【正文】 ??2 β ()2 β ()/ ββ ( β )/ β ()/ β1/ β ffttttf r aa a ef r ap t rf r a ef r a????????????2β arq ??最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (9/13) ? 圖 78(a)表示在 a=1,f=0,tf=1,x(0)=1和 q=1時(shí) ,以r為參數(shù)的一組 最優(yōu)狀態(tài)軌線 x(t)。 證畢 ? 由定理 714和 715表明 ,對(duì)于線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問題 ,如果控制區(qū)間 [t0,tf]有限 ,則其最優(yōu)控制必存在 且 唯一 地具有 狀態(tài)線性反饋律 的形式 。 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (2/13) ? 證明 (1) 存在性證明 。 τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (2/3) 2) 對(duì)于任意 t?[t0,tf], P(t)是對(duì)稱矩陣 。 1*** * **( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )t P t t P t tP t t P t A t t P t B t tP t P t A t P t B t R t B t P t t????? ? ?? ? ?λ xxx x ux*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 7 1 )( ) ( ) ( ) ( 7 1 7 5 )t Q t t A t tt P t t?? ? ? ???λ x λλ x* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t Q t t A t P t t Q t A t P t t?? ??? ? ? ? ? ???λ x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (7/10) 2) 充分性證明 。 ? 這里可變分的宗量為 x(t),u(t)和 x(tf) 。 ? 尋找最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小 式中 , F和 Q(t)為 非負(fù)定矩陣 。 這時(shí) ,線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)? ? 該問題轉(zhuǎn)化成 :用不大的控制能量 ,使?fàn)顟B(tài) x(t)保持在零值附近 ,稱為 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 。 ? 因此 ,對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對(duì)控制向量 u(t)的大小的約束和限制 。 ? 因此 ,對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了 對(duì)誤差向量 e(t)的大小的約束和限制 。)]中的 第 1項(xiàng) e?(tf)Fe(tf),是為了突出 對(duì)末端目標(biāo) 的控制誤差的要求和限制 而引進(jìn)的 ,稱為 末端代價(jià)函數(shù) 。 線性二次型最優(yōu)控制 (4/12) ? 線性二次型 最優(yōu)控制問題 設(shè) 線性 時(shí)變 系統(tǒng) 的狀態(tài)方程和輸出量測(cè)方程為 式中 , x(t)是 n維 狀態(tài) 向量 ,u(t)是 r維 輸入 控制向量 ,y(t)是 m維 實(shí)際的輸出 向量 。 ? 但對(duì)于復(fù)雜的控制問題 ,如 非線性系統(tǒng) 的控制問題、系統(tǒng)模型與性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)控制量 u(t)不為連續(xù)可微的 控制問題 ,在 確定最優(yōu)控制規(guī)律時(shí) 存在不少困難 ,如 ? 非線性 常微分方程求解、 ? 最優(yōu)控制的 非平凡性 問題 , ? 而且?guī)?閉環(huán)控制 系統(tǒng)工程實(shí)現(xiàn)時(shí) 困難性 ,難以得到 統(tǒng)一、簡潔的最優(yōu)控制規(guī)律的表達(dá)式 。 線性二次型最優(yōu)控制 (3/12) ? 線性二次型問題 是最優(yōu)控制理論中發(fā)展 最為成熟、最有系統(tǒng)性、應(yīng)用最為廣泛和深入的分支 。 ≥0 ? R(t)為 r r維 時(shí)變 的 分段連續(xù) 的 正定 矩陣 ,且其 逆矩陣 存在并有界 。)]中的 第 2項(xiàng) 被積函數(shù)中的 第 1項(xiàng)e?(t)Q(t)e(t),表示在 系統(tǒng)工作過程中 對(duì)控制誤差向量 e(t)的要求和限制 。)] 中 第 2 項(xiàng) 的被積函數(shù)的 第 2 項(xiàng)u?(t)R(t)u(t),表示在 系統(tǒng)工作過程中 對(duì)控制向量 u(t)的大小的要求和限制 。 ? 綜上所述 ,可見 線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問題 的實(shí)質(zhì) 在于用不大的控制量 u,來保持較小的控制誤差 e,以達(dá)到所 耗費(fèi)的能量 和 控制誤差的綜合最優(yōu) 。 ? 