【正文】 ax +bu 1/ r x ( t ) u ( t ) ? ∫ p ( 0 ) 2 a 2ap ( t ) p?( t ) + q + 圖 77 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 ? 這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在 tf?的一個重要性質(zhì) 。 ? 可見 r很小意即在性能指標(biāo)中控制 u的價值不太重要 ,狀態(tài) x(t)將迅速被控制到零值 。 ? 當(dāng) r→0 時 ,控制將逐漸變成在 t=0時刻的脈沖信號。 圖 78 不同 r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (12/13) ? 圖 79表示在 a=1,f=0,q=r=1,f取 0或1的情況下 ,以 tf為參數(shù)時黎卡提微分方程的解 p(t)的一組曲線 。 ? 當(dāng) a=1,q=r=1時 ,p(t)→ 。 ? 顯然 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為時變的癥結(jié)在于 P(t)是時變的 。 ? 因此 ,對線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,若其泛函指標(biāo)中矩陣 Q(t)和 R(t)均為定常 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律 為定常的條件 與 末態(tài)時刻 tf無限有關(guān) 。 ? 控制量 u(t)不受約束 。 ? 這是因為 ,對無限時間調(diào)節(jié)器問題 ,使性能指標(biāo)泛函最小的末態(tài) x(?)必定為原點 ,否則 ,J[u( ? 該結(jié)論可簡單說明如下 。 ? 由微分方程理論可知 ,上述 定常微分方程 的解 P(t,tf)的值只與 tft有關(guān) ,與時刻 t無直接關(guān)系 。 ? 因此 ,上述結(jié)論可歸納為如下線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理。 ? 由 ,狀態(tài)能穩(wěn)性 的意義 是 :一定存在一個狀態(tài)反饋 ,使?fàn)顟B(tài)能穩(wěn)的系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定 。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (9/12) ? 若被控系統(tǒng)是 狀態(tài)不完全能控的 ,則至少要求 不能控的子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 ,才能使得該部分子系統(tǒng)的狀態(tài)能隨時間 t→ ?而自由衰減至零狀態(tài) 。 ? 控制的目的是使性能指標(biāo)泛函最小 ,而不是將系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)到指定的末態(tài)。 ? 下面通過分析一個一階線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,進一步領(lǐng)會該調(diào)節(jié)器的基本特性。 ? 解 根據(jù)定理 716,可以求出該問題的最優(yōu)控制為 式中 ,p是如下黎卡提代數(shù)方程的解 ???????02200d)]()([21)()()()(ttrutqxJxtxtutaxtx?)(1)( tpxrtu ??012 2 ??? qprapu*=R1B?Px τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (12/12) ? 解之得 ? 因此 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為 相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 于是得 22p ar qr a r? ? ?2( ) ( )qx t a x tr? ? ?2( ) e x p ( 0 )qx t a xr??? ? ?????)()( 2 txarqatu???????? ????。 式中 ,q?0,r0。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (10/12) 2) 若被控線性定常系統(tǒng)是 狀態(tài)能鎮(zhèn)定的 ,即矩陣對 (A,B)是能鎮(zhèn)定矩陣對 ,則黎卡提矩陣代數(shù)方程的解 P至少是非負(fù)定的。 ? 在前一節(jié)討論的 有限時間 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中 ,未要求被控系統(tǒng)是 狀態(tài)能控的 或 狀態(tài)能鎮(zhèn)定 的。 ? 如果被控系統(tǒng)是 狀態(tài)能控 的 ,當(dāng)然就存在 線性定常 狀態(tài)反饋律 ,使被控系統(tǒng)的反饋閉環(huán)系統(tǒng)是 漸近穩(wěn)定的 ,即狀態(tài) x(t)可 逐漸衰減至零 。 ? 此時 ,最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ? 從任意初始狀態(tài)開始的最優(yōu)性能指標(biāo)為 τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?1 00( ) ( ) , ( )t A B R B P t t????? ? ???x x x x)()(21]),([ 00τ00 tPtttJ xxx ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (8/12) ? 