【正文】 們需要的是一個(gè)互補(bǔ)松弛條件的“強(qiáng)形式”，即當(dāng)約束起作用的時(shí)候，h(t, y)=c，我們希望。而且，我們還必須對(duì)隨時(shí)間變化的方式施加限制：在可導(dǎo)的點(diǎn)，當(dāng)h(t, y)=c時(shí)，必須是非正的。關(guān)于這一點(diǎn)，我們?cè)诤竺孀C明該方法和前面的一般形式解法等價(jià)的時(shí)候會(huì)看到其作用。我們假設(shè)存在內(nèi)部解，一階條件為：，和 ， （=0，當(dāng)h(t, y)c） +橫截條件當(dāng)然，如果控制變量本身有非負(fù)約束，則一階條件替換為：，和該條件容許出現(xiàn)邊界解，如果是u存在一個(gè)閉的控制域，也可能出現(xiàn)邊界解。以上方法和之前的“一般解法”的區(qū)別在于，通過約束方程及其乘子的變動(dòng)，對(duì)約束起作用的“臨界點(diǎn)”的信息更容易識(shí)別。但是，其實(shí)該方法和前面的一般解法是等價(jià)的。我們通過以下步驟來說明必須是非正的：（a）使和相等（都等于0）并求解。（b）關(guān)于t求的全導(dǎo)數(shù)，得到。（c）通過使用“一般解法”中的表達(dá)式，擴(kuò)展（b）中得到的表達(dá)式。（d）把（a）中的結(jié)果代入特殊解法一階條件中的表達(dá)式。（e）使（c）和（d）中兩個(gè)的表達(dá)式相等，然后化簡(jiǎn)并推出。，也就是。例1：. y(0)=0 y(3)=3 我們不理會(huì)該約束，直接構(gòu)造四、拉姆齊模型（一）相關(guān)理論發(fā)展背景首先，為了解決所謂的哈羅德多瑪模型0F值得一提的是哈羅德模型本身并不是一個(gè)新古典模型，除了I=S的市場(chǎng)均衡假定之外，它基本上就是一個(gè)結(jié)構(gòu)式。馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖示在均衡條件得到滿足的前提下，也可以推得相應(yīng)的增長率表達(dá)式（宋則行，1995；楊繼國，2001；吳易風(fēng)，2007）。的“刀刃上的均衡”問題，索羅引入了新古典生產(chǎn)函數(shù)，以及一系列假定，通過資本邊際產(chǎn)出遞減的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)增長趨向穩(wěn)定均衡點(diǎn)的調(diào)節(jié)問題1F 見羅默《高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（第三版）》，上海，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2009, 11~12頁。其根據(jù)一次齊次總量生產(chǎn)函數(shù)F(K, AL)，外生給定的人口增長率n和技術(shù)增長率g，加上資本積累的行為方程，很容易得出人均資本運(yùn)動(dòng)方程： （）其中K為資本存量，L為勞動(dòng)力，A為技術(shù)因子，s為儲(chǔ)蓄率，為折舊率，k為人均資本存量。根據(jù)以上動(dòng)態(tài)方程我們很容易在相空間畫出其運(yùn)動(dòng)軌線如下圖kk圖11 索羅模型圖解“稻田條件”2F 稻田條件為：，我們?cè)趫D上可以直觀地看到，滿足這樣條件的生產(chǎn)函數(shù)必定和射線相交，從而保證了均衡點(diǎn)的存在。的假設(shè)保證了均衡點(diǎn)的存在，即圖中的，其位置由技術(shù)進(jìn)步和儲(chǔ)蓄率水平?jīng)Q定。由于技術(shù)進(jìn)步率外生，資本積累的結(jié)果是趨向于均衡的人均資本存量，這意味著均衡的產(chǎn)出增長率終將等于人口增長率g。然而，以上模型中的儲(chǔ)蓄率是外生給定，拉姆齊（Ramsey，1928）、卡斯（Cass，1965）和庫普斯曼（Koopmans，1965）所發(fā)展起來的模型則通過代表性家庭的效用貼現(xiàn)和的最優(yōu)化，將儲(chǔ)蓄率內(nèi)生。