【正文】 r a r?? ? ? ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (1/12) 定常 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 前面已經(jīng)指出 ,即使被控系統(tǒng)是 線(xiàn)性定常的 ,性能指標(biāo)泛函中的矩陣 Q(t)和 R(t)也為定常的 ,在末態(tài)時(shí)刻為 有限時(shí)間 (tf?)時(shí) ,其最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的 最優(yōu)狀態(tài)反饋律 也是 時(shí)變的 。 ? 這樣就為控制方法的 實(shí)施帶來(lái)了相當(dāng)大的困難 ,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜 。 ? 顯然 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為時(shí)變的癥結(jié)在于 P(t)是時(shí)變的 。 ? 因此 ,建立 P(t)為 定常矩陣 的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 的條件 就是得到 定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律 的條件 。 ? 以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng) ,既大大 減少了控制系統(tǒng)實(shí)施的困難性 ,簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ,又便于維護(hù)使用 ,無(wú)論在理論上和工程上都具有較大價(jià)值 。 τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??dtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxx* * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (2/12) ? 從例 711的一階線(xiàn)性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題可以看出 ,隨著末態(tài)時(shí)刻 tf的 無(wú)限增長(zhǎng) ,黎卡提微分方程的解 p(t)趨于常數(shù) ,而 最優(yōu)狀態(tài)反饋律 也轉(zhuǎn)化為 定常的 。 ? 因此 ,對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,若其泛函指標(biāo)中矩陣 Q(t)和 R(t)均為定常 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律 為定常的條件 與 末態(tài)時(shí)刻 tf無(wú)限有關(guān) 。 ? 下面將先給出 線(xiàn)性定常系統(tǒng) 在無(wú)限時(shí)間時(shí) 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,再給出和證明最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件以及定常的最優(yōu)狀態(tài)反饋解。 ? 線(xiàn)性定常系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間時(shí)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的描述如下。 22()ftLim p t a r q r a r?? ? ? ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (3/12) ? 無(wú)限時(shí)間 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 設(shè) 線(xiàn)性 定常 系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為 式中 ,系統(tǒng)矩陣 A和輸入矩陣 B為常數(shù)矩陣 。 ? 控制量 u(t)不受約束 。 ? 尋找最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小 式中 ,Q為 非負(fù)定 常數(shù)矩陣 。 R為 正定 常數(shù)矩陣 。 00( ) ( ) ( ) , ( )t A t B t t? ? ?x x u x x? ? ??? 0 ττ d)]()()()([21)]([ ttRttQtJ uuxxudtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxx定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (4/12) ? 上述無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的性能指標(biāo)泛函中 沒(méi)有末態(tài)性能指標(biāo)項(xiàng) S(x(tf),tf)。 ? 這是因?yàn)?,對(duì)無(wú)限時(shí)間調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,使性能指標(biāo)泛函最小的末態(tài) x(?)必定為原點(diǎn) ,否則 ,J[u()]將趨于 ?。 ? 因此 ,x(?)必為原點(diǎn) ,此時(shí)再規(guī)定末態(tài)性能指標(biāo)項(xiàng)是無(wú)意義的 。 ? 前面已經(jīng)指出 ,上述線(xiàn)性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條件與末態(tài)時(shí)刻 tf為無(wú)限 的有關(guān) 。 ? 該結(jié)論可簡(jiǎn)單說(shuō)明如下 。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (5/12) ? 由黎卡提微分方程解的性質(zhì)可知 ,矩陣 P(t)是如下黎卡提微分方程末值問(wèn)題的解 。 式中 ,矩陣 A、 B、 Q和 R都為 定常矩陣 。 ? 由于 P(t)與末態(tài)時(shí)刻 tf有關(guān) ,可記為 P(t,tf)。 ? 由微分方程理論可知 ,上述 定常微分方程 的解 P(t,tf)的值只與 tft有關(guān) ,與時(shí)刻 t無(wú)直接關(guān)系 。 ? 因此 ,有 ??????????? ?0)()()()()()( τ1τftPQtPBBRtPtPAAtPtP?),0(),0(L i m),(L i m ???? ???? PttPttP ftftff定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (6/12) ? 即當(dāng) tf→ ?時(shí)定常微分方程 (7178)的解 P(t,tf)與時(shí)間 t無(wú)關(guān) 。 ? 