【正文】 項(xiàng)為零，就是歐拉方程。我們把式中的求導(dǎo)寫開，可以發(fā)現(xiàn)歐拉方程實(shí)際上是一個(gè)二階微分方程。（三）可變終結(jié)點(diǎn) 除了上文圖中的固定終結(jié)點(diǎn)之外，還存在以下幾種可變終結(jié)點(diǎn)：（1）固定時(shí)間問題（垂直終結(jié)線問題）：終結(jié)時(shí)間固定，但終結(jié)狀態(tài)自由。（二）泛函及其相關(guān)概念和之前的靜態(tài)優(yōu)化相比，動(dòng)態(tài)優(yōu)化的目標(biāo)依賴于“路徑”的選擇，而不是某個(gè)變量（實(shí)數(shù)）的選擇。從而擾動(dòng)后的曲線為y(t)=y*(t)+εp(t)，如圖 這意味著y’(t)=y*’(t)+εp’(t)，且當(dāng)ε→0，y→y*。同樣地，擾動(dòng)后的曲線為y(t)=y*(t)+εp(t)，為穿過固定的起始點(diǎn)，令p(0)=0，但是因?yàn)閥(T)不固定，所以不要求p(T)=0。對(duì)于最大化的問題，橫截條件變?yōu)椋?；? 對(duì)于最小化的問題，橫截條件變?yōu)椋?；?）截?cái)嗟乃浇K結(jié)線問題 比如，增加限制后，對(duì)于最大化的問題，橫截條件變?yōu)椋?；? 對(duì)于最小化問題，橫截條件變?yōu)椋海?；?）多變量和高階導(dǎo)數(shù)情形 如果有n個(gè)變量，比如F(t, y1, y2,…,yn, y’1, y’2,…, y’n)，則一般性橫截條件變?yōu)椋? 高階導(dǎo)數(shù)的情況相對(duì)復(fù)雜，我們只給出F(t, y, y’, y’’)的一般性橫截條件：（四）二階條件（充分條件）（1）固定端點(diǎn)問題的二階條件及其二次型檢驗(yàn) 由，得 被積部分是一個(gè)二次型，那么只在在0到T的每一個(gè)時(shí)刻，二次型都是負(fù)定的，則d2V/dε20，極值曲線使得目標(biāo)泛函取最大值；如果都是正定，則d2V/dε20，極值曲線使得目標(biāo)泛函取最小值。 （想想我們?cè)陟o態(tài)優(yōu)化中介紹的分析學(xué)的一般思路，如果要嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，那么在泛函分析中，如何定義距離或者測(cè)度？如何定義收斂？然后如何得到上面的變分？）（五）無限期界問題 對(duì)于無限期界問題（終結(jié)時(shí)間為無窮大），我們主要考慮兩點(diǎn)：一是目標(biāo)泛函是否收斂，二是橫截條件應(yīng)如何變化。易見，當(dāng)所有約束都滿足時(shí)，新目標(biāo)泛函的值和原有目標(biāo)泛函值是相等的。最優(yōu)控制理論通過控制變量u來影響狀態(tài)變量y的變動(dòng)，從而來最大（?。┗繕?biāo)泛函。于是有 于是，在第一階段，有，且y(0)=4，解之得。（為什么？）可以證明，固定端點(diǎn)問題一階條件不變，只需要將橫截條件替換為y(T)=yT，T和yT給定。每一時(shí)刻的利潤函數(shù)為。于是，優(yōu)化問題寫作：. 和邊界條件 漢密爾頓函數(shù)為，因?yàn)橘N現(xiàn)因子會(huì)出現(xiàn)在很多一階條件中，增加了復(fù)雜性，我們想辦法簡(jiǎn)化。（1）橫截條件與反例根據(jù)之前一階條件的推導(dǎo)，有當(dāng)T趨近于無窮大的時(shí)候上述一階條件要成立就會(huì)得到以下橫截條件。于是，要得出原不等式成立，即 則需要加上條件： 于是，充分條件就可表述為：對(duì)于給定λ，要么H=F(t, y, u)+ λf(t, y, u)關(guān)于(y, u)對(duì)所有時(shí)刻t，都是凹的；要么H0=F(t, y, u*)+ λf(t, y, u*)在所有時(shí)刻t關(guān)于y是凹的。. y(0)=y0 y(T)自由 我們引入一個(gè)新的狀態(tài)變量(t)使得積分約束可以被替換成該變量的運(yùn)動(dòng)方程：，于是有。這其中尤其注意到，不等式約束時(shí)乘子的非負(fù)性。以上方法和之前的“一般解法”的區(qū)別在于，通過約束方程及其乘子的變動(dòng)，對(duì)約束起作用的“臨界點(diǎn)”的信息更容易識(shí)別。