下面將陸續(xù)介紹 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 、 輸出調(diào)節(jié)器 和 最優(yōu)跟蹤問題 的求解方法 、 解的性質(zhì)以及最優(yōu)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn) ,具體內(nèi)容為： ? 時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (1/3) 時(shí)變 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 前面已經(jīng)指出 ,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題為 : ? 用不大的控制能量 ,使?fàn)顟B(tài) x(t)保持在零值附近的二次型最優(yōu)控制問題 。 ? 內(nèi)容為： ? 最優(yōu)控制的充分必要條件 ? 矩陣 P(t)的若干性質(zhì) ? 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 dtttRtttQttFttuJ fttff ? ??? 0 )]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxx最優(yōu)控制的充分必要條件 (1/10)— 定理 714 1. 最優(yōu)控制的 充分必要條件 ? 定理 714(有限時(shí)間 LQ調(diào)節(jié)器 ) 對(duì)于有限時(shí)間 LQ調(diào)節(jié)器問題 ,為其最優(yōu)控制的 充分必要條件 是 ? 最優(yōu)軌線為下述狀態(tài)方程 的解 ,而最優(yōu)性能值為 式中 ,P(t)為下述矩陣 黎卡提 微分方程 的 正定 或 半正定 解 。 ? 求解方法如下 。 * * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux( ) ( ) ( ) ( ) ( )t A t t B t t??x x u1 τ( ) ( ) ( ) ( )K t R t B t P t???x ( t )u ( t )矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (1/3) 2. 矩陣 P(t)的若干性質(zhì) ? 對(duì)黎卡提微分方程的解 P(t),有如下性質(zhì) 。 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (1/13)— 定理 715 3. 最優(yōu)控制的 存在性 與 唯一性 ? 對(duì)于一般的最優(yōu)控制問題 ,論證最優(yōu)控制解的存在性是很困難的 ,但對(duì)于最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,可以證明最優(yōu)控制解的存在性和唯一性 。 *1 ()tu 和*2()tu最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (3/13) ? 由 P(t)的唯一性可知 , 分別為 式中 , 分別為對(duì)應(yīng)于控制量 的最優(yōu)狀態(tài)軌線 。 0 0 ()( ) e x p dt psx t x a sr??????????????? p2( t )/ r p ( t ) x? = ax +bu 1/ r x ( t ) u ( t ) ? ∫ p ( 0 ) 2 a 2ap ( t ) p?( t ) + q + 圖 77 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 ? 這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在 tf?的一個(gè)重要性質(zhì) 。 ? 當(dāng) r→0 時(shí) ,控制將逐漸變成在 t=0時(shí)刻的脈沖信號(hào)。 ? 當(dāng) a=1,q=r=1時(shí) ,p(t)→ 。 ? 因此 ,對(duì)線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,若其泛函指標(biāo)中矩陣 Q(t)和 R(t)均為定常 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律 為定常的條件 與 末態(tài)時(shí)刻 tf無限有關(guān) 。 ? 這是因?yàn)?,對(duì)無限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題 ,使性能指標(biāo)泛函最小的末態(tài) x(?)必定為原點(diǎn) ,否則 ,J[u( ? 由微分方程理論可知 ,上述 定常微分方程 的解 P(t,tf)的值只與 tft有關(guān) ,與時(shí)刻 t無直接關(guān)系 。 ? 由 ,狀態(tài)能穩(wěn)性 的意義 是 :一定存在一個(gè)狀態(tài)反饋 ,使?fàn)顟B(tài)能穩(wěn)的系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定 。 ? 控制的目的是使性能指標(biāo)泛函最小 ,而不是將系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)到指定的末態(tài)。 ? 解 根據(jù)定理 716,可以求出該問題的最優(yōu)控制為 式中 ,p是如下黎卡提代數(shù)方程的解 ???????02200d)]()([21)()()()(ttrutqxJxtxtutaxtx?)(1)( tpxrtu ??012 2 ??? qprapu*=R1B?