容易證明，完全競(jìng)爭(zhēng)條件下，“市場(chǎng)分散決策”等價(jià)于“統(tǒng)制最優(yōu)化”，于是我們考慮的優(yōu)化問題的簡(jiǎn)化形式如下3F 為了便于和索羅模型對(duì)比，這里用的是一個(gè)“中央計(jì)劃模型”，當(dāng)然還有分散的家庭企業(yè)模型，但是除了細(xì)節(jié)上的差別外，基本結(jié)論并沒有很大差別，詳見龔六堂（2005）。： （）其中，u(.)表示效用函數(shù)，c為消費(fèi)，是代表時(shí)間偏好的貼現(xiàn)率。我們可以看到約束條件和索羅模型的差別在于（）中外生給定的儲(chǔ)蓄率s被產(chǎn)出和消費(fèi)的差額（f(k)c）所取代，而消費(fèi)c是一個(gè)控制變量，其每一時(shí)點(diǎn)上的值由理性人通過最大化其總效用來決定。其最優(yōu)化的一階條件形成的動(dòng)力系統(tǒng)雖然復(fù)雜，并且在通常的假設(shè)條件下一般為“鞍點(diǎn)解”，但是新古典生產(chǎn)函數(shù)邊際報(bào)酬遞減的性質(zhì)保證了其均衡點(diǎn)的有限性，即人均資本將收斂到一個(gè)均衡點(diǎn)。而人均資本決定了人均產(chǎn)出，從而這樣的增長只能依賴外生的技術(shù)進(jìn)步來提高。這就帶來了很多問題，比如持續(xù)增長的機(jī)制問題，以及不同國家增長率的巨大差異問題等。于是，新增長理論（內(nèi)生增長理論）應(yīng)運(yùn)而生，其將Ramp。D、人力資本、干中學(xué)、資本的外溢性等概念引入模型（Lucas，1988；Romer，1990；Grossman and Helpman，1991；Aghion and Howitt，1992），并將這一過程納入跨期最優(yōu)化的內(nèi)生體系。比如我們假設(shè)技術(shù)進(jìn)步有如下形式： （）若和都等于0，那么技術(shù)進(jìn)步就是一個(gè)給定增長率的外生過程；若不等于0，則意味著資本存量影響技術(shù)進(jìn)步，資本是有外溢性的或者體現(xiàn)了“干中學(xué)”；若不等于0，則意味著技術(shù)進(jìn)步需要投入專門的勞動(dòng)力，這個(gè)時(shí)候理性選擇的控制變量就不只有消費(fèi)c了，還必須在“生產(chǎn)”和“技術(shù)進(jìn)步”之間分配勞動(dòng)力。當(dāng)然，各種設(shè)定形式還很多，但是大部分模型設(shè)定的實(shí)質(zhì)都是為了改變?nèi)司Y本邊際產(chǎn)出遞減，因此，可以說新增長理論是各種形式的AK模型。之后內(nèi)生增長理論陸續(xù)又有一些新發(fā)展，引進(jìn)了更復(fù)雜的生產(chǎn)函數(shù)以及效用函數(shù)的形式（吳易風(fēng)、朱勇，2000），但是基本框架已經(jīng)確定。在這樣一個(gè)新古典的框架中，給定技術(shù)體系，即生產(chǎn)函數(shù)，以及偏好體系，通過跨期最優(yōu)化能確定唯一的均衡增長路徑，而且是平滑增長。直觀地理解，給定生產(chǎn)函數(shù)，則通過“邊際分配原則”可以確定收入分配；給定偏好體系，則通過最優(yōu)化可以確定積累和消費(fèi)的比例，由此，平滑的增長也就是自然而然的結(jié)果。（二）最簡(jiǎn)單的拉姆齊模型及其動(dòng)力系統(tǒng) 該問題的漢密爾頓函數(shù)為： 根據(jù)最大值原理，我們首先選擇c最大化H，根據(jù)以下草圖，我們猜測(cè)c*應(yīng)該是內(nèi)部解。 于是，一階條件為，可得。 （1） （可驗(yàn)證充分條件成立：） 而狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程為： （2） 共態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程： （3） 由（1）可得： （4） 將（3）代入（4）得： （5） 將（1）代入（5）可得： （6） 即： （7） 于是，（7）和（2）就構(gòu)成了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)：（8） 令其動(dòng)態(tài)方程等于零，可求出穩(wěn)態(tài)：我們可以通過相圖上作軌來判斷解的情況：為了判斷軌線兩邊c和k的變動(dòng)情況，我們對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得可見，該平衡點(diǎn)是一個(gè)“鞍點(diǎn)”，只有一條收斂路徑。