【正文】 2,1?均有： ?? )()( tbq Tjtj ? 則稱時(shí)間最優(yōu)控制是正常的。 定義 2若在區(qū)間 ],[ 0 Tt 內(nèi)，存在一個(gè)（或多個(gè)）子區(qū)間 ],[],[021 Tttt ?， 使得對所有 ],[ 21 ttt? ，有 0)()),(()( ?? tttXBq Tjtj ? 則稱時(shí)間最優(yōu) ],[ 21 tt控制異步。 奇異區(qū)間。 ???????????tttt非零0如何判定系統(tǒng)是正常的，還是奇異的。 設(shè)計(jì)時(shí)間最優(yōu)控制之前總希望知道問題是否有解？是否有唯一解？問題是正常 的，還是奇異的。初次之外，我們還希望了解時(shí)間最優(yōu)控制的共同特點(diǎn)和性質(zhì)。 這種一般規(guī)律的認(rèn)識和了解會(huì)有助于具體系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算。 然而：對任意的非線性系統(tǒng)和任意的目標(biāo)集，沒有明確結(jié)論。 對于線性定常系統(tǒng)，可以回答上述問題，（目標(biāo)集假設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)） 至于線性時(shí)變系統(tǒng)及一般性目標(biāo)集問題，只有其中的部分結(jié)論適用。 問題 1： 已知線性時(shí)不變系統(tǒng)， )()()(. tButAXtX ?? 時(shí)完全能控的 求滿足下列不等式或約束的 r維容許控制向量 U(t), rjutj ......2,1,1|| )( ??由已知初態(tài) 00 )( XtX ? 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)的時(shí)間最短 ，根據(jù)極小值原理， 使系統(tǒng) 問題 最優(yōu)控制的必要條件如下： )()()}({)]([)(0)()0()()()()(*0.tBtqtBSG NtqSG NtUTXXXtAtBUtAXtXTTT?????????????＝－。或 rjtbqtUTjtjj ....3,2,1)}(s g n {}s g n {)( )(* ??????? ?jb為 B的第 j列向量 0)()()()(1)()()()(1 ??????? TBUTTAXTtButtAXtH TTTT ????從上述必要條件出發(fā)，可得一些有用的結(jié)論： 定理 1當(dāng)且僅當(dāng) 個(gè)矩陣 rjbAbAAbbGjnjjjj ....2,1],|. . . . . .|||[ 12 ?? ?中至少有一個(gè)奇異矩陣時(shí) 問題 1是奇異的。 證明：由已知條件： 0)( ?? tA Tet ???由 6式知， 0)( ?t? 否則 1＝ 0錯(cuò) }s g n {}s g n {)(][)(00*0*jAtTtATjjtATbeebtUeBSG NtUTT?????????????若問題正常，則對于給定的初協(xié)態(tài) 0?，可唯一確定砰－砰控制 怎樣知道是正常還是奇異呢？推證定理。 假定 問題 1是奇異的，至少存在一段時(shí)間 ],0[],[ 21 Ttt ? 使某 )(tqj 對所有 ],[ 21 ttt? 均成立： 0)(0 ??? ? jAtTj betq ?r由此： 0)(. . . . . .0)(,0)( 1... ??? ? tqtqtq njjj考慮到 A與 Ate 可前后交換順序，則有： 令： nnjnjjj bAAbbG ??? ]. . . .||[ 1則關(guān)于 n維待定向量 0?的代數(shù)方程組可寫成： 00 ?? jAtT Ge?所有 ],[21 ttt?由于 Ate? 為奇異矩陣，為使 0?? ，則 jG必為奇異矩陣， 即： ?? 0d e tjG奇異控制問題的必要條件。 可以證明其為充分條件 定理 1得證： 由設(shè)定理可進(jìn)一步得出 問題 為正常得充分必要條件 ??????????????????????????0)()1(0)(0)(0)()1(0)1(120..0.0jnAtTnjnjAtTjjAtTjjAtTjbAetqbAetqAbetqbetq????定理 2： 當(dāng)且僅當(dāng) rjbAbAAbbGjnjjjj ,....2,1],|.....|||[ 12 ?? ?全部為非 奇異矩陣，則時(shí)間最優(yōu)控制是正常得。 定理 1和 定理 2得推證過程都沒有設(shè)計(jì)到目標(biāo)集，因此，不論目標(biāo)集如何，只 要受控系統(tǒng)是線性時(shí)不變得，因此兩個(gè)定理可用。 將滿足 定理 2得系統(tǒng)叫做正常系統(tǒng)。正常受控系統(tǒng)，其時(shí)間最優(yōu)控制問題也是正 常得，對于正常問題，由下列存在性與唯一性定理。 定理 3若受控系統(tǒng) BuAxX ??. 是正常的，且時(shí)間最優(yōu)控制存在，則最優(yōu)控制 必定唯一。 證明：見 “ 百年學(xué)書 ” p176頁。 另外，我們知道，一個(gè)完全能控的線性定常系統(tǒng)： BuAxX ??. 必需滿足 nBABAABBr a n kr a n k G n ?? ? ]|....|||[ 12n:系統(tǒng)維數(shù) 若把系統(tǒng)表征為： rr ubuBuBAxX ????? ......2211.其中 ruuu ..., 21 控制分量 正常問題要求 rjbAj . ..2,1),( ?都是完全能控。 即： nbAAbbr a n kr a n k Gjnjjj ?? ? ]|. . . . . .||[ 1說明：每一個(gè)控制分量 )(tuj均能單獨(dú)使受控系統(tǒng)由任意初態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn) 移到坐標(biāo)原點(diǎn)。 據(jù)此，常可很容易地判斷問題的時(shí)間最優(yōu)控制是否屬于正常情況。 顯然：一個(gè)輸入完全能控的線性不變系統(tǒng)，其時(shí)間最優(yōu)控制問題也一定是正常的。 燃料最優(yōu)控制的一般情況，接 之二本 問題 已知線性定常系統(tǒng)： ],0[,....2,1,1|)(|.TtrjtuBuAxXj ?????求最優(yōu)控制 )(* tu ，使系統(tǒng)由任意初態(tài) 0)0( xx ?轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集： }, . . . .2,1,0)]([|)({ piTxgTxM i ???且使性能指標(biāo)： ????Tjrjjj cdttucJ 010,|)(|? 為最小， T未知。 分析： BuAxtucH TTjjTj ??? ??? ? |)(|1若記： rjbtq Tjj . . . . .2,1,)( ?? ?:jb 為 B的第 j列向量， 則 H種與 U(t)由關(guān)的部分 R(u)為： })()(|)({|)( 1jjjjjrj ctqtutucuR ????根據(jù)極小值原理， *u 應(yīng)使 H或 R（ u）取極小，則： }])()(|)({|m i n[|})()()({|m i n)(m i n|1)(|11)()(jjjjtujrjjjjjjrjvtuvtuctqtutucctqtutucuRj???????????求出： rjctqde Ztujjj ....3,2,1},)({)(* ??? 這就是燃料最優(yōu)控制。 如何判定燃料最優(yōu)控制是正常還是奇異？ 定理 問題 為正常得充分條件為 ,對所有 j＝ 1， 2， 3， …… r，均有 0)d e t( ?jAG其中 ]|. . . .||[ )1(jnjjj bAAbbG ??問題 為奇異得必要條件為 ：對于某個(gè)或某些 有： 0)d e t( ?jAG證明從略 j注意： 在燃料最優(yōu)控制中，區(qū)分正常情況與時(shí)間最優(yōu)控制不同。首先： :系統(tǒng)正常時(shí)，最優(yōu)控制問題一定是正常的。 ：即使系統(tǒng)正常（ 0det ?jG)，如果系統(tǒng)矩陣 A是奇異得（ A有零 特征值，即系統(tǒng)中含有積分環(huán)節(jié)），問題仍可能屬于奇異情況。 只有當(dāng)系統(tǒng)是正常得，且 A有事非奇異矩陣，才能保證燃料最優(yōu)控制有正常解。 另外（ 1）式為系統(tǒng)正常得充分條件，次條件不滿足時(shí)， 系統(tǒng)仍可能有正常解（有可能正?；蛴锌赡芷娈悾┮暢跏紶顟B(tài)而定。 1） 試證明系統(tǒng)由初態(tài)： 2）欲求系統(tǒng)由初態(tài) X(0)最快地轉(zhuǎn)移到終態(tài) 習(xí)題： 設(shè)二階系統(tǒng) uxxx??.22.11|| ?u所消耗燃料為最小得最優(yōu)控制 ?????????????? 00)4(11)0( XX 轉(zhuǎn)移到為： ??????????????????????4)35(211)35(21)35(210)35(2101)(*ttttu*0)( ff ttx 。求?二階空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： )()()()()()(12.22.1tutxtxtxtxtx?????不等式控制約束 Utu ?|)(| ，試求使系統(tǒng)由初態(tài) Tuxxx ],[)0( 10?達(dá)到平衡狀態(tài) 0)( ?ftx 的最短時(shí)間最優(yōu)控制。 關(guān)于 “ 二次積分模型 ” 的燃料最優(yōu)控制問題的進(jìn)一步討論： ???????)()()()(.22.tutxtxtx系統(tǒng)： ],0[,1|)(| ftttu ??求 )(* tu ，使系統(tǒng)由任意初態(tài)（ 21,?? ）轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，且使性能指標(biāo)： ?? T dttuJ 0 |)(| 為最小值， T自由。 解 ：求解最優(yōu)解的必要條件： 1）正則方程： uxuH221|| ?? ???則： ?????????????????????????11.21.12.2.10???xHxHuxxx2）邊界條件： 2211)0()0(????xx0)(0)(21??fftxtx3）極小值條件： uuuu2*2* |||| ?? ???4） H函數(shù)變化率： 0)()()()(|)(||| *221*221* ?????? fffff tuttxttuuxu ????則： )}({)( 2* td e Ztu ???)(2 t? 僅在有限個(gè)點(diǎn)上為 1，則正常； )(2 t? 在一段區(qū)間上為 1，則奇異。 具體分析： 解協(xié)狀態(tài)方程： ??101 )( ?? t常數(shù)， tt 10202 )( ??? ??2022,??的不同，系統(tǒng)有可能為正?；蚱娈悺? 1 奇異情況： 若 010 ??，使系 H的變化規(guī)律 0)(* ?tH 成立，必有： 1)(220 ??? t?? 奇異。 無法用極小值原理求解。 2 當(dāng) 010 ??時(shí)， 10202 )( ??? ??t是時(shí)間的線性函數(shù)，這時(shí)至多有兩個(gè) 點(diǎn)滿足 ?? 1|)(| 2 t? 正常情況 最優(yōu)控制必為三位式控制，且至多有兩次切換，候選解為： {0},{+1},{1}, {+1,0,1} ,{1,0,+1},{+1,0},{1,0}， {0,1},{0,+1}由于 結(jié)尾的三種控制序列不可能為最優(yōu) 控制。 0?u因?yàn)橛袪顟B(tài)方程知：是一組不通過原點(diǎn)的平行線或軸上的孤立點(diǎn) 所以可能的最優(yōu)控制序列為：六種可能： {+1},{1},{0,1},{0,+1}{+1,0,1} {1,0,+1} 為了進(jìn)一步分析燃料最優(yōu)控制解的性質(zhì)，轉(zhuǎn)向相平等分析： 當(dāng) u=+1,u=1時(shí)，有初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)的兩條軌線為： ?? rr 和|}|21|),{(}0,21|),{(}0,21|),{(22121222121222121xxxxxrrrxxxxxrxxxxxr???????????????? 及 1x 軸將相平等分為四部分： r}0,21|),{(}0,21|),{(}0,21|),{(}0,21|),{(2221214222121322212122221211??????????????xxxxxRxxxxxRxxxxxRxxxxxR當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于不同區(qū)域時(shí)，解大不相同。 ),( 21 ?? 1） 位于 ?r 上， 1* ??u 是唯一的燃料最優(yōu)控制，且 || 2* ??J位于 ),( 21