【正文】 xa n]s i n)22(s i n)24[(2002n x d xxnxxxn ? ?? ???????nxdxn c os)22(2 02 ? ? ???? 222 ???? n .12n?)0(c o s6241222?????????? ???xn nxxxn．．故 624c o s2212????????xxnnxn????????bapbap0。xf(x)sinpxdlim(1):試證b ] 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),) 在[ a ,例1 0 . 設(shè)函數(shù)f ( xM . 于是( x )fM,f ( x )0 使得存在常數(shù)M,必有界b ] 上連續(xù),( x ) 在閉區(qū)間[ a ,ff ( x ) 和:證?????,( x ) c o s p x d xfp1 f ( x ) c o s p xp1x)f ( x ) d ( c o s pp1xf ( x ) s i n p x dbabxaxbaba???????????pab2a)M ( bp12Mp1xf ( x ) s i n p x dba??????????_ _ _ _),(c o s)42 0 0 3(2 202 ????? ???axnxaxnn 則設(shè)一 ??的和。與條件收斂，則若都收斂。條件收斂，則若則下列命題正確的是設(shè)?????????????????????????????????????????111111111111)()(,)(,)(,2,1,2,2)9(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqpaDqpaCqpaBqpaAnaaqaap ?? ?B:2 0 0 3 年數(shù)學(xué)一考研題??????12)1(2)1(1nnn xnx六、 (2022三 )求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) f(x)及其極值 . .1)1()(1212??????????nnnxxxxf解：上式兩邊從 0到 x積分，得 ).1l n (211)0()( 20 2 xdtttfxf x ??????? ?由 f(0)=1, 得 ).1(),1l n (211)( 2 ???? xxxf令 ，求得唯一駐點(diǎn) x=0. 由于 0)( ?? xf,)1(1)(222xxxf?????? 01)0( ?????f可見(jiàn) f(x)在 x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1. :2 0 0 3 年數(shù)學(xué)一考研題.)(,)1()(,)()(:)()0 1 3 0 811之和求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)且，為正整數(shù)滿足已知（例：????????nnnxnnnnxfnefnexxfxfxf，???????????111)(nnxnxnnn nxenexxf的通解為：解：方程 xnnn exxfxf 1)()( ????).(][)( 1 CnxeCdxeexexf nxdxxndxn ??????? ??從而，故，得由條件 .)(0)1(nexxfCnef xnnn ???.1ln)(1）（有 xexf xnn ???????），其收斂域?yàn)橛?11[)(1?? ???nnnxxS，時(shí)，當(dāng)xxxSxnn?????? ????11)()1,1(11.1ln11)(0）（ xdttxSx????? ?.2ln)(1 11??????? ? exfxnn時(shí)，當(dāng),11 時(shí)于是當(dāng) ??? x.)()()。)(。的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)利用 ??? 03)!3()1()2(nnnx?.xeyyy ???????驗(yàn)證函數(shù)例： )1( ??? ???????)!3(!9!6!31)(3963nxxxxxy n)( ?????? x。4)(3)(()。2)(1)((][DCBA上述命題正確的是：B收斂；收斂，則若例：設(shè)有下述命題??????? ?11212 )()1(nnnnn uuu收斂；收斂，則若 ??????? 1100 01)2(nnnn uu發(fā)散；，則若 ???????11 1l i m)3(nnnnnuuu.)()4(1 11收斂都，收斂，則若 ? ?????????n nnnnnn vuvu.)()()()(),()(864264242864的表達(dá)式；所滿足的一階微分方程求：的和函數(shù)為例：設(shè)級(jí)數(shù)xSIIxSIxSxxxx????????????????.0)0(,2)(3的解是初值問(wèn)題因此 ???? yxxyyxS，解： ??????????? 864264242)()(864 xxxxSI??????????642422)(,0)0(753 xxxxSS易見(jiàn)。 ??? 0nnnxb 的收斂半徑為 :2R ????20 R , 則冪級(jí)數(shù) ????0)(nnnnxba 的收斂半徑至少為 ( ) (A)21RR ? ； ( B)21RR ? ； (C) ? ?21,m a x RR ； (D ) ? ?21,m i n RR .8 、當(dāng) 0?k 時(shí) , 級(jí)數(shù)21)1(nnknn?????是 ( ) (A ) 條件收斂； (B ) 絕對(duì)收斂； (C ) 發(fā)散； (D ) 斂散性與值無(wú)關(guān)k.9 、 0lim ???nnu 是級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂的 ( ) ( A) 充分條件； (B ) 必要條件； ( C) 充要條件； (D ) 既非充分又非必要條件 .10 、冪級(jí)數(shù) ????1)1(nnxnn 的收斂區(qū)間是 ( ) ( A) )1,1( ? ； (B) ]1,1( ? ； (C) )1,1[ ? ； ( D) ]1,1[ ? .二、 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 : 1 、 ??? 1222)!(n nn； 2 、 ??? 1223co snnnn?.三、判別級(jí)數(shù)?????11ln)1(nnnn的斂散性 .四、求極限 ])2(842[lim312719131nnn??????? .五、 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 :1 、 ????153nnnnxn； 2 、 ??? 122nnnxn.六、 求冪級(jí)數(shù) ????1)1(nnnnx的和函數(shù) .七、 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 12!nnn的和 .八、 試將函數(shù)2)2(1x?展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)x.九、 設(shè) )( xf 是周期為 ?2 的函數(shù) , 它在 ],[ ??? 上的表達(dá)式為 ?????????),0[,)0,[,0)(xexxfx將 )( xf 展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) .十、 將函數(shù)?????????xhhxxf,00,1)( 分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) . 十一、證明 : 如果)(),()( xfxfxf ????以為周期?2, 則)( xf的傅立葉系數(shù) 00?a,),2,1(0,022???? kbakk .測(cè)驗(yàn)題答案 一、 1 、 B ； 2 、 B ； 3 、 C ； 4 、 C ； 5 、 D ； 6 、 C ； 7 、 D ； 8 、 A ； 9 、 B ； 1 0 、 A .二、 1 、發(fā)散； 2 、收斂 .三、條件收斂 .四、48 . ( 提示 : 化成?? ????nn3323122 )五、 1 、 )51,51[ ? ； 2 、 )2,2( ? .六、?????????????0,0)1,0()0,1(),1ln ()11(1)(xxxxxs .七、 e2 .八、 )2,2(,2)2(11112?????????xxnxnnn九、 nxneexfnnc o s11)1([121)(12????????????? ]s in1)1)1((21nxnenn??????, ( ?,2,1,0, ??????????? nnxx 且 ) .十、 ),(),0(,s i nco s12)(1?????? ???hhxnxnnhxfn ),(),0[,co ss i n2)(1??????? ???hhxnxnnhhxfn