【正文】 則式 (7167)可以進(jìn)一步表示為 τ τ1( , , ) [ ] [ ]2H Q R A B?? ? ? ?xu λ x x u u λ xu0τ τ τ11( ) ( ) [ ] [ ] d ( 7 1 6 7 )22 ftfftJ t F t Q R A B t???? ? ? ? ? ? ??????x x x x u u λ x u x000ττ1( ) ( ) [ ( , , ) ] d21( ) ( ) ( ) ( ) | [ ( , , ) ] d2ffftff tttf f t tJ t F t H tt F t t t H t???? ? ?? ? ? ???x x x u λ λ xxx λ x x u λ λ x00( ) ( )1( ) ( ) ( )2 ( )[ ( ) ( ) ] ( )fftfff f ftftf f ftt F t HHJ x t t t dttHHt F t t x dt?? ???? ???? ? ? ? ?? ? ???? ????? ? ? ? ?????? ? ???????????? ? ? ? ?????????????xxλ x λ xux x ux λ x λ uxu最優(yōu)控制的充分必要條件 (4/10) ? 根據(jù)極值的必要條件 ?J=0,可以求得 以及極值條件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1( ) ( )2 ( )fffffHt A t t B t tHt Q t t A t tt F tt F tt???? ? ???? ? ? ? ??????x x uλλ x λxxxλ xx0[ ( ) ( ) ] ( ) ftf f f t HHJ t F t t x d t? ???? ? ? ???????? ? ? ? ??????????x λ x λ uxu( ) ( ) ( ) ( ) 0H R t t B t t?? ? ? ?? u λu最優(yōu)控制的充分必要條件 (5/10) ? 由極值條件 (7173)得最優(yōu)控制律為 ? 注意到狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程及其終端條件均為線性 ,因此 ,?(t)和 x(t)之間必定為線性關(guān)系 ,可以表示為 ? 由上述兩式可以得到 u(t)的最優(yōu)解 。 已知 u*(t)是最優(yōu)控制 ,需要證明 。 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , [ , ]ft A t t B t t t t t t? ? ? ?x x u x xdtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxC(t)=I,z(t)=0,則 y(t)=x(t)=e(t) 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (3/3) ? 由于所討論的系統(tǒng)為 線性系統(tǒng) ,給定的性能指標(biāo)泛函 J 對狀態(tài)變量 x(t)和控制量 u(t)均 連續(xù)可微 ,因此 ,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 可用 變分法 、 極大值原理 和 動態(tài)規(guī)劃方法 中的 任一種求解 。 時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (2/3) ? 有限時(shí)間 LQ調(diào)節(jié)器問題 設(shè) 線性時(shí)變系統(tǒng) 的狀態(tài)方程和初始條件為 式中 ,控制量 u(t)不受約束 。 ? ???? fttff tttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxu? ???? fttff tttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuyyyyu0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (12/12) 3) 若 z(t)≠0,則 e(t)=z(t)y(t)。 1) 若令 C(t)=I,z(t)=0,則 y(t)=x(t)=e(t)。 ? 正定的時(shí)變矩陣 R(t)亦為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對相應(yīng)的控制向量 u(t)的分量在各時(shí)刻的要求不同 、 重要性不同 。 ? 而且 u(t)越大 ,該項(xiàng)函數(shù)值越大 ,其在整個性能指標(biāo)泛函所占的分量就越大 。 ? 時(shí)變矩陣 Q(t)的不同選擇 ,對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大 。 ? 一般情況下 ,e(t)越大 ,該項(xiàng)函數(shù)值越大 ,其在整個性能指標(biāo)泛函所占的份量就越大 。 ? 若矩陣 F的第 i行第 i列元素值較大 ,代表二次項(xiàng)的重要性較大 ,對其精度要求較高 。 固定 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (6/12) ? 下面對上述性能指標(biāo)泛函作細(xì)致的討論 : 1) 性能指標(biāo)泛函 J[u( ? 用 z(t)表示預(yù)期的輸出 ,它為 m維向量 ,則定義 輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)y(t) 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( )t A t t B t t tt C t t? ? ??x x u x xyx線性二次型最優(yōu)控制 (5/12) ? 控制的目標(biāo) J是 尋找 最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列 二次型性能指標(biāo)泛函 為最小 式中 , R(t), Q(t)和 F都為 對稱 矩陣 對稱 F為 m m維 非負(fù)定 的 常數(shù) 矩陣 。 ? 線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題可表述如下。 ? 因此 ,線性二次型問題 對于從事自動控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。 最優(yōu)控制原理 目錄 (1/1) 目 錄 ? 最優(yōu)控制概述 ? 變分法 ? 變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用 ? 極大值原理 ? 線性二次型最優(yōu)控制 ? 動態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制 ? Matlab問題 ? 本章小結(jié) 線性二次型最優(yōu)控制 (1/12) 線性二次型 最優(yōu)控制 ? 對于最優(yōu)控制問題 ,極大值原理 很好地描述了動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制解的存在性。 ? 該類問題的 優(yōu)點(diǎn) 是能得到最優(yōu)控制解 u*(t)的統(tǒng)一解析表達(dá)形式 和一個 簡單的且易于工程實(shí)現(xiàn)的 最優(yōu)狀態(tài)反饋律。 ? 本節(jié)將陸續(xù)介紹線性二次型問題及其解的 存在性、唯一性 和 最優(yōu)控制解的 充分必要條件 。 ? 假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足 0m?r?n,且 u(t)不受約束 。 ＞ 0 ? 末態(tài)時(shí)刻 tf是 固定 的 。 該項(xiàng)函數(shù)值 總是為非負(fù)的 。 ? 由于時(shí)變的加權(quán)矩陣 Q(t)為 非負(fù)定 的 ,故該項(xiàng)函數(shù)值總是為非負(fù)的 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (8/12) ? 非負(fù)定 的時(shí)變矩陣 Q(t)為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對相應(yīng)的誤差向量 e(t)的分量在各時(shí)刻的要求不同 、 重要性不同 。 ? 由于時(shí)變的加權(quán)矩陣 R(t)為 正定的 ,故該項(xiàng)函數(shù)值在u(t)為非零向量時(shí) 總是為正的 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (10/12) ? 因此 ,該項(xiàng) Lu是用來衡量控制功率大小的代價(jià)函數(shù) 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t