【正文】 和H*的區(qū)別，H*是在最優(yōu)路徑上的漢密爾頓函數(shù)各時刻的值（最優(yōu)路徑固定，相當于H*的值只和時間有關），而H0并不一定是最優(yōu)路徑，但是u*要優(yōu)化給定(t, y, λ)條件下的H，所以H0(t, y, λ)是的(t, y, λ)函數(shù)。但是，反過來不一定成立，即F和f關于（y，u）不是聯(lián)合凹的，但H0關于變量y仍可以是凹的。首先，因為是無限期界問題，所以終結時刻肯定不固定。當然，如果狀態(tài)有最低限制，則變?yōu)楹汀Ｒ虼?，在這一類問題中，可以先拋開該橫截條件，如果求出來的路徑存在收斂值，該路徑就是最優(yōu)路徑。（2）作為充分條件一部分的橫截條件雖然作為橫截條件需要相當?shù)木瑁瞧渥鳛樽顑?yōu)解的充分條件的一部分卻值得重視。并且。其中，g稱為約束函數(shù)，c稱為約束常數(shù)。接下來，剩余的一階條件為： 適當?shù)臋M截條件值得注意的是，類似以上問題，有時候按照上述方法還不如利用等式約束進行變量替換，即把u2表示成為u1求解。（約束集有內(nèi)點）（iv）秩條件：只取“緊”的約束，構造偏導數(shù)矩陣，且在y和u的極值處取值，該矩陣是滿秩的。 根據(jù)定義，的初始值和終結值分別為：和 于是，該問題可以被重新表述為：. y(0)=y0 y(T)自由 注意：y是一個垂直終結線問題，但是是一個固定終結點問題。 根據(jù)定義，的初始值和終結值分別為：和 于是，該問題可以被重新表述為：. y(0)=y0 y(T)自由 注意：y是一個垂直終結線問題，但是是一個截斷的垂直終結線問題。. +邊界條件 漢密爾頓函數(shù)和拉格朗日函數(shù)為： 若有內(nèi)部解，則一階條件為：，+橫截條件 引入新的乘子：（）和（），從而H和L的現(xiàn)值形式可以寫作： 易證：，和?？紤]到或的約束時，充分條件可以作如下表述：最大值原理對于目標泛函的全局最大化是充分的，如果對于給定λ，L在所有時刻t關于(y, u)是聯(lián)合凹的，或者H0在所有時刻t上關于y是凹的。（2）狀態(tài)空間約束 比如狀態(tài)空間的非負約束，或者更一般的形式：對于所有t。該方法都是基于y和λ的連續(xù)性，僅有控制變量u可以存在跳躍的情況（碰碰解）。所以我們可以用以下約束來實現(xiàn)：若dh/dt≤0，若h(t, y)=c。而且，我們還必須對隨時間變化的方式施加限制：在可導的點，當h(t, y)=c時，必須是非正的。但是，其實該方法和前面的一般解法是等價的。（d）把（a）中的結果代入特殊解法一階條件中的表達式。馬克思的擴大再生產(chǎn)圖示在均衡條件得到滿足的前提下，也可以推得相應的增長率表達式（宋則行，1995；楊繼國，2001；吳易風，2007）。根據(jù)以上動態(tài)方程我們很容易在相空間畫出其運動軌線如下圖kk圖11 索羅模型圖解“稻田條件”2F 稻田條件為：，我們在圖上可以直觀地看到，滿足這樣條件的生產(chǎn)函數(shù)必定和射線相交，從而保證了均衡點的存在。容易證明，完全競爭條件下，“市場分散決策”等價于“統(tǒng)制最優(yōu)化”，于是我們考慮的優(yōu)化問題的簡化形式如下3F 為了便于和索羅模型對比，這里用的是一個“中央計劃模型”，當然還有分散的家庭企業(yè)模型，但是除了細節(jié)上的差別外，基本結論并沒有很大差別，詳見龔六堂（2005）。而人均資本決定了人均產(chǎn)出，從而這樣的增長只能依賴外生的技術進步來提高。比如我們假設技術進步有如下形式： （）若和都等于0，那么技術進步就是一個給定增長率的外生過程；若不等于0，則意味著資本存量影響技術進步，資本是有外溢性的或者體現(xiàn)了“干中學”；若不等于0，則意味著技術進步需要投入專門的勞動力，這個時候理性選擇的控制變量就不只有消費c了，還必須在“生產(chǎn)”和“技術進步”之間分配勞動力。直觀地理解，給定生產(chǎn)函數(shù)，則通過“邊際分配原則”可以確定收入分配；給定偏好體系，則通過最優(yōu)化可以確定積累和消費的比例，由此，平滑的增長也就是自然而然的結果。那么，如何保證該系統(tǒng)一定位于收斂路徑上呢？一般是通過橫截條件來說明的，也就是說只有平衡點所在解才可能滿足橫截條件。當然，如果給出具體函數(shù)形式也可求解該路徑。（ii）漸進穩(wěn)定性：假設x=是穩(wěn)定的，且存在（）使得：當，有，則稱x=是漸進穩(wěn)定的。）在平衡點（這里是原點）處，泰勒展開，得：dx/dt=A(t)x+N(t, x)其中，A(t)是n階矩陣，N(t, x)=o(x)是非線性的余項。Th2：若方程組（2）中A為常數(shù)矩陣，且A的特征根中至少有一個有正實部，則（1）的零解一定不穩(wěn)定。若A的特征根都是非零的，即A是非退化的，則該奇點稱為初等奇點。 注意：Th1中（ii）的情況下，不能用線性系統(tǒng)來判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還取決于其高階項。