因此 ,只要黎卡提微分方程 (7178)的解 P(t,tf)存在且為有限矩陣 ,則 P(t,tf)必為常數(shù)矩陣 。 ? 所以 ,該黎卡提微分方程可記為如下代數(shù)矩陣方程 也稱(chēng)為 黎卡提矩陣代數(shù)方程 。 ? 因此 ,上述結(jié)論可歸納為如下線(xiàn)性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理。 τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?τ 1 τ ( 7 1 7 8 )( ) 0fP P A A P P B R B P QPt?? ? ? ? ? ?? ?? ???定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (7/12)— 定理 716 ? 定理 716(無(wú)限時(shí)間 狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理 ) 無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 的最優(yōu)控制存在且唯一 ,并可由下式?jīng)Q定 u*=R1B?Px 式中 ,n n維矩陣 P是 黎卡提矩陣代數(shù)方程 的 唯一 非負(fù)定 的解 。 ? 此時(shí) ,最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ? 從任意初始狀態(tài)開(kāi)始的最優(yōu)性能指標(biāo)為 τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?1 00( ) ( ) , ( )t A B R B P t t????? ? ???x x x x)()(21]),([ 00τ00 tPtttJ xxx ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (8/12) ? 關(guān)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的定理 ,有如下 說(shuō)明 。 1) 在該定理中 ,強(qiáng)調(diào)了 被控的 線(xiàn)性 定常 系統(tǒng)狀態(tài)要 能鎮(zhèn)定的 (即能穩(wěn)的 )。 ? 由 ,狀態(tài)能穩(wěn)性 的意義 是 :一定存在一個(gè)狀態(tài)反饋 ,使?fàn)顟B(tài)能穩(wěn)的系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定 。 ? 無(wú)限時(shí)間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 要求 調(diào)節(jié)被控系統(tǒng)在末態(tài)時(shí)刻 tf→ ?時(shí)的狀態(tài) x(?)為零狀態(tài) (原點(diǎn) )。 ? 如果被控系統(tǒng)是 狀態(tài)能控 的 ,當(dāng)然就存在 線(xiàn)性定常 狀態(tài)反饋律 ,使被控系統(tǒng)的反饋閉環(huán)系統(tǒng)是 漸近穩(wěn)定的 ,即狀態(tài) x(t)可 逐漸衰減至零 。 ?或存在 時(shí)變 的狀態(tài)反饋律 ,使被控系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài) 。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (9/12) ? 若被控系統(tǒng)是 狀態(tài)不完全能控的 ,則至少要求 不能控的子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 ,才能使得該部分子系統(tǒng)的狀態(tài)能隨時(shí)間 t→ ?而自由衰減至零狀態(tài) 。 ?因此 ,在無(wú)限時(shí)間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題中 ,要求系統(tǒng) 至少是 狀態(tài)能鎮(zhèn)定的 。 ? 在前一節(jié)討論的 有限時(shí)間 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題中 ,未要求被控系統(tǒng)是 狀態(tài)能控的 或 狀態(tài)能鎮(zhèn)定 的。 ? 這是因?yàn)?,該問(wèn)題的末態(tài) x(tf)是自由的。 ? 控制的目的是使性能指標(biāo)泛函最小 ,而不是將系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)到指定的末態(tài)。 ? 即使系統(tǒng)狀態(tài)不是能控的和能鎮(zhèn)定的 ,也總可以找到控制 u(t)使得性能指標(biāo)泛函對(duì)該系統(tǒng)而言是最小的。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (10/12) 2) 若被控線(xiàn)性定常系統(tǒng)是 狀態(tài)能鎮(zhèn)定的 ,即矩陣對(duì) (A,B)是能鎮(zhèn)定矩陣對(duì) ,則黎卡提矩陣代數(shù)方程的解 P至少是非負(fù)定的。 若被控線(xiàn)性定常系統(tǒng)是 狀態(tài)完全能控的 ,即矩陣對(duì) (A,B)是 能控矩陣對(duì) ,則黎卡提矩陣代數(shù)方程的解 P是正定的(參見(jiàn)參考文獻(xiàn) [43])。 ? 下面通過(guò)分析一個(gè)一階線(xiàn)性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)該調(diào)節(jié)器的基本特性。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (11/12)— 例 712 ? 例 712 已知 一階 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)分別為。 式中 ,q?0,r0。 ? 試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線(xiàn) 。 ? 解 根據(jù)定理 716,可以求出該問(wèn)題的最優(yōu)控制為 式中 ,p是如下黎卡提代數(shù)方程的解 ???????02200d)]()([21)()()()(ttrutqxJxtxtutaxtx?)(1)( tpxrtu ??012 2 ??? qprapu*=R1B?Px τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (12/12) ? 解之得 ? 因此 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為 相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 于是得 22p ar qr a r? ? ?2( ) ( )qx t a x tr? ? ?2( ) e x p ( 0 )qx t a xr??? ? ?????)()( 2 txarqatu???????? ????