[高等教育]高數(shù)9-2二重積分的計算-資料下載頁
2025-01-19 19:11本頁面
【正文】 r f d zr d r dI ,345 ???? ???22222Dr f d zr d r dI ,625 ?? 原式 ?I ?345?? 625?? 336 .??? ??? ? 8 24020 22r dzrrdrd?? ? ??? ? 2 220 20 22r dzrrdrd3. 利用球坐標(biāo)計算三重積分 ,R),( 3?zyxM設(shè) ),( z??其柱坐標(biāo)為就稱為點 M 的球坐標(biāo) . 直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系 ,??? Z O M??Moxyzzr?),( ??r則????????????????????0200 r?? c o ss inrx ??? s ins inry ??c o srz ?坐標(biāo)面分別為 常數(shù)?r 球面 常數(shù)?? 半平面 常數(shù)?? 錐面 ,rOM ?令),( ??rM?? s inr??c o srz ?xyzo如圖所示 , 在球面坐標(biāo)系中體積元素為 ?d?d? rrd ??? ddds ind 2 rrv ?因此有 ???? zyxzyxf ddd),(??? ?? ),( ??rF其中 )c o s,s ins in,c o ss in(),( ??????? rrrfrF ?適用范圍 : 1) 積分域 表面用球面坐標(biāo)表示時 方程簡單 。 2) 被積函數(shù) 用球面坐標(biāo)表示時 變量互相分離 . ??? ddds in2 rr??d例 5. 計算三重積分 解 : 在球面坐標(biāo)系下 :?zyxzyx ddd)( 222 ??? ????所圍立體 . 40 ?? ??Rr ??0?? 20 ??其中 ? 與球面 ??? ddds ind 2 rrv ?? R rr0 4 d)22(51 5 ?? R?? 40 dsi n? ???? ? ?20 dxyzo4?Rr?例 )0()( 32222 ???? azazyx 所圍立體體積 . 解 : 由曲面方程可知 , 立體位于 xoy面上部 , ,c o s0: 3 ?ar ???利用對稱性 , 所求立體體積為 ????? vV drra d3 c o s0 2? ????? ? dc o ssi n32 203 ?? a 331 a??3 c o s ?ar ?,20 ?? ?? ?? 20 ??? 20 dsi n? ???? 20 d4 ? ?yoz面對稱 , 并與 xoy面相切 , 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為 且關(guān)于 xoz ??? ddds ind 2 rrv ?例 7 、 計算 ?? ???? d x d y d zyxI )( 22，其中 ? 是 錐面 222 zyx ?? ， 與 平面 az ? )0( ?a 所圍的立體 . 解 1 采用球面坐標(biāo)az ?? ,c o s ??? ar222 zyx ?? ,4????,20,40,c o s0: ????????????? ar?????? d xd y d zyxI )( 22drrdda? ????? ???? 40cos03420 s i n??????? ??da )0c o s(51s i n2 55403.10 5a??解 2 采用柱面坐標(biāo) ,: 222 ayxD ???? ???? d x d y d zyxI )( 22 ??? ? ?? ara dzrr d rd 2020? ??? a drrar0 3 )(2 ]54[254 aaa ???? .10 5a??222 zyx ??? ,rz ??,20,0,: ????????? arazr例 8 求曲面 2222 2 azyx ??? 與 22 yxz ?? 所圍 成的立體體積 . 解 ? 由錐面和球面圍成， 采用球面坐標(biāo)，由 2222 2 azyx ???,2 ar ??22 yxz ?? ,4????,20,40,20: ??????????? ar由三重積分的性質(zhì)知 ????? d x d y d zV ,??? ???? ?? a drrddV 20 2020 s i n4??????? 4033)2(s i n2 da.)12(34 3a???例 9. 計算 其中 .4,1),(21 22 圍成由 ????? zzyxz解 : 利用對稱性 zyxyx ddd)(21 22 ?? ??? ?yxyxzzDdd)(d21 2241 ?? ??????? z rrz 20 32041 ddd21 ? ??21?4zxo y1 zDzoxy2例 10. 設(shè) ?由錐面 和球面 所圍成 , 計算 提示 : 4?利用對稱性 vzyx d)( 222 ??? ????vzxzyyxzyxI d)222( 222 ?????? ??? ?用球坐標(biāo) rr d420????dsi n40????? 20 d ? ??221564 ?
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