然而，以上模型中的儲(chǔ)蓄率是外生給定，拉姆齊（Ramsey，1928）、卡斯（Cass，1965）和庫普斯曼（Koopmans，1965）所發(fā)展起來的模型則通過代表性家庭的效用貼現(xiàn)和的最優(yōu)化，將儲(chǔ)蓄率內(nèi)生。 （1） （可驗(yàn)證充分條件成立：） 而狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程為： （2） 共態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程： （3） 由（1）可得： （4） 將（3）代入（4）得： （5） 將（1）代入（5）可得： （6） 即： （7） 于是，（7）和（2）就構(gòu)成了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)：（8） 令其動(dòng)態(tài)方程等于零，可求出穩(wěn)態(tài)：我們可以通過相圖上作軌來判斷解的情況：為了判斷軌線兩邊c和k的變動(dòng)情況，我們對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得可見，該平衡點(diǎn)是一個(gè)“鞍點(diǎn)”，只有一條收斂路徑。（iii）零解是非穩(wěn)定的A的全部特征根至少有一個(gè)實(shí)部為正，或至少一個(gè)0特征根的約當(dāng)塊不是一階的。（其實(shí)也沒有必要，后面的分析中，只要在平衡點(diǎn)的領(lǐng)域展開，結(jié)論仍然成立。在這樣一個(gè)新古典的框架中，給定技術(shù)體系，即生產(chǎn)函數(shù)，以及偏好體系，通過跨期最優(yōu)化能確定唯一的均衡增長路徑，而且是平滑增長。其根據(jù)一次齊次總量生產(chǎn)函數(shù)F(K, AL)，外生給定的人口增長率n和技術(shù)增長率g，加上資本積累的行為方程，很容易得出人均資本運(yùn)動(dòng)方程： （）其中K為資本存量，L為勞動(dòng)力，A為技術(shù)因子，s為儲(chǔ)蓄率，為折舊率，k為人均資本存量。因此，我們追加互補(bǔ)松弛條件：，這里需要說明的是，我們需要的是一個(gè)互補(bǔ)松弛條件的“強(qiáng)形式”，即當(dāng)約束起作用的時(shí)候，h(t, y)=c，我們希望。用于水平終結(jié)線或者無限期界問題的時(shí)候需要補(bǔ)充相應(yīng)條件。（iii）所有約束函數(shù)gi關(guān)于控制變量u是凸的，且在可行域U中存在一點(diǎn)u0，使得所有約束函數(shù)g都嚴(yán)格小于c。于是，為了保證收斂，實(shí)際上狀態(tài)變量要收斂于上限。因?yàn)槿绻鸉和f關(guān)于（y，u）是聯(lián)合凹的，且λ(t)≥0，則H=F+λf關(guān)于（y，u）也是凹的。而在水平終結(jié)線問題中，橫截條件為。漢密爾頓函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)為： 最優(yōu)路徑的一階條件為：， 從而可得在水平終結(jié)線問題中，橫截條件為，而H*是常數(shù)，這意味著H*(t)=0。再加上運(yùn)動(dòng)方程是整個(gè)推導(dǎo)的基礎(chǔ)，所以一階條件還應(yīng)包含。 接下來，我們看一個(gè)碰碰解的例子：例2：. y(0)=4，y(2)自由 解：漢密爾頓函數(shù)為H=2y3u+λ(y+u)=(2+λ)y+(λ3)u因?yàn)镠關(guān)于u是線性的，u要最大化H，取決于系數(shù)符號(hào)，有因?yàn)閡的取值取決于λ，所以我們要分析λ的取值。我們按之前的方法求解。如果終結(jié)點(diǎn)不固定，則必須要補(bǔ)充條件，雖然該條件在垂直終結(jié)線和截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線問題中自動(dòng)滿足。（3）變分 由前面的內(nèi)容可以看出，變分法涉及到的是路徑（函數(shù)）所發(fā)生的偏離。在這種情況下，對(duì)終結(jié)狀態(tài)的擾動(dòng)不是任意的，只能大于零。