【正文】 ???????????????????????xxxxnxxxxxjxxxxinnnjjjj1211210211212121150 I n1 輸入 xi ,yi (I=0 ,1, …,n) 及 n,x j=1,2,…,n 2 P *(xj +xj+1) xP? I j 按公式（ ）計(jì)算 P2(x) 輸出 x, P2(x) 圖 27 51 167。 5 三次樣條插值 分段低次插值雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它只能保證各小段曲線在連接點(diǎn)上的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線的光滑性(如 圖 26中的折線 )，這就不能滿足某些工程技術(shù)上的要求。從六十年代開(kāi)始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的 52 所謂樣條（ Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多項(xiàng)式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數(shù)值逼近的一個(gè)極其重要的分支，在許多領(lǐng)域里得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)介紹應(yīng)用最廣泛且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值函數(shù)。 三次樣條插值函數(shù)的定義 對(duì)于給定的函數(shù)表 53 x)(xf y0x0 x1 xny1 yn??其中 ，若 函數(shù) 滿足 : （ 1） 在每個(gè)子區(qū)間 上是不高于三次的多項(xiàng)式； （ 2） 在 [a,b]上連續(xù)； （ 3）滿足插值條件 bxxxa n ????? ?10)(xS),2,1](,[ 1 nixx ii ???)(xS)(),(39。),( xSxSxS),1,0()( niyxS ii ???54 i)(xS )(xf nxxx , 10 ?)(xSi)(xS],[ 1 ii xx?)(xSi則稱(chēng) 為函數(shù) 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 三次樣條插值 。 邊界條件問(wèn)題的提出與類(lèi)型 注： 單靠一張函數(shù)表是不能完全確定一個(gè)三次樣條插值函數(shù)的。 事實(shí)上，由條件 （ 1） 知，三次樣條插值函數(shù) 是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式， 若用 表示它在第 個(gè)子區(qū)間 上的表達(dá)式，則 形如 ： ],[,)( 1332210 iiiiiii xxxxaxaxaaxS ??????55 這里有四個(gè)待定系數(shù) 。子區(qū)間共有 n個(gè)，確定 需要確定 4n個(gè)待定系數(shù)。 另一方面，要求分段三次多項(xiàng)式 及其導(dǎo)數(shù) 在整個(gè)插值區(qū)間[a,b]上連續(xù)，只要在各子區(qū)間的端點(diǎn) 連續(xù)即可。故由條件（ 2），（ 3） 可得待定系數(shù)應(yīng)滿足的 4n2個(gè)方程為： )3,2,1,0( ?ja ij)(xS)(xS)(),(39。 xSxS)1,2,1( ?? nix i ?56 ????????????????????????),...,1,0()()1,...,2,1()0(39。39。)0(39。39。)1,...,2,1()0(39。)0(39。)1,...,2,1()0()0(niyxSnixSxSnixSxSnixSxSiiiiiiii () 由此可以看出，要確定 4n個(gè)待定系數(shù)還缺少兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件通常在插值區(qū)間[a,b]的邊界點(diǎn) a,b處給出，稱(chēng)為 邊界條件 。邊界條件的類(lèi)型很多，常見(jiàn)的有： （ 1）給定一階導(dǎo)數(shù)值 （ 2）給定二階導(dǎo)數(shù)值 39。39。00 )(39。,)(39。 nn yxSyxS ??00 )(39。39。,)(39。39。 nn yxSyxS ??57 特別地， 稱(chēng)為 自然邊界條件 ，滿足 自然邊界條件 的三次樣條插值函數(shù)稱(chēng)為 自然樣條插值函數(shù) 。 （ 3）當(dāng) 是周期為 的函數(shù)時(shí)，則要求 及其導(dǎo)數(shù)都是以 為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界條件為 0)(39。39。)(39。39。 0 ?? nxSxS)(xf ab?)(xS ab?)0(39。39。)0(39。39。),0(39。)0(39。