關(guān)于線性定常系統(tǒng)的無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的定理 ,有如下 說明 。 ? 因此 ,只要黎卡提微分方程 (7178)的解 P(t,tf)存在且為有限矩陣 ,則 P(t,tf)必為常數(shù)矩陣 。 式中 ,矩陣 A、 B、 Q和 R都為 定常矩陣 。 ? 因此 ,x(?)必為原點 ,此時再規(guī)定末態(tài)性能指標(biāo)項是無意義的 。 R為 正定 常數(shù)矩陣 。 ? 線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的描述如下。 ? 以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng) ,既大大 減少了控制系統(tǒng)實施的困難性 ,簡化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ,又便于維護使用 ,無論在理論上和工程上都具有較大價值 。 22()ftLim p t a r q r a r?? ? ? ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (1/12) 定常 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 前面已經(jīng)指出 ,即使被控系統(tǒng)是 線性定常的 ,性能指標(biāo)泛函中的矩陣 Q(t)和 R(t)也為定常的 ,在末態(tài)時刻為 有限時間 (tf?)時 ,其最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的 最優(yōu)狀態(tài)反饋律 也是 時變的 。 圖 79 不同末端時刻 p(t)曲線 ? 這一事實可用如下數(shù)學(xué)關(guān)系式來說明 。 ? 可見隨著 r的減小 ,在控制區(qū)間 [0,1]的開始階段 ,p(t)幾乎為一常數(shù) 。 圖 78 不同 r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 1( ) ( ) ( )u t p t x tr??0 0()( ) e x p dt psx t x a sr?????? ?????????2 β ()2 β ()/ ββ ( β )/ β ()/ β1/ β ffttttf r aa a ef r ap t rf r a ef r a????????????0002 2 2( ) ( ) ( ) , ( )11( ) [ ( ) ( ) ] d22ftf tx t ax t u t x t xJ f x t qx t ru t t? ? ?? ? ??2β arq ??最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (10/13) ? 圖 78(b)表示以 r為參數(shù)的一組最優(yōu)控制 u(t)的曲線。 ? 圖中信號 p(t)是對黎卡提微分方程進行電子電路模擬的結(jié)果 ,其初始信號 p(0)是對黎卡提微分方程的解在 t=0時 的值 。 ? 試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線 。 )()( *2*1 tt uu 和*1 τ * * 1 τ *1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t R t B t P t t t R t B t P t t??? ? ? ?u x u x)()( *2*1 tt xx 和 )()( *2*1 tt uu 和? ?? ? 00*2*2τ1*2 00*1*1τ1*1)()()()()()()()()()()()()()()()(xxxxxxxx????????tttPtBtRtBtAttttPtBtRtBtAt??)()( *2*1 tt xx 和最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (4/13) ? 根據(jù)微分方程初值問題解的唯一性 ,顯然有 從而有 即唯一性得證 。 ? 用反證法證明 。 ? 定理 715 對 線性時變系統(tǒng) 的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,當(dāng) tf?時 ,最優(yōu)控制 u*(t)存在 且 唯一 。 τ 1 τ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ffP t P t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q tP t P t F?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (3/3) 3) 由于矩陣 P(t)的對稱性 ,則 n n維的黎卡提矩陣微分方程實質(zhì)上是一個由 n(n+1)/2個非線性標(biāo)量微分方程組成的微分方程組 。 ? 當(dāng)在區(qū)間 [t0,tf]內(nèi) A(t)、 B(t)、 R(t)和 Q(t)為分段連續(xù)的時間函數(shù) ,R(t)為正定且其逆矩陣有界 ,Q(t)矩陣為非負(fù)定時 , ? 則根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論 , ?P(t)的解在區(qū)間 [t0,tf]內(nèi) 唯一存在 。 ? 于是 ,定理的充分性得以證明 。 ? 因此 ,證明了定理的必要性 。 ? 定義哈密頓函數(shù)