但是這里的歐拉方程并不是單變量時(shí)的簡(jiǎn)單推廣，因?yàn)槭撬凶兞考捌鋵?dǎo)數(shù)的函數(shù)。但是這些非標(biāo)準(zhǔn)問題可以把形式標(biāo)準(zhǔn)化。本部分內(nèi)容主要來自蔣中一《動(dòng)態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)》。類似前面離散時(shí)間問題中不同路徑在不同階段對(duì)應(yīng)著不同的成本，我們抽象出一個(gè)路徑在t時(shí)刻，對(duì)應(yīng)著的對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響為該時(shí)點(diǎn)上的值為F(t,y,y’)。因?yàn)檫@種情況下，微分方程不再是二階，不用確定兩個(gè)常數(shù)，但是卻又給出了兩個(gè)常數(shù)，于是就可能出現(xiàn)不相容的情況。（2）垂直終結(jié)線問題 因?yàn)椋詸M截條件為=0（3）水平終結(jié)線問題 因?yàn)?，所以橫截條件為=0（4）終結(jié)曲線問題，即因?yàn)?，于是代入一般性橫截條件得橫截條件（5）截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線問題在一個(gè)垂直終結(jié)線問題（終結(jié)時(shí)間固定）中，如果最終狀態(tài)受限。但是，在垂直終結(jié)線問題中，橫截條件=0保證了該條件必定滿足。但是，有些問題隱含著“終結(jié)狀態(tài)”收斂于某值，類似于水平終結(jié)線問題，這意味著ΔyT→0，從而第二項(xiàng)極限部分不要求等于零。我們以一個(gè)n=m=1的例子來說明。其漢密爾頓函數(shù)為： H是非線性且可微的，u要最大化H，于是一階條件為： 可得 檢驗(yàn)二階條件 可見，我們要求出u必須先求出λ，由可知λ是不變常數(shù)，那么根據(jù)橫截條件得λ*(t)=0。假設(shè)已知u*和y*，對(duì)u施加擾動(dòng)，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程，y也會(huì)產(chǎn)生對(duì)y*的偏離：則（想想這里當(dāng)趨近零，u趨近u*，而y趨近y*，是由什么條件保證的？）接下來考慮對(duì)終結(jié)時(shí)刻和終結(jié)狀態(tài)的“擾動(dòng)”：以及這意味著和 代入目標(biāo)泛函，于是目標(biāo)泛函可以變?yōu)榈囊粋€(gè)函數(shù)： 最優(yōu)路徑意味著，于是目標(biāo)泛函對(duì)求導(dǎo)，等式右邊積分部分的導(dǎo)數(shù)為：其中第二項(xiàng)可以寫開，其中，該項(xiàng)可以和下面推導(dǎo)部分相加而抵消。 從而，我們可以得到以下綜合形式：，（v）截?cái)嗟乃浇K結(jié)線問題：yT固定，但要求T*≤Tmax。垂直終結(jié)線的橫截條件意味著，最優(yōu)決策要使得在規(guī)定的結(jié)束時(shí)刻，資本得到充分運(yùn)用，從而沒有任何價(jià)值。注意H0和H*的區(qū)別，H*是在最優(yōu)路徑上的漢密爾頓函數(shù)各時(shí)刻的值（最優(yōu)路徑固定，相當(dāng)于H*的值只和時(shí)間有關(guān)），而H0并不一定是最優(yōu)路徑，但是u*要優(yōu)化給定(t, y, λ)條件下的H，所以H0(t, y, λ)是的(t, y, λ)函數(shù)。因此，在這一類問題中，可以先拋開該橫截條件，如果求出來的路徑存在收斂值，該路徑就是最優(yōu)路徑。接下來，剩余的一階條件為： 適當(dāng)?shù)臋M截條件值得注意的是，類似以上問題，有時(shí)候按照上述方法還不如利用等式約束進(jìn)行變量替換，即把u2表示成為u1求解。. +邊界條件 漢密爾頓函數(shù)和拉格朗日函數(shù)為： 若有內(nèi)部解，則一階條件為：，+橫截條件 引入新的乘子：（）和（），從而H和L的現(xiàn)值形式可以寫作： 易證：，和。所以我們可以用以下約束來實(shí)現(xiàn)：若dh/dt≤0，若h(t, y)=c。馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖示