【正文】 Dyx d x d yzzdSS221提示：222 yxRz ???,222222 yxRyzyxRxzyx ?????????? ????xyDd x d yyxRRS222?? ??? 4c o s3c o s22236 s i n???? ??RRr d rrRRd ??構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)面面積。質(zhì)量為一質(zhì)點）對不在該球殼上的求均勻球殼（密度為1(7170MBp ?建立坐標系。位于第一卦限為平面其中計算第二型曲面積分1,)1(11812???????zyxd x d yzAp???? ???? xyDd x d yyxd x d yz 22 )1(提示：?? ? ??? x dyyxdx 10 210 )1(? ????? 10 103 |)1(3 1 dxyx x? ?? 10 3)1(31 dxx104 |)1(121 x???121?分。在第一卦限部分的前側(cè)為柱面其中計算第二型曲面積分)30(1,)3(11 8 122??????????zyxz d x d yy d z d xx d y d zAp。立方體為其中計算第二型曲面積分10,10,10,)()()()4(1181???????????????zyxd x d yxzd z d xzyd y d zyxAp六部分提示：把有向曲面分成的左側(cè)。立方體為其中計算第二型曲面積分10,10,10,)()()()4(1181???????????????zyxd x d yxzd z d xzyd y d zyxAp，面上的投影面積為外，其余四片曲面在，除 043 y o z????????????????43)()()( d y d zyxd y d zyxd y d zyx因此，???? ????yzyz DDd y d zyd y d zy )0()1( ???yzDdyd z1?1)()( ???? ??????dx dyxzdz dxzy類似地，.3?? 原式卦限部分的前側(cè)。是，為曲面其中計算曲面積分????????????nzyxzdSnkzjxyiyxAp?????,02,)(31 8 1222?????? z d x dyx y d z d xy d y d zx 2提示：原積分???? ???? xyDd x d yyxz d x d y )2( 22?? ??? 20 220 )2(s i n,c o s r d rrdttrytrx ?2042 |)4(2rr ?? ? ?2?的上側(cè)的單位法向量。是，為曲面其中計算曲面積分????????????nzyxzdSnkzjxyiyxAp?????,02,)(31 8 1222取左側(cè)：取右側(cè)：軸分成兩部分：沿將2,2 2423 ??????????xzyxzyy???????????43x y d z d xx y d z d xx y d z d x???? ???????xzxz DDd y d zxzxd y d zxzx )2(2 22?? ?? ??? 220 22 2 22 x dzxzxdx 0??2?? 原式流向下側(cè)的通量。在側(cè)，在第四象限內(nèi)部分的上是平面計算第二型曲面積分?????????????),(1]),([]),(2[]),([1181zyxfzyxd x d yzzyxfd z d xyzyxfd y d zxzyxfBp連續(xù)。所圍成的空間區(qū)域的整是平面計算第二型曲面積分1,0,0,0,2182????????????zyxzyxy z d z d xx y d y d zx z d x d yBp個邊界曲面的外側(cè)。的側(cè)表面；）圓柱取外側(cè)穿過下列曲面的通量，求向量場2)0(1),(3182222 hzayxzyxrBp???????????? x dy dzy dz dxx dy dz提示：通量的外側(cè)。為立方體）公式計算曲面積分利用azayaxd x d yzd z d xyd y d zxG a u s sAp????????????0,0,0,11188222的外側(cè)。為此曲面外法線方向余，的表面，為錐體）公式計算曲面積分利用??????c o sc o sc o s0,)c o sc o sc o s(31188222222hzzyxdSzyxG a u s sAp?????????????????????d x d yzd z d xyd y d zxdSzyx222222 )c o sc o sc o s( ???提示：??????? dvzyx )222(??? ??? hh dzztrtrr d rdt 0020 )s i nco s(2 ?4h??.93,0,4118822的表面外側(cè)的圓柱體之間是介于）公式計算曲面積分利用??????????yxzzz d x d yy d z d xx d y d zG a u s sAp流向外側(cè)。為球面）流向指定側(cè)的流量：穿過曲面求下列向量場2222},{22188azyxzyxAAAp????????????? dv)111( ????? dv334 a??處。在點）在給定點的值：求)3,1,1(24231 8 82 MkzjxyixAd i v AAp??????zRyQxPd i vA?????????提示：zx 224 ???8| ?? Md iv A的上側(cè)。