00??????nnxSxSxSxS58 三次樣條插值函數(shù)的求法 雖然可以利用方程組 （ ） 和邊界條件求出所有待定系數(shù) aij 從而得到三次樣條插值函數(shù) 在各個(gè)子區(qū)間 的表達(dá)式 。但是，這種做法的計(jì)算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用。下面介紹一種簡(jiǎn)便的方法。 設(shè)在節(jié)點(diǎn) 處 的二階導(dǎo)數(shù)為 ix )(xS)(xS ],[ 1 ii xx ?)(xSi),1,0()( niMxS ii ???59 因?yàn)樵谧訁^(qū)間 上 是不高于三次的多項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù)必是線性函數(shù)（或常數(shù)）。于是，有 記 則有 ],[,)( 1111139。39。iiiiiiiiiii xxxxxxxMxxxxMxS????? ???????],[ 1 ii xx ? )()( xSxS i?1??? iii xxhiiiiiii hxxMhxxMxS 1139。39。 )( ??????60 連續(xù)積分兩次得： ? ? ? ?? ? BAhxxMhxxMxSiiiiiiixxiii??????????1331 616)(() 其中 為積分常數(shù)。利用插值條件 ii BA,iiiiii yxSyxS ?? ?? )(,)( 11易得 61 將它們代入 （ ） ，整理得 2111161)()(61)(iiiiiiiiiihMyxBMMhyyxA??????????? ? ? ? ),2,1],[()6()6(616)(112211331nixxxhxxiyhxxhyhihixiiiiiiiiiiiiiiiihMMxxMxxMS???????????????????() 62 綜合以上討論可知，只要確定 這 n+1個(gè)值，就可定出三次樣條插值函數(shù)。 為了求出 ，利用一階函數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件 ),1,0( niM i ??),1,0( niM i ??)0(39。)0(39。)0(39。)0(39。1 ??????? iiiiiixSxSxSxS即 （ ） 由 （ ） 可得 63 ? ?11 6 ?? ???? iiiiii MMnhyy () ? ? ? ? ? ?iiiiii hxxMhxxMxS222121????????故 ? ? iiiiiiiii MhMhhyyxS360 11 ????????() 將 （ ） 中的 改為 ，即得 在子區(qū)間 上的表達(dá)式 ，并由此得： i 1?i )(39。 xS],[ 1?ii xx )(39。 1 xSi?64 將 (),()代入 ()整理后得 ? ? 111111630 ?????? ?????? iiiiiiiii MhMhhyyxS () iiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh 1111111636??????? ???????兩邊同乘以 ，即得方程組 16?? ii hh? ?1,2,162111111111?????????? ??????????????????nihyyhyyhhMhhhMMhhhiiiiiiiiiiiiiiiii?65 若記 ? ???? ?? ?????????????????????????1,2,1,61,111111nixxfxxfhhghhhhhhiiiiiiiiiiiiiiii????() 則所得方程組可簡(jiǎn)寫(xiě)成 ? ?1,2,12 11 ????? ?? nigMMM iiiiii ???66 即 ????????????????????? 1112`1232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM?????????????() 這是一個(gè)含有 n+1個(gè)未知數(shù)、 n1 個(gè)方程的線性方程組。要確定 的值，還需用到邊界條件。在第 (1) 種邊界條件下，由于 iM? ? oyxS ??? 0 ? ? nn yxS ???和 67 已知，可以得到包含 另外兩個(gè)線性方程。由 ()知， 在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為 ??xS ?? 10 , xxiM? ? ? ? ? ?? ?011101120112101622MMhhyyhxxMhxxMxS??????????故由條件 立即可得 ? ?oyxS ??? 0? ?011101100 62 MMhhyyhMy ???????68 即 ???????? ?????010111062 yhyyhMM() 同理，由條件 可得 ? ?nn yxS ??????????? ????? ??nnnnnnn hyyyhMM11 62 （ ） 將 ()、 ()、 ()合在一起，即得確定 的線性方程組： nMMM , 10 ?69 ?????????????????????????????????????????????????????nnnnnnggggMMMM11011011112122