（ii）零解是穩(wěn)定的A的全部特征根都有非正實部，且實部為零的特征根對應的約當塊都是一階的。 （1）如果平衡點不是在原點，可以通過坐標變換變到原點，后面直接以原點作為平衡點，稱零解。該方程有一組解在[t0，+∞）有定義。其次，這里，在平衡點處，u(c)有界，所以這部分趨近于零沒問題，方括號的部分恰恰是k的運動方程，平衡點處自然為零。 于是，一階條件為，可得。之后內(nèi)生增長理論陸續(xù)又有一些新發(fā)展，引進了更復雜的生產(chǎn)函數(shù)以及效用函數(shù)的形式（吳易風、朱勇，2000），但是基本框架已經(jīng)確定。于是，新增長理論（內(nèi)生增長理論）應運而生，其將Ramp。我們可以看到約束條件和索羅模型的差別在于（）中外生給定的儲蓄率s被產(chǎn)出和消費的差額（f(k)c）所取代，而消費c是一個控制變量，其每一時點上的值由理性人通過最大化其總效用來決定。由于技術進步率外生，資本積累的結果是趨向于均衡的人均資本存量，這意味著均衡的產(chǎn)出增長率終將等于人口增長率g。，也就是。（b）關于t求的全導數(shù)，得到。我們假設存在內(nèi)部解，一階條件為：，和 ， （=0，當h(t, y)c） +橫截條件當然，如果控制變量本身有非負約束，則一階條件替換為：，和該條件容許出現(xiàn)邊界解，如果是u存在一個閉的控制域，也可能出現(xiàn)邊界解。拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：，和 但是，關于的約束中并未體現(xiàn)出當h(t, y)=c時，約束才發(fā)揮作用。比如，假設τ是狀態(tài)變量發(fā)揮作用的前后時刻，那么λ跳躍前后的值可以表示為： （b≥0）。 盡管不理會對狀態(tài)變量的約束，直接求解最優(yōu)路徑，恰恰滿足對狀態(tài)變量的約束的可能性（約束是松的）很小，但是對于探求真解的特性也會提供有用的線索。需要指出的是，由于和，于是該條件要求所有時刻t上：F關于(y, u)是凹的；f關于(y, u)是凹的；G關于(y, u)是凸的；g關于(y, u)是凸的。）（f）充分條件之前的充分條件探討適用于固定終結點、垂直終結線和截斷的垂直終結線。其運動方程可以省略掉。其運動方程可以省略掉。我們以一個簡單的例子說明。（ii）所有約束函數(shù)gi關于控制變量u是線性的。漢密爾頓函數(shù)為：H=F(t, y, u1, u2)+ λf(t, y, u1, u2) 考慮到等式約束，我們構造拉格朗日表達式： 注意，其中的乘子都是隨時間變動的。我們分別考慮針對含控制變量（也可以包含或不包含狀態(tài)變量）和只包含狀態(tài)變量的約束問題。然而，在無限期界問題中就不具備該條件了。比如拉姆齊的原始模型中，為了實現(xiàn)廣義積分收斂，使用的目標泛函是狀態(tài)變量現(xiàn)值與上限差值的積分最小化。也就是最優(yōu)路徑并不滿足該條件。如果該問題是一個自控，則任意時刻t都應滿足H=0。廣義積分的收斂性已經(jīng)在變分法的部分討論過了，本部分主要討論橫截條件及其反例。阿羅定理是曼加薩琳定理的推廣，因為一旦曼加薩林的條件滿足，則一定滿足阿羅定理的條件。（試一試，看看為什么？此外，如果是水平終結線問題呢？需要添加什么條件？提示：垂直終結線問題的橫截條件在分部積分中起了什么作用？）（2）阿羅條件在任意時刻，只要給定狀態(tài)變量和共態(tài)變量，總是存在一個特定的u*最大化漢密爾頓函數(shù)H。證明：給定漢密爾頓函數(shù)H=在最優(yōu)控制路徑u*上（同時y在y*上，在*上），應滿足：即此外，根據(jù)共態(tài)變量運動方程，有即 進一步假設這是個垂直終結線問題，下面的推導將用到其初始條件和橫截條件：y(0)=y0以及于是，因為F和f關于(y, u)是凹的，那么對于不同的兩點（t, y, u）（t, y*, u*）有：對以上第一式進行積分，有：=（不等號右邊的被積部分中的兩項偏導代入前面的推導）其中，被積部分第一項可分部積分如下：（想想為什么乘積項等于零） 將上式重新代回，可得由于，所以當λ*≥0時。（2）現(xiàn)值的漢密爾頓函數(shù) 經(jīng)濟學中常有被積部分包含貼現(xiàn)因子的情況，即。這意味著，為了滿足最后剩余的資本存量要求，資本并沒有充分運用。因此，決策u的作出，要考慮到當前利潤和未來利潤的權衡。 上式關于初始和終結資本存量求導得：和。初始資本存量為K0，終結狀態(tài)不定。這種系統(tǒng)有個特點，漢密爾頓函數(shù)在最優(yōu)路徑上取值時其值為不變常數(shù)。那么，根據(jù)庫恩塔克條件，將會變成，從而會產(chǎn)生一個不等式的橫截條件：。（iv）截斷的垂直終結線問題：T固定，但是要求。于是，我們會擔心一階條件能否推出。由此，我們可以導出最大值原理中的和。因此，我們后面考慮對最