【正文】 4（二）泛函及其相關(guān)概念 4（三）可變終結(jié)點(diǎn) 5（四）橫截條件 6（五）目標(biāo)泛函 6二、變分法 7（一）基本問(wèn)題：固定終結(jié)點(diǎn)問(wèn)題 7（1）基本問(wèn)題及其假定 7（2）一階條件：歐拉方程 8（二）推廣：多狀態(tài)變量與高階導(dǎo)數(shù) 10（1）多狀態(tài)變量 10（2）高階導(dǎo)數(shù) 10（三）可變端點(diǎn)問(wèn)題 10（1）一般性橫截條件 11（2）垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題 12（3）水平終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題 12（4）終結(jié)曲線(xiàn)問(wèn)題，即錯(cuò)誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。（三）可變終結(jié)點(diǎn) 除了上文圖中的固定終結(jié)點(diǎn)之外，還存在以下幾種可變終結(jié)點(diǎn)：（1）固定時(shí)間問(wèn)題（垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題）：終結(jié)時(shí)間固定，但終結(jié)狀態(tài)自由。令z(t)=G[t, y(t)]，且z(0)=0，于是有 二、變分法（一）基本問(wèn)題：固定終結(jié)點(diǎn)問(wèn)題（1）基本問(wèn)題及其假定max（min）V[y]=. y(0)=A y(T)=Z 假定：可行的“路徑”集合限定為具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)曲線(xiàn)；被積函數(shù)F是二階可導(dǎo)的；最優(yōu)解是一條光滑的曲線(xiàn)稱(chēng)為“極值曲線(xiàn)”。我們把式中的求導(dǎo)寫(xiě)開(kāi)，可以發(fā)現(xiàn)歐拉方程實(shí)際上是一個(gè)二階微分方程。比如F(t, y, z, y’, z’)，于是（2）高階導(dǎo)數(shù)V[y]= 這里出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)，因此邊界條件就不應(yīng)該僅僅是y的起止端點(diǎn)，還應(yīng)該包括y’,…y(n)在起止時(shí)刻的狀態(tài)，一共2n個(gè)邊界條件。第一項(xiàng)為零，就是歐拉方程。給定p(t)大于零，這意味著ε≥0。垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題的推導(dǎo)中，和固定端點(diǎn)問(wèn)題不同在于p(T)可以不為零，因此分部積分中有一部分消不掉。比如，y對(duì)y*的偏離所導(dǎo)致的偏差是 我們將等式右邊第一項(xiàng)被積部分在（t, y*, y*’）處泰勒展開(kāi)如下： 其中(tt)項(xiàng)為零，我們?cè)俅難y*=εp(t)，y’y*’=εp’(t)，得 將展式代入積分，然后合并積分，可消掉第一項(xiàng)，忽略高階項(xiàng)，得 上式的第一項(xiàng)積分為一階變分： 第二項(xiàng)積分為二階變分： 在求最大值的問(wèn)題中，需要，則必然需要，因?yàn)棣趴梢匀我馊≌?fù)值。定理2（經(jīng)濟(jì)學(xué)的耍賴(lài)）：給定廣義積分，如果被積部分可以寫(xiě)成G(t, y, y’)eρt，其中是ρ正的貼現(xiàn)率，而G是有界的，則積分收斂。 在無(wú)限期界問(wèn)題中，按照同樣的推導(dǎo)過(guò)程，補(bǔ)充條件應(yīng)該為：，其中在最優(yōu)路徑上取值。那么，仍然可以適用上述方法，但是要有適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。 我們發(fā)現(xiàn)其中有兩個(gè)變量y和，其歐拉方程分別為：； 第二個(gè)歐拉方程實(shí)際上是，從而乘子是一個(gè)不隨時(shí)間變化常數(shù)。從這個(gè)意義上講，終結(jié)狀態(tài)自由的垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題才是最優(yōu)控制理論的最簡(jiǎn)單情況。由，可知，通解為，k為任意常數(shù)。于是，有 令 因?yàn)闈h密爾頓函數(shù)為H(t, y, u, λ)=F(t, y, u)+λ(t)f(t, y, u)，所以有 將等式右邊第二項(xiàng)分部積分： 將其重新加回目標(biāo)泛函中：可見(jiàn)，的值取決于y，u，yT，T和。垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題中，所以橫截條件為。在這種情況下，對(duì)y的路徑擾動(dòng)不能在其下方，給定q0這要求。（4）推廣到多變量. … 漢密爾頓函數(shù)為： 或者，寫(xiě)成向量形式：，一階條件為（i），即m個(gè)u仍然是要最大化H。一般為了保證在過(guò)程中為正，將其寫(xiě)作，而不是。這是因?yàn)椋非罂傮w利潤(rùn)最大化，但結(jié)束時(shí)間上沒(méi)有要求，從而我們要盡可能經(jīng)營(yíng)到無(wú)法再產(chǎn)生利潤(rùn)為止，即資本存量使得當(dāng)前利潤(rùn)與未來(lái)利潤(rùn)的和為零時(shí)。另外，必須要提的是，雖然該定理的證明是基于垂直終結(jié)線(xiàn)，但是實(shí)際上對(duì)于具有固定終結(jié)狀態(tài)和截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線(xiàn)問(wèn)題都是適用的。但是，反過(guò)來(lái)不一定成立，即F和f關(guān)于（y，u）不是聯(lián)合凹的，但H0關(guān)于變量y仍可以是凹的。當(dāng)然，如果狀態(tài)有最低限制，則變?yōu)楹汀＃?）作為充分條件一部分的橫截條件雖然作為橫截條件需要相當(dāng)?shù)木?，但是其作為最?yōu)解的充分條件的一部分卻值得重視。其中，g稱(chēng)為約束函數(shù)，c稱(chēng)為約束常數(shù)。（約束集有內(nèi)點(diǎn)）（iv）秩條件：只取“緊”的約束，構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)矩陣，且在y和u的極值處取值，該矩陣是滿(mǎn)秩的。 根據(jù)定義，的初始值和終結(jié)值分別為：和 于是，該問(wèn)題可以被重新表述為：. y(0)=y0 y(T)自由 注意：y是一個(gè)垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題，但是是一個(gè)截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線(xiàn)問(wèn)題?？紤]到或的約束時(shí)，充分條件可以作如下表述：最大值原理對(duì)于目標(biāo)泛函的全局最大化是充分的，如果對(duì)于給定λ，L在所有時(shí)刻t關(guān)于(y, u)是聯(lián)合凹的，或者H0在所有時(shí)刻t上關(guān)于y是凹的。該方法都是基于y和λ的連續(xù)性，僅有控制變量u可以存在跳躍的情況（碰碰解）。而且，我們還必須對(duì)隨時(shí)間變化的方式施加限制：在可導(dǎo)的點(diǎn)，當(dāng)h(t, y)=c時(shí)，必須是非正的。（d）把（a）中的結(jié)果代入特殊解法一階條件中的表達(dá)式。根據(jù)以上動(dòng)態(tài)方程我們很容易在相空間畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)軌線(xiàn)如下圖kk圖11 索羅模型圖解“稻田條件”2F 稻田條件為：，我們?cè)趫D上可以直觀(guān)地看到，滿(mǎn)足這樣條件的生產(chǎn)函數(shù)必定和射線(xiàn)相交，從而保證了均衡點(diǎn)的存在。而人均資本決定了人均產(chǎn)出，從而這樣的增長(zhǎng)只能依賴(lài)外生的技術(shù)進(jìn)步來(lái)提高。直觀(guān)地理解，給定生產(chǎn)函數(shù)，則通過(guò)“邊際分配原則”可以確定收入分配；給定偏好體系，則通過(guò)最優(yōu)化可以確定積累和消費(fèi)的比例，由此，平滑的增長(zhǎng)也就是自然而然的結(jié)果。當(dāng)然，如果給出具體函數(shù)形式也可求解該路徑。）在平衡點(diǎn)（這里是原點(diǎn)）處，泰勒展開(kāi)，得：dx/dt=A(t)x+N(t, x)其中，A(t)是n階矩陣，N(t, x)=o(x)是非線(xiàn)性的余項(xiàng)。若A的特征根都是非零的，即A是非退化的，則該奇點(diǎn)稱(chēng)為初等奇點(diǎn)。（ii）零解是穩(wěn)定的A的全部特征根都有非正實(shí)部，且實(shí)部為零的特征根對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊都是一階的。該方程有一組解在[t0，+∞）有定義。 于是，一階條件為，可得。于是，新增長(zhǎng)理論（內(nèi)生增長(zhǎng)理論）應(yīng)運(yùn)而生，其將Ramp。由于技術(shù)進(jìn)步率外生，資本積累的結(jié)果是趨向于均衡的人均資本存量，這意味著均衡的產(chǎn)出增長(zhǎng)率終將等于人口增長(zhǎng)率g。，也就是。我們假設(shè)存在內(nèi)部解，一階條件為：，和 ， （=0，當(dāng)h(t, y)c） +橫截條件當(dāng)然，如果控制變量本身有非負(fù)約束，則一階條件替換為：，和該條件容許出現(xiàn)邊界解，如果是u存在一個(gè)閉的控制域，也可能出現(xiàn)邊界解。比如，假設(shè)τ是狀態(tài)變量發(fā)揮作用的前后時(shí)刻，那么λ跳躍前后的值可以表示為： （b≥0）。需要指出的是，由于和，于是該條件要求所有時(shí)刻t上：F關(guān)于(y, u)是凹的；f關(guān)于(y, u)是凹的；G關(guān)于(y, u)是凸的；g關(guān)于(y, u)是凸的。其運(yùn)動(dòng)方程可以省略掉。我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明。漢密爾頓函數(shù)為：H=F(t, y, u1, u2)+ λf(t, y, u1, u2) 考慮到等式約束，我們構(gòu)造拉格朗日表達(dá)式： 注意，其中的乘子都是隨時(shí)間變動(dòng)的。然而，在無(wú)限期界問(wèn)題中就不具備該條件了。也就是最優(yōu)路徑并不滿(mǎn)足該條件。廣義積分的收斂性已經(jīng)在變分法的部分討論過(guò)了，本部分主要討論橫截條件及其反例。（試一試，看看為什么？此外，如果是水平終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題呢？需要添加什么條件？提示：垂直終結(jié)線(xiàn)問(wèn)題的橫截條件在分部積分中起了什么作用？）（2）阿羅條件在任意時(shí)刻，只要給定狀態(tài)變量和共態(tài)變量，總是存在一個(gè)特定的u*最大化漢密爾頓函數(shù)H。（2）現(xiàn)值的漢密爾頓函數(shù) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常有被積部分包含貼現(xiàn)因子的情況，即。因此，決策u的作出，要考慮到當(dāng)前利潤(rùn)和未來(lái)利潤(rùn)的權(quán)衡。初始資本存量為K0，終結(jié)狀態(tài)不定。那么，根據(jù)庫(kù)恩塔克條件，將會(huì)變成，從而會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不等式的橫截條件：。于是，我們會(huì)擔(dān)心一階條件能否推出。因此，我們后面考慮對(duì)最優(yōu)路徑的“擾動(dòng)”時(shí)，不考慮對(duì)的“擾動(dòng)”。這是一個(gè)減函數(shù)，且可取值3，令λ(τ)=3，解得。 令漢密爾頓函數(shù)H(t, y, u, λ)=F(t, y, u)+λ(t)f(t, y, u) 其中，λ為共態(tài)變量，實(shí)際上F前面還應(yīng)有一個(gè)非負(fù)系數(shù)，一般都為正，所以容易標(biāo)準(zhǔn)化。該方法還可推廣到m個(gè)約束：三、最優(yōu)控制理論（一）最優(yōu)控制理論導(dǎo)論古典變分法一般只能處理內(nèi)點(diǎn)解，而更現(xiàn)代的基于龐特里亞金等人工作的最優(yōu)控制理論則能處理角點(diǎn)解（邊界解）、碰碰解等情況，而且控制論的視角也更容易和實(shí)際問(wèn)題發(fā)生聯(lián)系。（想想為什么？）參考靜態(tài)優(yōu)化中庫(kù)恩塔克條件，我們構(gòu)造輔助函數(shù)： 對(duì)于變量y，仍有n個(gè)歐拉方程： j=1,…,n 然而，對(duì)于乘子，要用到互補(bǔ)松弛條件：；； i=1,…,m（3）積分約束（等周問(wèn)題）. … 相應(yīng)的邊界條件 這里仍然不用要求mn。約束方程的獨(dú)立性意味著，存在一個(gè)非零的m階雅克比行列式： 構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)： 從而，新的目標(biāo)泛函為，我們用無(wú)約束極值問(wèn)題的方法求解。經(jīng)濟(jì)學(xué)里G通常意味著效用函數(shù)或者生產(chǎn)函數(shù)等，一般是（擬）凹的，而貼現(xiàn)因子是指數(shù)下降，因此收斂性問(wèn)題就回避了。在滿(mǎn)足歐拉方程之后，我們要求，因?yàn)棣?/2始終大于零，這等價(jià)于，也就是二階條件。于是，將其帶入不等式中，得，其中是沿最優(yōu)路徑取值。于是，對(duì)于由dV(ε)/dε=0導(dǎo)