【正文】 f線，則必存在不 與 )(* tU 對應的哈密頓函數(shù) H取極小值。 極小值原理的證明：應用數(shù)學基礎較多，有些書中用很大篇幅進行 二、極小值原理的意義： 1 、容許控制條件放寬 變分法 ：在整個控制域，對 U沒有約束 0???uH有時 計算不易。 且即使 U不受限制， 最優(yōu)控制 *U 使哈密頓函數(shù) H取極小值，極小值原理由此得名。 H對 u沒有可微要求，因此應用拓寬。 )( ftX 受約束， ft自由的最一般 情況。01)1(11 ?????? ?? tetecce ??顯然 :當 1)( ?st?時， )(* tU 產(chǎn)生切換 3 0 ,11)( 1 ???? ? sts tet s?所以 ?)(* tU1?? )(tx)(1)(??txtx?)(tx121??ttecec ?? t ?? t ?? t ?? t ?? t ?? t由 x(0)=5代入 ,得 41 ?c所以 14)(* ?? tetx令 t= ≤t≤1時 x(t)的初始條件 : )3 0 ( ??? ex 解得 ?c所以 ?)(* tX14??ttee將 **,UX 代入 J可得 : )]()([10 *** ??? ? dttUtXJ ?? t ?? t ?? t例 2: 10)0()(21)(m in1022????????xuxxdtuxuJ求 *u a)對 U沒 有 約 束 b) |u| ?解 :a) ??????????????*220)(21210)1(UuHuxuxH???????????????????????xuxxxxH0 10)0( ?x0)1( ??解得 : tttteeteetx2222*)12()12()()(??????????b) |u| ?由極小值原理 : }s g n {* ???U當 t=1時 0??在 [0,1]區(qū)間 0)( ?t?所以 )(* ??tU五、極小值原理中哈密頓函數(shù) H的性質討論 用途：對于所求解的最優(yōu)控制的驗證，或幫助求解最優(yōu)控制及 線性定常系統(tǒng)： ),( UXfX ??ft、)1固定， dtUXLtXJ fttf ???0),()]([?包括 ???????? fttfdtUXLJtXJ0),()]([?(與末端狀態(tài)無關 ) 則 : ?? )()( ** ftHtH 常數(shù) 。 這也是發(fā)展得最早的最優(yōu)控制問題之一。因為它還和系統(tǒng)的狀態(tài)變量有關系。 ??????? 11)0(X??????? 11)0(XN X2 o p X1 B u=+1 u=1 A[1,1] 因此，問題的解為 : ①先以 u=1控制到達 Po曲線上的 B點 ②以 u=+1沿開關曲線 Po到達原點 從初始狀態(tài)到達末端狀態(tài)的軌跡為 AQBO， 即 u*= 進而，可求出轉移時間 ts及最優(yōu)時間 把狀態(tài)軌線控制序列分成若干段，逐步算出所需時間，最后相加。 M時升降機的狀態(tài)軌線 2?設 u=M，則狀態(tài)方程為： … ① … ② ① /② ： 是一組拋物線， 圖中實線箭頭表示狀態(tài)運動的方向 gMxxx???221??CgMxxgMxdxdx?????22122121在此族曲線中，只有 到達原點， ?r)(2:221 gMxxr????rr?設 u=M，同理可得： 如圖虛線所示 CgMxx ????221 21只有 到達原點， ?r ?r)(2:221 gMxx???rrr ?? ?? 開關曲線 r將相平面分為兩部分，在 r下半部的記為 ，包括 在 r上半部的記位 ，包括 ??RR??rr∵ u*只取 +M或 M，切換最多一次，因此可得到結論： 〈 ⅰ 〉 初始狀態(tài) 在 上， 狀態(tài)沿 回原點 ? ?xxx 02022 ,? r? Mu ?* r?〈 ⅱ 〉 當 在曲線 上時 ， 狀態(tài)沿 回原點 〈 ⅲ 〉 當 時， 沿相應的虛線拋物線運動到 時， 沿 回到原點。當其狀態(tài)檢測到達 時，馬上改變控制，使它以 的最大推力向上作用，這樣升降機將以速度 0到達地面。 注意：時間最優(yōu)控制的應用中，有些實際問題并不要求將相點控制到狀態(tài)空間原點，而是到某一集合，其分析方法與上類似 （若二階系統(tǒng)為一般的二階系統(tǒng)，特征值為實數(shù)時，分析方法類似；為復數(shù)或純虛數(shù)時，開關次數(shù)定理不成立，問題較為復雜，如無阻尼振蕩二階系統(tǒng)。 U有正有負。 為使Ｈ為最小，則使 為最小 uu2??分析：①若ｕ＝＋１，則 若使Ｈ最小，則 ②若ｕ＝－１，則 若使Ｈ最小，則 ③若 ? ?u21 ??12 ???? ? ? ?uu 22 11 ?? ????12 ??? ?010112222??????????? uuu1122?????0* ?? u???????101*u1111222?????????由： 12221?????????????xHxH??21211CtCC?????? 和相應的最優(yōu)控制 之間的關系： 2?,0fbbaatttttttt??????,1,1,1222???????1*0*1*?????uuu顯然，燃料最優(yōu)控制也是 開關式控制，控制器應為 一個具有死區(qū)的繼電器。設 u*(t)的最后一次切換發(fā)生在 上的 A點，則倒數(shù)第二段的控制必有： u=1， 其最優(yōu)軌線必為（ 0， 1）為圓心的圓弧。同理可?。? ，一次類推，可得一系列圓弧，可謂開關曲線。 b、 的切換次數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)無關。 若 則： cxx ???? 2221 )1( 是一組 (1,0)為圓心的同心圓。 設 的最優(yōu)一次切換發(fā)生在 0?r 的 A點，則倒數(shù)第二段的控制必為： 1* ??u軌跡為 (1,0)為圓心的圓弧。 *u由于 A點可為 0?r上的任一點，所以 A? 點形成 (3,0)為圓心， 1為半徑的半圓。 CD弧 : ,(+1,0)為圓心， CO2 為半徑，交開關曲線于 D BC?。? 1* ??u,(1,0)為圓心， ,(1,0)為圓心， BO1 為半徑圓弧，交開關曲線于 C AB?。? AO2為半徑的圓弧交于開關曲線 B 1* ??u1* ??u1* ??u1* ??u1x2x1o2oE A B C D 1* ??u1* ??u?R?r?r1* ??u?R1* ??u),( 2022 xx習題： 已知線性定常系狀態(tài)方程： ???????)()()()(.22.1tutxtxtx 其中 , ],0[ ftt ?求 使系統(tǒng)由任意初態(tài) 202101 )0(,)0( xxxx ??以最短時間轉移到目標集： 0)()](),([ 121 ?? fff txtxtxg習題： 已知受控系統(tǒng)： ???????uxxx.22.1 ，目標集： }.0|),{(2121 ???????? xxxxM求滿足約束條件 的時間最優(yōu)控制函數(shù)，求開關曲線 1)( ?tu)(* tu1)( ?tu注： 在時間最優(yōu)控制中，我們知道： )}(],),({[)}({* tttxs GN BtqS GNu T ?????rjtttxbtqu Tjjj ,...3,2,1)}(],),([s g n {)}(s g n {* ?????? ?即：可知： )()(** ttxu ?及與 之間的關系 由前分析知： 0)( ?tq j 時，可由極值條件確定 ，正常情況； 0)( ?tq j 時，可為滿足約束條件的任意值，為不定狀態(tài)，異步情況。 ???????????tttt非零0如何判定系統(tǒng)是正常的，還是奇異的。 然而：對任意的非線性系統(tǒng)和任意的目標集，沒有明確結論。 證明：由已知條件： 0)( ?? tA Tet ???由 6式知， 0)( ?t? 否則 1＝ 0錯 }s g n {}s g n {)(][)(00*0*jAtTtATjjtATbeebtUeBSG NtUTT?????????????若問題正常，則對于給定的初協(xié)態(tài) 0?，可唯一確定砰－砰控制 怎樣知道是正常還是奇異呢？推證定理。 將滿足 定理 2得系統(tǒng)叫做正常系統(tǒng)。 另外，我們知道，一個完全能控的線性定常系統(tǒng)： BuAxX ??. 必需滿足 nBABAABBr a n kr a n k G n ?? ? ]|....|||[ 12n:系統(tǒng)維數(shù) 若把系統(tǒng)表征為： rr ubuBuBAxX ????? ......2211.其中 ruuu ..., 21 控制分量 正常問題要求 rjbAj . ..2,1),( ?都是完全能控。 燃料最優(yōu)控制的一般情況，接 之二本 問題 已知線性定常系統(tǒng)： ],0[,....2,1,1|)(|.TtrjtuBuAxXj ?????求最優(yōu)控制 )(* tu ，使系統(tǒng)由任意初態(tài) 0)0( xx ?轉移到目標集： }, . . . .2,1,0)]([|)({ piTxgTxM i ???且使性能指標： ????Tjrjjj cdttucJ 010,|)(|? 為最小， T未知。 ：即使系統(tǒng)正常（ 0det ?jG)，如果系統(tǒng)矩陣 A是奇異得（ A有零 特征值，即系統(tǒng)中含有積分環(huán)節(jié)），問題仍可能屬于奇異情況。求?二階空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： )()()()()()(12.22.1tutxtxtxtxtx?????不等式控制約束 Utu ?|)(| ，試求使系統(tǒng)由初態(tài) Tuxxx ],[)0( 10?達到平衡狀態(tài) 0)( ?ftx 的最短時間最優(yōu)控制。 1 奇異情況： 若 010 ??，使系 H的變化規(guī)律 0)(* ?tH 成立，必有： 1)(220 ??? t?? 奇異。 ),( 21 ?? 1） 位于 ?r 上， 1* ??u 是唯一的燃料最優(yōu)控制，且 || 2* ??J位于 ),( 21