【正文】 終結(jié)線問題；而如果約束條件是緊的，則本質(zhì)上是一個固定終結(jié)點(diǎn)問題。這等價于dV/dε=0，也就推導(dǎo)出歐拉方程。 但是，“t→∞，F(xiàn)→0”是廣義積分收斂的既非充分又非必要的條件。這是收斂的充分條件，其實(shí)G不需要有界，只要增長的速度沒有貼現(xiàn)因子下降得快就行。如果對終結(jié)狀態(tài)有要求，比如必須大于ymin，那么可以先按照沒有約束的方法求解，如果自然滿足就完成求解，如果約束是緊的，那么就按照固定終結(jié)點(diǎn)的方法求解。（六）帶約束的優(yōu)化問題（1）等式約束. … 相應(yīng)的邊界條件 這里有m個獨(dú)立的等式約束，mn以防約束方程本身將n個y全部決定，就沒有優(yōu)化選擇的意義了。于是，n個歐拉方程加上m個約束方程一起，共同決定了y和λ的最優(yōu)路徑。（2）不等式約束. … 相應(yīng)的邊界條件因?yàn)槭遣坏仁郊s束，所以不要求mn。令變量，于是有。而第一個歐拉方程可寫成，于是我們可以將以上過程簡化為：（注意：是常數(shù)），然后按照之前的方法求解。 此外，利用最優(yōu)控制原理時，可以直接處理對控制變量的約束。（二）最大值原理及其橫截條件（1）最簡單問題及最大值原理（一階必要條件）. y(0)=A，y(T)自由， 假定F和f關(guān)于其變量是連續(xù)的，且具有關(guān)于t和y的一階偏導(dǎo)。從而，u*(t)=0。根據(jù)橫截條件，得。（2）最大值原理的理論基礎(chǔ)及其橫截條件 為簡化問題，我們假設(shè)u*是內(nèi)部解，因此maxH這一條件就簡化為=0。但是，只要運(yùn)動方程一直滿足，則的取值不應(yīng)該對目標(biāo)泛函有任何影響，參見最初的目標(biāo)泛函。目標(biāo)泛函等式右邊最后一項(xiàng)是常數(shù)求導(dǎo)為零，第二項(xiàng)求導(dǎo)為： 將以上部分加總整理，得一階條件為： 因?yàn)閜，q，和是任意的，只能要求三項(xiàng)分別為零。（i）固定端點(diǎn)問題：因?yàn)榻K結(jié)點(diǎn)固定，所以p(t)不能真正任意，因?yàn)橐ＷCu控制y穿越固定終結(jié)點(diǎn)。于是，橫截條件為。那么，無約束極值問題變成一個帶有非負(fù)約束的極值問題。根據(jù)類似的推理，有，（3）自控問題的漢密爾頓函數(shù)不變性 自控問題指的是F和f中沒有時間t作為變量，這意味著整個系統(tǒng)是自行內(nèi)生運(yùn)動而和沒有隨時間而進(jìn)行的外生變化。（ii），j=1,…,n，n個狀態(tài)變量的運(yùn)動方程（iii），j=1,…,n，n個共態(tài)變量的運(yùn)動方程也一樣（iv）一般性橫截條件： 如果T自由： 如果自由： 如果和，從而有和，一般性橫截條件變?yōu)? 如果是截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線：， 如果是階段的水平終結(jié)線：，（三）最大值原理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋及現(xiàn)值的漢密爾頓函數(shù)（1）最大值原理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋 故事：企業(yè)在[0, T]上最大化利潤，狀態(tài)變量為資本存量K，控制變量u代表企業(yè)的商業(yè)決策，u影響K的變化。我們用之前構(gòu)造的“新”目標(biāo)泛函，并在最優(yōu)路徑上取值，以進(jìn)行說明。 等式左邊第一項(xiàng)是決策u下的當(dāng)前利潤，而f是u決策下的資本存量瞬時變動，這個變動乘以，即當(dāng)前資本存量對總體利潤的影響，意味著第二項(xiàng)代表的是當(dāng)前決策u對未來利潤的瞬時影響。而截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線問題中，如果約束是緊的，則橫截條件為。 最大值原理還包含兩個運(yùn)動方程，狀態(tài)變量的運(yùn)動描述的是控制變量如何影響狀態(tài)變量，而共態(tài)變量的運(yùn)動方程可以寫為 這等價于，這意味著資本影子價格下降的速度要等于資本對當(dāng)前利潤和未來利潤貢獻(xiàn)的速度。變?yōu)? 變?yōu)椋ū举|(zhì)上都是）因?yàn)楹?，所以變?yōu)? 橫截條件變?yōu)楹停ㄋ模┏浞謼l件（二階條件）（1）曼加薩林定理對于最優(yōu)控制問題：. y(0)=y0，y(T)和T自由 如果（i）F和f函數(shù)可微，且關(guān)于變量（y，u）是聯(lián)合凹的，（ii）并且最優(yōu)解對于t∈[0, T]，若f關(guān)于y或u非線性，滿足λ(t)≥0（若f關(guān)于y和u是線性的，則不需要），那么最大值原理的必要條件對于最大化V也是充分的。因?yàn)榇怪苯K結(jié)線的橫截條件所起的作用僅僅是在分部積分中使得乘積項(xiàng)為零，固定終結(jié)狀態(tài)也會使得該結(jié)論成立，截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線就更不用說了。阿羅定理表明，在上述動態(tài)優(yōu)化問題中，如果給定λ，對于[0, T]中任意時刻t，H0關(guān)于變量y是凹的，則最大值原理的一階條件對于V的全局最大化是充分的。（五）無限期界問題如同在變分法的部分所提出的那樣，終結(jié)時刻趨近于無窮大所帶來的問題一個是廣義積分的收斂性，一個是橫截條件。因此，首先要滿足：。 然而，關(guān)于這個條件，很人多認(rèn)為找出了反例。蔣中一還指出，經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)這類問題大多是因?yàn)槟繕?biāo)泛函中不包含貼現(xiàn)因子。前面介紹的曼加薩林定理和阿羅定理中，主要針對垂直終結(jié)線（或者固定終結(jié)點(diǎn)問題與截?cái)嗟拇怪苯K結(jié)線），其作用主要在于證明中有分部積分的一部分等于零。 （請嘗試自行推導(dǎo)上述結(jié)論）（六）有約束的最優(yōu)控制問題 之前涉及到的約束問題主要是對終結(jié)狀態(tài)的約束（截?cái)嗟乃骄€和垂直線），本部分主要涉及針對[0, T]所有時刻的約束。該優(yōu)化問題為：. 邊界條件當(dāng)然，如果有m個控制變量和q個等式約束，那么自然要求qm。（b）不等式約束. +邊界條件 我們借助庫恩塔克條件來解決該問題，為了使KT條件是必要的，必須滿足任一約束限制（約束規(guī)格）：（i）所有約束函數(shù)gi關(guān)于控制變量u是聯(lián)合凹的。我們將漢密爾頓函數(shù)增廣為拉格朗日函數(shù)：仍然假設(shè)存在內(nèi)部解，最大化L的一階條件為：和， 互不松弛條件確保了最大化的L就等于H，想想為什么？（另請自行腦補(bǔ)KT條件相關(guān)內(nèi)容）如果對u存在非負(fù)約束，那么上述第一個條件就要改為：，剩下的最大值原理的部分：，+橫截條件（c）等周問題 需要說明的是該類問題有兩個特點(diǎn)：一個是與積分約束相聯(lián)系的共態(tài)變量和變分法中一樣在所有時刻都是一個常數(shù)；另一個是考慮到積分的特點(diǎn)，約束個數(shù)與控制變量數(shù)量之間沒有限定。漢密爾頓函數(shù)為： 一階條件為： 和和+邊界條件 就如前面所說，即是常數(shù)。漢密爾頓函數(shù)為： 一階條件為： 和和和， 還是一樣，即是常數(shù)。于是一階條件可表示為：（若控制變量有非負(fù)約束，和），（最后部分證明提示：，這兩式同時乘以，再根據(jù)運(yùn)動方程令其相等。該條件應(yīng)用于無限期界問題時，要增加條件。這類約束不涉及到控制變量u，可能造成的影響可能是使得最優(yōu)路徑的一部分發(fā)生了偏離，也可能是整個最優(yōu)路徑因此而改變，如圖。但是，在純狀態(tài)變量約束發(fā)揮作用的前后，共態(tài)變量λ也可能經(jīng)歷跳躍。需要指出的是，dh/dt是t，y和u的函數(shù)，因?yàn)椋? 在這個新的約束下，我們重新表述該問題：. 若h(t, y)=c+邊界條件 為了和之前的解法作對比，我們把乘子的希臘字母寫作大寫。關(guān)于這一點(diǎn)，我們在后面證明該方法和前面的一般形式解法等價的時候會看到其作用。我們通過以下步驟來說明必須是非正的：（a）使和相等（都等于0）并求解。（e）使（c）和（d）中兩個的表達(dá)式相等，然后化簡并推出。的“刀刃上的均衡”問題，索羅引入了新古典生產(chǎn)函數(shù)，以及一系列假定，通過資本邊際產(chǎn)出遞減的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)增長趨向穩(wěn)定均衡點(diǎn)的調(diào)節(jié)問題1F 見羅默《高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（第三版）》，上海，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2009, 11~12頁。的假設(shè)保證了均衡點(diǎn)的存在，即圖中的，其位置由技術(shù)進(jìn)步和儲蓄率水平?jīng)Q定。： （）其中，u(.)表示效用函數(shù)，c為消費(fèi)，是代表時間偏好的貼現(xiàn)率。這就帶來了很多問題，比如持續(xù)增長的機(jī)制問題，以及不同國家增長率的巨大差異問題等。當(dāng)然，各種設(shè)定形式還很多，但是大部分模型設(shè)定的實(shí)質(zhì)都是為了改變?nèi)司Y本邊際產(chǎn)出遞減，因此，可以說新增長理論是各種形式的AK模型。（二）最簡單的拉姆齊模型及其動力系統(tǒng) 該問題的漢密爾頓函數(shù)為： 根據(jù)最大值原理，我們首先選擇c最大化H，根據(jù)以下草圖，我們猜測c*應(yīng)該是內(nèi)部解。該無限期界問題的兩個橫截條件（其中有個橫截條件還可作為充分條件的補(bǔ)充）是：首先，這里，根據(jù)效用函數(shù)的稻田條件c趨近于零，u’(c)趨近于無窮大，但是平衡點(diǎn)處c不為零，該條件必然滿足。（三）微分方程定性穩(wěn)定性判別方法簡介（1）穩(wěn)定性與漸進(jìn)穩(wěn)定性（i）穩(wěn)定性：考慮dx/dt=f(t, x)，其中f對x∈GRn，對于t∈(∞,+∞)連續(xù)，對x滿足李普希茲條件。（2）穩(wěn)定性判別基本定理給定微分方程組dx/dt=f(t, x)，其中x為n維向量。我們考慮方程組：dx/dt=A(t)x （2）我們通過方程組（2）來研究（1），介紹以下定理：Th1：若方程組（2）中A(t)是常數(shù)矩陣A，則：（i）零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的A的全部特征根都有負(fù)的實(shí)部。Th3：若方程組（2）中A是常數(shù)矩陣，且A的全部特征根都有負(fù)實(shí)部，則（2）的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。A有三種約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：（i）（ii）（iii）（i）當(dāng)，星形結(jié)點(diǎn)： 當(dāng)，且，兩向結(jié)點(diǎn)： 當(dāng)，且（假設(shè)，），鞍點(diǎn)：（ii）單向結(jié)點(diǎn)：（收斂，發(fā)散）（iii）若，焦點(diǎn)（，收斂；，發(fā)散）若，中心（影響旋轉(zhuǎn)方向？）51