【正文】 ，相應(yīng)的齊次方程：與 0???????????? yyyeyyy x,2321,012,12 irrr ??????特征方程xAey ?*設(shè)非齊次方程特解不是特征根，1???，xxxx eAeAeAe ???,31]23s i n23c o s[ 212 xxexCxCey ????方程通解.3131 * xeyA ??? ，xxxx eAeAeAe ???.....].[)(1s i n12的取值有關(guān)斂散性與條件收斂；絕對收斂；發(fā)散；為常數(shù)例：級數(shù)aDCBAannnan??????????.1s i n12 發(fā)散級數(shù) ????????? ?n nnna.發(fā)散發(fā)散收斂 ??，解： 22 1s i nnnna ?.s i n12收斂????n nna.11發(fā)散????n n的冪級數(shù)，展開成例：將函數(shù) xxxxf ??? 11a r c t a n)().1,1( ,)1(11)(02 ??????? ???xxxxf nnn?又 f(0)= , 所以 4?dttdttffxf nx xnn ])1([4)()0()(0 00? ? ????????? ?].1,1( ,12)1(4120?????? ???? xxn nnn?解： xxxf2121a r c t a n)(???).4)(1)(()。4)(3)(()。3)(2)(()。2)(1)((][DCBA上述命題正確的是：B收斂；收斂，則若例：設(shè)有下述命題??????? ?11212 )()1(nnnnn uuu收斂；收斂，則若 ??????? 1100 01)2(nnnn uu發(fā)散；，則若 ???????11 1l i m)3(nnnnnuuu.)()4(1 11收斂都，收斂，則若 ? ?????????n nnnnnn vuvu.)()()()(),()(864264242864的表達(dá)式；所滿足的一階微分方程求：的和函數(shù)為例：設(shè)級數(shù)xSIIxSIxSxxxx????????????????.0)0(,2)(3的解是初值問題因此 ???? yxxyyxS，解： ??????????? 864264242)()(864 xxxxSI??????????642422)(,0)0(753 xxxxSS易見。xSxxxxxx )](2[)642422(2642????????? ?.12)( 222????xexxS因此和函數(shù)的通解為：方程2)(3xxyyII ???]2[3Cdxexey xdxxdx ???? ? ?.12222xCex????，得由初始條件 10)0( ?? Cy，故 12222????xexy測 驗(yàn) 題 一、 選擇題 :1 、下列級數(shù)中 , 收斂的是 ( ). ( A) ??? 11nn； (B ) ??? 11nnn； ( C) ??? 13 21n n； (D) ????1)1(nn.2 、下列級數(shù)中 , 收斂的是 ( ). ( A) 11)45(????nn； (B)11)54(????nn； (C )111)45()1(????? ?nnn； ( D) ?????11)5445(nn.3 、下列級數(shù)中 , 收斂的是 ( ) (A) ??? 1222)!(nnn； (B) ??? 1!3nnnnn； (C) ????22s i n1nnn； (D) ?????1)2(1nnnn.4 、部分和數(shù)列? ?ns 有界是正項(xiàng)級數(shù)??? 1nnu 收斂的 ( ) (A) 充分條件； (B) 必要條件； (C) 充要條件； (D ) 既非充分又非必要條件 .5 、設(shè) a 為非零常數(shù) , 則當(dāng) ( ) 時(shí) , 級數(shù) ??? 1nnra收斂 . ( A ) 1?r ； ( B) 1?r ； ( C ) ar ? ； ( D) 1?r .6 、冪級數(shù) ??????11)1()1(nnnnx的收斂區(qū)間是 ( ) . (A) )2,0( ； ( B) )2,0[ ； (C) ]2,0( ； ( D) ]2,0[ .7 、若冪級 ??? 0nnnxa 的收斂半徑為 :1R ????10 R 。 ??? 0nnnxb 的收斂半徑為 :2R ????20 R , 則冪級數(shù) ????0)(nnnnxba 的收斂半徑至少為 ( ) (A)21RR ? ； ( B)21RR ? ； (C) ? ?21,m a x RR ； (D ) ? ?21,m i n RR .8 、當(dāng) 0?k 時(shí) , 級數(shù)21)1(nnknn?????是 ( ) (A ) 條件收斂； (B ) 絕對收斂； (C ) 發(fā)散； (D ) 斂散性與值無關(guān)k.9 、 0lim ???nnu 是級數(shù) ??? 1nnu 收斂的 ( ) ( A) 充分條件； (B ) 必要條件； ( C) 充要條件； (D ) 既非充分又非必要條件 .10 、冪級數(shù) ????1)1(nnxnn 的收斂區(qū)間是 ( ) ( A) )1,1( ? ； (B) ]1,1( ? ； (C) )1,1[ ? ； ( D) ]1,1[ ? .二、 判別下列級數(shù)的收斂性 : 1 、 ??? 1222)!(n nn； 2 、 ??? 1223co snnnn?.三、判別級數(shù)?????11ln)1(nnnn的斂散性 .四、求極限 ])2(842[lim312719131nnn??????? .五、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 :1 、 ????153nnnnxn； 2 、 ??? 122nnnxn.六、 求冪級數(shù) ????1)1(nnnnx的和函數(shù) .七、 求數(shù)項(xiàng)級數(shù) ??? 12!nnn的和 .八、 試將函數(shù)2)2(1x?展開成的冪級數(shù)x.九、 設(shè) )( xf 是周期為 ?2 的函數(shù) , 它在 ],[ ??? 上的表達(dá)式為 ?????????),0[,)0,[,0)(xexxfx將 )( xf 展開成傅立葉級數(shù) .十、 將函數(shù)?????????xhhxxf,00,1)( 分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù) . 十一、證明 : 如果)(),()( xfxfxf ????以為周期?2, 則)( xf的傅立葉系數(shù) 00?a,),2,1(0,022???? kbakk .測驗(yàn)題答案 一、 1 、 B ； 2 、 B ； 3 、 C ； 4 、 C ； 5 、 D ； 6 、 C ； 7 、 D ； 8 、 A ； 9 、 B ； 1 0 、 A .二、 1 、發(fā)散； 2 、收斂 .三、條件收斂 .四、48 . ( 提示 : 化成?? ????nn3323122 )五、 1 、 )51,51[ ? ； 2 、 )2,2( ? .六、?????????????0,0)1,0()0,1(),1ln ()11(1)(xxxxxs .七、 e2 .八、 )2,2(,2)2(11112?????????xxnxnnn九、 nxneexfnnc o s11)1([121)(12????????????? ]s in1)1)1((21nxnenn??????, ( ?,2,1,0, ??????????? nnxx 且 ) .十、 ),(),0(,s i nco s12)(1?????? ???hhxnxnnhxfn ),(),0[,co ss i n2)(1??????? ???hhxnxnnhhxfn