刻 t，價(jià)格上升 1美元 /磅，則平均每天每人消費(fèi)量減少 ； ? ⑶不能； ? ⑷不能；在同一條需求曲線上不同點(diǎn)的價(jià)格彈性不同，若要求出，須給出具體的值及與之對(duì)應(yīng)的值。 習(xí) 題 令 和 分別為 Y對(duì) X回歸和 X對(duì) Y回歸中的斜率，試證明： 其中 r為 X和 Y之間的線性相關(guān)系數(shù) p24 (22) YX?? YX??2?? rXYYX ???◆ 一元線性回歸模型的基本假設(shè) ◆ 參數(shù)的普通最小二乘估計(jì) ◆ 參數(shù)的最大似然估計(jì) ◆ 普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ◆ 普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) ◆ 隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì) 講課內(nèi)容 五、普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) 01? ??iiYX???? 1．樣本回歸線過樣本均值點(diǎn)， YX（ 、 ） 滿足樣本回歸函數(shù) 即點(diǎn) 2．被解釋變量的估計(jì)的均值等于實(shí)際值的均值，即 ?YY? 3．殘差和為零， 即 10n iie???4．解釋變量與殘差的乘積之和為零，即 10n iiiXe??? 5．被解釋變量的估計(jì)與殘差的乘積之和為零，即 1? 0n iiiYe???習(xí) 題 ? 對(duì)于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型： ，其 OLS估計(jì)參數(shù)的特性在下列情況下會(huì)受到什么影響： ? （ 1）觀測(cè)值數(shù)目 n增加； ? （ 2） Xi各觀測(cè)值差額增加； ? （ 3） Xi各觀測(cè)值近似相等 iii uXbbY ??? 10答 案 ??????niiniiixux12111? ??（ 1）根據(jù)大樣本特性，更接近真實(shí)值 （ 2）更接近真實(shí)值 （ 3）使得 變得不穩(wěn)定，甚至無法計(jì)算 1??◆ 一元線性回歸模型的基本假設(shè) ◆ 參數(shù)的普通最小二乘估計(jì) ◆ 參數(shù)的最大似然估計(jì) ◆ 普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) ◆ 普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) ◆ 隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì) 講課內(nèi)容 六、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì) 1 、參數(shù)估計(jì)量 0?? 和 1?? 的概率分布 ),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN?? 22? /1 ix?? ????222?0iixnX?? ? 六、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì) 隨機(jī)誤差項(xiàng) ?的方差 ?2的估計(jì) 由于隨機(jī)項(xiàng) ?i不可觀測(cè)，只能從 ?i的估計(jì) —— 殘差 ei出發(fā)，對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。 ?2又稱為 總體方差 。 可以證明 ， ?2的 最小二乘估計(jì)量 為 2?22???ne i?它是關(guān)于 ?2的無偏估計(jì)量。 ?2的 最大似然估計(jì)量 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的最大似然估計(jì)量可通過對(duì)數(shù)似然函數(shù) 202211 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）求得。 即 22 11 0?niine