那么，如何保證該系統(tǒng)一定位于收斂路徑上呢？一般是通過橫截條件來說明的，也就是說只有平衡點(diǎn)所在解才可能滿足橫截條件。該無限期界問題的兩個(gè)橫截條件（其中有個(gè)橫截條件還可作為充分條件的補(bǔ)充）是：首先，這里，根據(jù)效用函數(shù)的稻田條件c趨近于零，u’(c)趨近于無窮大，但是平衡點(diǎn)處c不為零，該條件必然滿足。其次，這里，在平衡點(diǎn)處，u(c)有界，所以這部分趨近于零沒問題，方括號(hào)的部分恰恰是k的運(yùn)動(dòng)方程，平衡點(diǎn)處自然為零。 基于以上一階條件便可進(jìn)行平衡點(diǎn)所代表的最優(yōu)路徑的相關(guān)分析。當(dāng)然，如果給出具體函數(shù)形式也可求解該路徑。（三）微分方程定性穩(wěn)定性判別方法簡(jiǎn)介（1）穩(wěn)定性與漸進(jìn)穩(wěn)定性（i）穩(wěn)定性：考慮dx/dt=f(t, x)，其中f對(duì)x∈GRn，對(duì)于t∈(∞,+∞)連續(xù)，對(duì)x滿足李普希茲條件。該方程有一組解在[t0，+∞）有定義。如果對(duì)于任意的0，存在0，使得：當(dāng)，該方程以x0為初值的解x(t, t0, x0)也在t≥t0上有定義且，則稱x=是穩(wěn)定的。（ii）漸進(jìn)穩(wěn)定性：假設(shè)x=是穩(wěn)定的，且存在（）使得：當(dāng)，有，則稱x=是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)定性判別基本定理給定微分方程組dx/dt=f(t, x)，其中x為n維向量。 （1）如果平衡點(diǎn)不是在原點(diǎn)，可以通過坐標(biāo)變換變到原點(diǎn)，后面直接以原點(diǎn)作為平衡點(diǎn)，稱零解。（其實(shí)也沒有必要，后面的分析中，只要在平衡點(diǎn)的領(lǐng)域展開，結(jié)論仍然成立。）在平衡點(diǎn)（這里是原點(diǎn)）處，泰勒展開，得：dx/dt=A(t)x+N(t, x)其中，A(t)是n階矩陣，N(t, x)=o(x)是非線性的余項(xiàng)。我們考慮方程組：dx/dt=A(t)x （2）我們通過方程組（2）來研究（1），介紹以下定理：Th1：若方程組（2）中A(t)是常數(shù)矩陣A，則：（i）零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的A的全部特征根都有負(fù)的實(shí)部。（ii）零解是穩(wěn)定的A的全部特征根都有非正實(shí)部，且實(shí)部為零的特征根對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊都是一階的。（iii）零解是非穩(wěn)定的A的全部特征根至少有一個(gè)實(shí)部為正，或至少一個(gè)0特征根的約當(dāng)塊不是一階的。Th2：若方程組（2）中A為常數(shù)矩陣，且A的特征根中至少有一個(gè)有正實(shí)部，則（1）的零解一定不穩(wěn)定。Th3：若方程組（2）中A是常數(shù)矩陣，且A的全部特征根都有負(fù)實(shí)部，則（2）的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 注意：Th1中（ii）的情況下，不能用線性系統(tǒng)來判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還取決于其高階項(xiàng)。（2）平面動(dòng)力系統(tǒng)的奇點(diǎn) 給定其線性近似為：，其中。若A的特征根都是非零的，即A是非退化的，則該奇點(diǎn)稱為初等奇點(diǎn)。A有三種約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：（i）（ii）（iii）（i）當(dāng)，星形結(jié)點(diǎn)： 當(dāng)，且，兩向結(jié)點(diǎn)： 當(dāng)，且（假設(shè)，），鞍點(diǎn)：（ii）單向結(jié)點(diǎn)：（收斂，發(fā)散）（iii）若，焦點(diǎn)（，收斂；，發(fā)散）若，中心（影響旋轉(zhuǎn)方向？）51