【正文】 ,)(0lim)2( )( MxfR nnn ???? 或討論).( xf斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 根據(jù)唯一性 , 利用常見(jiàn)展開(kāi)式 , 通過(guò)變量代換 , 四則運(yùn)算 , 恒等變形 , 逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng)積分 等方法 ,求展開(kāi)式 . ),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ???? ?????????)!12()1(!51!31s i n 1253nxxxxx nn),( ?????x?? ??????? )!2()1(!41!211c o s242nxxxx nn),( ?????x(4) 常用的函數(shù)展開(kāi)式 )1,1(??x??? ???????????nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2 ???????)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121]1,1(??x(5) 應(yīng)用 ,si nco s xixe ix ?? ,2c o sitit eet???,2s i n ieetitit ???(1) 三角函數(shù)系 ?? ,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx.],[ 上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在正交性???,0c o s ?? ??? n x d x ,0s i n ?? ??? n x d x三角函數(shù)系 傅里葉級(jí)數(shù) ),2,1( ??n其中???????? ??? nmnmn x d xmx,0s i ns i n???????? ??? nmnmn x d xmx,0c o sc o s0co ssi n ?? ? ?? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中(2) 傅里葉級(jí)數(shù) ? ?? ?? 10 )si nco s(2 n nn nxbnxaa定義 三角級(jí)數(shù) 其中 ?????? ???? ?????????),2,1(,s i n)(1),2,1,0(,c o s)(1??nn xdxxfbnn xdxxfann稱為傅里葉級(jí)數(shù) . ?????10 )s i nc os(2~)(nnn nxbnxaaxf(3) 狄利克雷 (Dirichlet)充分條件 (收斂定理 ) 設(shè) )( xf 是以 ?2 為周期的周期函數(shù) . 如果它滿足條件 : 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) , 并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn) , 則 )( xf 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 并且( 1 ) 當(dāng) x 是 )( xf 的連續(xù)點(diǎn)時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂于 )( xf 。的斂散性例3 、：判斷級(jí)數(shù) ????122 )s i n (nan?)s i n ()1()s i n ()s i n (222222??????nannnanann ?????????nanan????222s i n)1(?,2~s i n2222nanana ????.)s i n (}{ s i n0s i n122222222條件收斂級(jí)數(shù)單調(diào)遞減,且??????????nannananana??? ????????12212)s i n (,2nnanna ??散? 不定? ) .的何種點(diǎn)？( 收斂? 發(fā)6 是級(jí)數(shù)1 ，1 ，2 , 4 , 5 ,2，點(diǎn)來(lái)說(shuō),3)(xa則對(duì)級(jí)數(shù)2,的收斂半徑為Rxa例4 . 設(shè)冪級(jí)數(shù)n0nn0nnn??????????O 2 2 x O 3 5 1 2 1 2 4 6 x 收斂點(diǎn) :2,4。條件收斂，則若則下列命題正確的是設(shè)?????????????????????????????????????????111111111111)()(,)(,)(,2,1,2,2)9(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqpaDqpaCqpaBqpaAnaaqaap ?? ?B:2 0 0 3 年數(shù)學(xué)一考研題??????12)1(2)1(1nnn xnx六、 (2022三 )求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) f(x)及其極值 . .1)1()(1212??????????nnnxxxxf解：上式兩邊從 0到 x積分，得 ).1l n (211)0()( 20 2 xdtttfxf x ??????? ?由 f(0)=1, 得 ).1(),1l n (211)( 2 ???? xxxf令 ，求得唯一駐點(diǎn) x=0. 由于 0)( ?? xf,)1(1)(222xxxf?????? 01)0( ?????f可見(jiàn) f(x)在 x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1. :2 0 0 3 年數(shù)學(xué)一考研題.)(,)1()(,)()(:)()0 1 3 0 811之和求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)且，為正整數(shù)滿足已知（例：????????nnnxnnnnxfnefnexxfxfxf，???????????111)(nnxnxnnn nxenexxf的通解為：解：方程 xnnn exxfxf 1)()( ????).(][)( 1 CnxeCdxeexexf nxdxxndxn ??????? ??從而，故，得由條件 .)(0)1(nexxfCnef xnnn ???.1ln)(1）（有 xexf xnn ???????），其收斂域?yàn)橛?11[)(1?? ???nnnxxS，時(shí)，當(dāng)xxxSxnn?????? ????11)()1,1(11.1ln11)(0）（ xdttxSx????? ?.2ln)(1 11??????? ? exfxnn時(shí)，當(dāng),11 時(shí)于是當(dāng) ??? x.)()()。2)(1)((][DCBA上述命題正確的是：B收斂；收斂，則若例：設(shè)有下述命題??????? ?11212 )()1(nnnnn uuu收斂；收斂，則若 ??????? 1100 01)2(nnnn uu發(fā)散；，則若 ???????11 1l i m)3(nnnnnuuu.)()4(1 11收斂都，收斂，則若 ? ?????????n nnnnnn vuvu.)()()()(),()(864264242864的表達(dá)式；所滿足的一階微分方程求：的和函數(shù)為例：設(shè)級(jí)數(shù)xSIIxSIxSxxxx????????????????.0)0(,2)(3的解是初值問(wèn)題因此 ???? yxxyyxS，解： ??????????? 864264242)()(864 xxxxSI??????????642422)(,0)0(753 xxxxSS易見(jiàn)。的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)利用 ??? 03)!3()1()2(nnnx?.xeyyy ???????驗(yàn)證函數(shù)例： )1( ??? ???????)!3(!9!6!31)(3963nxxxxxy n)( ?????? x。xf(x)sinpxdlim(1):試證b ] 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),) 在[ a ,例1 0 . 設(shè)函數(shù)f ( xM . 于是( x )fM,f ( x )0 使得存在常數(shù)M,必有界b ] 上連續(xù),( x ) 在閉區(qū)間[ a ,ff ( x ) 和:證?????,( x ) c o s p x d xfp1 f ( x ) c o s p xp1x)f ( x ) d ( c o s pp1xf ( x ) s i n p x dbabxaxbaba???????????pab2a)M ( bp12Mp1xf ( x ) s i n p x dba??????????_ _ _ _),(c o s)42 0 0 3(2 202 ????? ???axnxaxnn 則設(shè)一 ??的和。10 ?? exxnn xn11 limlim???? ? }ln1l i me x p{ xxx ???}1lime xp { xx ??? 。當(dāng) Rx ? 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)發(fā)散 。如果有 1?p , 使得 npnun??l i m 存在 ,則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 .(3) 極限 判別 法 (4) 比值 判別 法 ( 達(dá)朗貝爾 D ’ Alembert 判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 )(l i m1 ????????數(shù)或nnn uu則 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 冪級(jí)數(shù) 三角級(jí)數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開(kāi)式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 傅氏展開(kāi)式 傅氏級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)滿足狄 氏條件 0xx ?取在收斂