提示：補曲面片 ,0,1: 22221 ???? zbyax?????????????1103 ?? ????dx dy dz a b c?343 ?? abc?4?。提示：補曲面片 ,: 2221 aezayx ?????????????????11????? ???? xyDa d x d yed x d y d z )1(0 222 )1( ae a ????。提示：補曲面片 ,: 2221 aezayx ?????????????????11????? ???? xyDa d x d yed x d y d z )1(0 222 )1( ae a ????公式。這個公式稱為格林第二證明：法線方向的方向?qū)?shù)，沿外分別表示的整個邊界曲面，是空間有界閉區(qū)域設(shè).)()(,),(),(),(21 8 822)2(dSnuvnvud xd yd zuvvunvnuCzyxvzyxuBp????????????????????? ??? ?.)()( 22 dSnuvnvud x d y d zuvvu???????????? ??? ?兩式相減，有所排開的液體的重力。向上，大小等于這物體（即浮力）的方向鉛直所受液體的壓力的合力：浸沒在液體中的物體公式推導阿基米德原理利用 G a u s sBp 3188)(),(4188Fdi vzyzxxyfFBp??求，具有連續(xù)的二階偏導數(shù)設(shè)函數(shù)),( zyx FFFF ??提示：梯度zFyFxFFdi v zyx?????????? )( zzyyxx FFF ???,1 39。1 fzyfF x ??)1(1)1( 39。2239。2139。1239。11 fzyfzfzfyF xx ???? 39。22239。1239。11 12 fzfzyyf ???,1 39。1 fzxfF y ??)1(1)1( 39。3339。3139。1339。11 fzxfzfzfxF yy ???? 39。33239。1339。11 12 fzfzxxf ???,39。22 fzyfzxF z ???)(),(4188Fdi vzyzxxyfFBp??求，具有連續(xù)的二階偏導數(shù)設(shè)函數(shù))()(2239。33239。322239。23239。222239。23fzyfzxzyfzyfzxzxfzyfzxF zz????????zzyyxx FFFFd iv ????? )()2(1)(2121239。33239。2339。222439。2339。33239。1339。1139。22239。1239。11fyx y ffxzyfxfzfzfzxxffzfzyyf???????????)2(1)(2 39。33239。2339。222439。23 fyx y ffxzyfxfz ?????？等于什么時，當其中求0))(()(,)),((51 8 8 222??????rfd i vrfzyxrrfd i vBp),)(zfyfxfrf???????? （提示：rzrfzfryrfyfrxrfxf ???????????? )(,)(,)( 39。39。39。？等于什么時，當其中求0))(()(,)),((51 8 8 222??????rfd i vrfzyxrrfd i vBp239。39。)())(())((rrxxrrfrxrfxrxrf ????????32239。39。239。39。239。39。239。32239。39。239。)())(()())(()())(())((ryxrfrzrfrxzrfryrfrzyrfrxrfrfd i v?????????????rrfrf2)()( 39。39。39。 ?????rcrf ?? )(的外側(cè)。為球面其中公式計算積分用2222222)()()(,6188Rczbyaxd x d yzd z d xyd y d zxIG a u s sBp?????????? ???????? ???????? 2/2/222 c o s])([2 ??t d taxRx d xx d x d y d z RaRa? ?? ??? Ra Ra xd xaxR ])([ 22? 335 aR??3335,35 cRz d x d y d zbRy d x d y d z ?? ?? ????????同理3)(310 RcbaI ???? ?。的正向看去為逆時針的軸，其方向是從為曲線）公式計算曲線積分用xzyxazyxx d zz d yy d xS t o k e sAp?????????????? 0,111 9 52222。為上半球面）分別如下：及積分值，其中化為曲線積分，并計算公式把曲面積分用2221},{12195yxzxzxyyAAdSAS t o k e sAp?????????????????? dSA的上側(cè)。外側(cè)去掉的表面為立方體）分別如下：及積分值，其中化為曲線積分，并計算公式把曲面積分用x o yxzyzzyAAdSAS t o k esAp]2,0[]2,0[]2,0[},{221 9 5????????????????????dSA.)s i n ( c o s)s i n (s i n3,2,1319522222kzxyjxzyiyxAkxyjzxiyzAkzjyixAAp??????????????????）））求下列場的旋度：222)1zyxzyxkjir o t A??????????提示： 0??）同 1)3),2的一