【正文】 數(shù) .冪級數(shù) nnn xa??? 0如果級數(shù) ??? 0nnnxa 在0xx ?處發(fā)散 , 則它在滿足 不等式0xx ?的一切 x 處發(fā)散 . 定理 1 ( Abel 定理 )如果級數(shù) ??? 0nnnxa 在 )0(00 ?? xxx處收斂 , 則 它在滿足不等式0xx ?的一切 x 處絕對收斂 。( 3 ) 當 ???? 時 , 0?R .( 2 ) 當 0?? 時 , ???R 。( 3 ) 當 x 為端點 ???x 時 , 收斂于 2 )0()0( ?????? ff . 如果 )( xf 為奇函數(shù) , 傅氏級數(shù) nxbnn si n1???稱為 正弦級數(shù) .(4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當周期為 ?2 的奇函數(shù) )( xf 展開成傅里葉 級數(shù)時 , 它的傅里葉系數(shù)為 ),2,1(s i n)(2),2,1,0(00?????????nn x d xxfbnann 當周期為 ?2 的偶函數(shù) )( xf 展開成傅里葉級數(shù)時 , 它的傅里葉系數(shù)為),2,1(0),2,1,0(c o s)(20??????? ??nbnn x d xxfann 如果 )( xf 為偶函數(shù) , 傅氏級數(shù) nxaann c o s2 10 ????稱為 余弦級數(shù) .奇延拓 : ????????????????0)(000)()(xxfxxxfxF令的傅氏正弦級數(shù))( xf .s i n)(1????nn nxbxf)0( ??? x(5) 奇偶延拓 偶延拓 : ????????????0)(0)()(xxfxxfxF令的傅氏余弦級數(shù))( xf ?????10 c o s2)( n n nxaaxf)0( ??? x則它的傅里葉級數(shù)為的條件滿足收斂定理的周期函數(shù)設周期為,)(2 xfl),s i nc o s(2~)(10lxnblxnaaxfnnn???? ???式的周期函數(shù)的傅氏展開周期為 l2)6(),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln.121也收斂收斂，則級數(shù)證明：如果正項級數(shù) ?????? nnnn uu.0l i m1??????? nnnn uu 收斂，正項級數(shù)證： ?,0,0 ?? ??????? nuNnN 時，當. 12 收斂????nnu收斂，??????12 ,0nnnn uuu ?,10,1 ????? nuNnN 時，則當，取 ?.||,)(,||,:.411211212也都收斂則級數(shù)都收斂和若級數(shù)證明????????????????nnnnnnnnnnnnnabababa0||2|)||(|: 222 ????? bababa?解|,|222 abba ??? ? ?2221|| baab ??,1212 都收斂和又 ?????? nnnn ba?.)(21122 收斂?????nnn ba.||1收斂????nnn ba22222 22||2)(nnnnnnnn babbaaba ???????,1nb n ?其中令.||1收斂????nnna.)(2122 收斂????nnn ba?.)(12 收斂?????nnn ba.||1收斂???nnn ba? .112 收斂???n n?? ?.212112125300121253的和的和函數(shù)，并求例：求?????????????????nnnnnnnxnxxxx ??? ? 0)0(, )( ,12)(02112????? ???????sxxsnxxsnnnn提示：設xxxxsxsxsx??????? ?11ln21d11)0()()(0 2? ? ? ?? ?121020 211212121212121 ?????????????????? ???nnnnnn nnn2111ln21,21,)(12112??????????xxxxxsnxnn令.4,432P. 3521)( 并說明理由的冪級數(shù)的收斂半徑，展開成開式，直接確定不具體寫出冪級數(shù)的展xxxxf???? ? xxxxxf 35 12135 21)( ??????解：.3535 ??? x,1531 ??? x? ?xx53115121???開式的收斂情況，可知由等比級數(shù)的冪級數(shù)展：該冪級數(shù)的收斂半徑為. 35?Rxxx5311251531151??????二、典型例題 。23c o s)2(12????nnnn解 ,22 3c o s 2nnnnnnu ??? ,2 nnnv ?令nnvv nnnnnn221l i ml i m11 ???????????? nnn 2lim???? ,121 ??,21收斂????nnn根據(jù)比較判別法， 原級數(shù)收斂． ??????1).0()1()2l n ()3(n nanan解 nanu nnnnn 1)2l n (limlim????????? ,)2l n(lim1 nnna ?????,2,2 nenn ??? 時? 從而有 ,)2l n (1 nn nn ???,1lim ???? nn n由于 ,1)2l n (lim ????? nn n .1lim aun nn ????,1100 時即當 ??? aa 原級數(shù)收斂； ,1110 時即當 ??? aa原級數(shù)發(fā)散； ,1 時當 ?a,)11()2l n (1??? ??n nnn原級數(shù)為,)11()2l n (l i m ???????? nnnn?原級數(shù)也發(fā)散． .1)(,1 )()()()(111211211211211215171315131aaaaaaaaaaaaaasnnnnnnn?????????????????????????）（),(211~)21l n (112ln112333????????nnnnnnnn）（.2ln11,2,2~211131 34343 收斂收斂 ?????????? nn nnnnnnn????? ??1121121),0)((nnn aaa判斷級數(shù)。 不定點 :1,5. 思考題解答 能． 收斂 收斂 nnnnnnn bcbacab ??????? 0,收斂????1)(nnn ba收斂，收斂， ?????????11)()(nnnnnn babc 設 ??? 1nnb 與 ??? 1nnc 都收斂，且nnncab ??),2,1( ??n ，能否推出 ??? 1nna 收斂？思考題 .)1)(1(0斂域及和函數(shù)收求級數(shù) ?????nnxn例 5 解 ,1)1)(1(0??????Rxnnn 斂半徑為的收?,111 ???? x收斂域為 ,20 ?? x即則有設此級數(shù)的和函數(shù)為 ),( xs.)1)(1()(0??????nnxnxs兩邊逐項積分 ??????011)1(nxnx? ?? ?????0 11)1)(1()(nx nx dxxndxxs??????01)1(nnx)1(11????xx ,21xx???求導，得兩邊再對 x)2 1()( ???? xxxs .)2( 1 2??.1lna r c t a n)( 2克勞林級數(shù)展開成麥將 xxxxf ???例 6 解 ,32)1l n (32?? ????? xxxx,)1(32)1l n (216422 ?? ????????? ?nxxxxx nn)11( ??? x? ?? x dxxx 0 21 1ar c t an又? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ???? ??????????12)1(75312753nxxxxx nn)11( ??? x???????????????1210222)1(2112)1(1lna r c t a nnnnnnnnxnxxxx故?? ????