【正文】 ? 或討論).( xf斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過變量代換 , 四則運算 , 恒等變形 , 逐項求導(dǎo) , 逐項積分 等方法 ,求展開式 . ),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ???? ?????????)!12()1(!51!31s i n 1253nxxxxx nn),( ?????x?? ??????? )!2()1(!41!211c o s242nxxxx nn),( ?????x(4) 常用的函數(shù)展開式 )1,1(??x??? ???????????nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2 ???????)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121]1,1(??x(5) 應(yīng)用 ,si nco s xixe ix ?? ,2c o sitit eet???,2s i n ieetitit ???(1) 三角函數(shù)系 ?? ,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx.],[ 上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在正交性???,0c o s ?? ??? n x d x ,0s i n ?? ??? n x d x三角函數(shù)系 傅里葉級數(shù) ),2,1( ??n其中???????? ??? nmnmn x d xmx,0s i ns i n???????? ??? nmnmn x d xmx,0c o sc o s0co ssi n ?? ? ?? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中(2) 傅里葉級數(shù) ? ?? ?? 10 )si nco s(2 n nn nxbnxaa定義 三角級數(shù) 其中 ?????? ???? ?????????),2,1(,s i n)(1),2,1,0(,c o s)(1??nn xdxxfbnn xdxxfann稱為傅里葉級數(shù) . ?????10 )s i nc os(2~)(nnn nxbnxaaxf(3) 狄利克雷 (Dirichlet)充分條件 (收斂定理 ) 設(shè) )( xf 是以 ?2 為周期的周期函數(shù) . 如果它滿足條件 : 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點 , 并且至多只有有限個極值點 , 則 )( xf 的傅里葉級數(shù)收斂 , 并且( 1 ) 當 x 是 )( xf 的連續(xù)點時 , 級數(shù)收斂于 )( xf 。2 ) 當 x 是 )( xf 的間斷點時 , 收斂于2)0()0( ??? xfxf。( 3 ) 當 x 為端點 ???x 時 , 收斂于 2 )0()0( ?????? ff . 如果 )( xf 為奇函數(shù) , 傅氏級數(shù) nxbnn si n1???稱為 正弦級數(shù) .(4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當周期為 ?2 的奇函數(shù) )( xf 展開成傅里葉 級數(shù)時 , 它的傅里葉系數(shù)為 ),2,1(s i n)(2),2,1,0(00?????????nn x d xxfbnann 當周期為 ?2 的偶函數(shù) )( xf 展開成傅里葉級數(shù)時 , 它的傅里葉系數(shù)為),2,1(0),2,1,0(c o s)(20??????? ??nbnn x d xxfann 如果 )( xf 為偶函數(shù) , 傅氏級數(shù) nxaann c o s2 10 ????稱為 余弦級數(shù) .奇延拓 : ????????????????0)(000)()(xxfxxxfxF令的傅氏正弦級數(shù))( xf .s i n)(1????nn nxbxf)0( ??? x(5) 奇偶延拓 偶延拓 : ????????????0)(0)()(xxfxxfxF令的傅氏余弦級數(shù))( xf ?????10 c o s2)( n n nxaaxf)0( ??? x則它的傅里葉級數(shù)為的條件滿足收斂定理的周期函數(shù)設(shè)周期為,)(2 xfl),s i nc o s(2~)(10lxnblxnaaxfnnn???? ???式的周期函數(shù)的傅氏展開周期為 l2)6(),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln.121也收斂收斂，則級數(shù)證明：如果正項級數(shù) ?????? nnnn uu.0l i m1??????? nnnn uu 收斂，正項級數(shù)證： ?,0,0 ?? ??????? nuNnN 時，當. 12 收斂????nnu收斂，??????12 ,0nnnn uuu ?,10,1 ????? nuNnN 時，則當，取 ?.||,)(,||,:.411211212也都收斂則級數(shù)都收斂和若級數(shù)證明????????????????nnnnnnnnnnnnnabababa0||2|)||(|: 222 ????? bababa?解|,|222 abba ??? ? ?2221|| baab ??,1212 都收斂和又 ?????? nnnn ba?.)(21122 收斂?????nnn ba.||1收斂????nnn ba22222 22||2)(nnnnnnnn babbaaba ???????,1nb n ?其中令.||1收斂????nnna.)(2122 收斂????nnn ba?.)(12 收斂?????nnn ba.||1收斂???nnn ba? .112 收斂???n n?? ?.212112125300121253的和的和函數(shù)，并求例：求?????????????????nnnnnnnxnxxxx ??? ? 0)0(, )( ,12)(02112????? ???????sxxsnxxsnnnn提示：設(shè)xxxxsxsxsx??????? ?11ln21d11)0()()(0 2? ? ? ?? ?121020 211212121212121 ?????????????????? ???nnnnnn nnn2111ln21,21,)(12112??????????xxxxxsnxnn令.4,432P. 3521)( 并說明理由的冪級數(shù)的收斂半徑，展開成開式，直接確定不具體寫出冪級數(shù)的展xxxxf???? ? xxxxxf 35 12135 21)( ??????解：.3535 ??? x,1531 ??? x? ?xx53115121???開式的收斂情況，可知由等比級數(shù)的冪級數(shù)展：該冪級數(shù)的收斂半徑為. 35?Rxxx5311251531151??????二、典型例題 。)1()1(:11?????nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性例 1 解 nnnnnnnnu)1(1??? ,)11(21nnnn??nnnnn nn122 ])11[(l i m)11(l i m 2???????? 。10 ?? exxnn xn11 limlim???? ? }ln1l i me x p{ xxx ???}1lime xp { xx ??? 。10 ?? e,01lim ??? ?? nn u根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件， 原級數(shù)發(fā)散． 。23c o s)2(12????nnnn解 ,22 3c o s 2nnnnnnu ??? ,2 nnnv ?令nnvv nnnnnn221l i ml i m11 ???????????? nnn 2lim???? ,121 ??,21收斂????nnn根據(jù)比較判別法， 原級數(shù)收斂． ??????1).0()1()2l n ()3(n nanan解 nanu nnnnn 1)2l n (limlim????????? ,)2l n(lim1 nnna ?????,2,2 nenn ??? 時? 從而有 ,)2l n (1 nn nn ???,1lim ???? nn n由于 ,1)2l n (lim ????? nn n .1lim aun nn ????,1100 時即當 ??? aa 原級數(shù)收斂； ,1110 時即當 ??? aa原級數(shù)發(fā)散； ,1 時當 ?a,)11()2l n (1??? ??n nnn原級數(shù)為,)11()2l n (l i m ?????