【正文】 ,則 y(t)=x(t)=e(t) 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (3/3) ? 由于所討論的系統(tǒng)為 線性系統(tǒng) ,給定的性能指標(biāo)泛函 J 對(duì)狀態(tài)變量 x(t)和控制量 u(t)均 連續(xù)可微 ,因此 ,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 可用 變分法 、 極大值原理 和 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法 中的 任一種求解 。 ? 定義哈密頓函數(shù) 則式 (7167)可以進(jìn)一步表示為 τ τ1( , , ) [ ] [ ]2H Q R A B?? ? ? ?xu λ x x u u λ xu0τ τ τ11( ) ( ) [ ] [ ] d ( 7 1 6 7 )22 ftfftJ t F t Q R A B t???? ? ? ? ? ? ??????x x x x u u λ x u x000ττ1( ) ( ) [ ( , , ) ] d21( ) ( ) ( ) ( ) | [ ( , , ) ] d2ffftff tttf f t tJ t F t H tt F t t t H t???? ? ?? ? ? ???x x x u λ λ xxx λ x x u λ λ x00( ) ( )1( ) ( ) ( )2 ( )[ ( ) ( ) ] ( )fftfff f ftftf f ftt F t HHJ x t t t dttHHt F t t x dt?? ???? ???? ? ? ? ?? ? ???? ????? ? ? ? ?????? ? ???????????? ? ? ? ?????????????xxλ x λ xux x ux λ x λ uxu最優(yōu)控制的充分必要條件 (4/10) ? 根據(jù)極值的必要條件 ?J=0,可以求得 以及極值條件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1( ) ( )2 ( )fffffHt A t t B t tHt Q t t A t tt F tt F tt???? ? ???? ? ? ? ??????x x uλλ x λxxxλ xx0[ ( ) ( ) ] ( ) ftf f f t HHJ t F t t x d t? ???? ? ? ???????? ? ? ? ??????????x λ x λ uxu( ) ( ) ( ) ( ) 0H R t t B t t?? ? ? ?? u λu最優(yōu)控制的充分必要條件 (5/10) ? 由極值條件 (7173)得最優(yōu)控制律為 ? 注意到狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程及其終端條件均為線性 ,因此 ,?(t)和 x(t)之間必定為線性關(guān)系 ,可以表示為 ? 由上述兩式可以得到 u(t)的最優(yōu)解 。 ? 于是 ,定理的充分性得以證明 。 τ 1 τ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ffP t P t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q tP t P t F?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (3/3) 3) 由于矩陣 P(t)的對(duì)稱性 ,則 n n維的黎卡提矩陣微分方程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由 n(n+1)/2個(gè)非線性標(biāo)量微分方程組成的微分方程組 。 ? 用反證法證明 。 ? 試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線 。 圖 78 不同 r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 1( ) ( ) ( )u t p t x tr??0 0()( ) e x p dt psx t x a sr?????? ?????????2 β ()2 β ()/ ββ ( β )/ β ()/ β1/ β ffttttf r aa a ef r ap t rf r a ef r a????????????0002 2 2( ) ( ) ( ) , ( )11( ) [ ( ) ( ) ] d22ftf tx t ax t u t x t xJ f x t qx t ru t t? ? ?? ? ??2β arq ??最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (10/13) ? 圖 78(b)表示以 r為參數(shù)的一組最優(yōu)控制 u(t)的曲線。 圖 79 不同末端時(shí)刻 p(t)曲線 ? 這一事實(shí)可用如下數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)說(shuō)明 。 ? 以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng) ,既大大 減少了控制系統(tǒng)實(shí)施的困難性 ,簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ,又便于維護(hù)使用 ,無(wú)論在理論上和工程上都具有較大價(jià)值 。 R為 正定 常數(shù)矩陣 。 式中 ,矩陣 A、 B、 Q和 R都為 定常矩陣 。 ? 此時(shí) ,最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ? 從任意初始狀態(tài)開(kāi)始的最優(yōu)性能指標(biāo)為 τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?1 00( ) ( ) , ( )t A B R B P t t????? ? ???x x x x)()(21]),([ 00τ00 tPtttJ xxx ?定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (8/12) ? 關(guān)于線性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的定理 ,有如下 說(shuō)明 。 ? 在前一節(jié)討論的 有限時(shí)間 最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題中 ,未要求被控系統(tǒng)是 狀態(tài)能控的 或 狀態(tài)能鎮(zhèn)定 的。 式中 ,q?0,r0。 ? 下面通過(guò)分析一個(gè)一階線性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)該調(diào)節(jié)器的基本特性。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (9/12) ? 若被控系統(tǒng)是 狀態(tài)不完全能控的 ,則至少要求 不能控的子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 ,才能使得該部分子系統(tǒng)的狀態(tài)能隨時(shí)間 t→ ?而自由衰減至零狀態(tài) 。 ? 因此 ,上述結(jié)論可歸納為如下線性定常系統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理。 ? 該結(jié)論可簡(jiǎn)單說(shuō)明如下 。 ? 控制量 u(t)不受約束 。 ? 顯然 ,最優(yōu)狀態(tài)反饋律為時(shí)變的癥結(jié)在于 P(t)是時(shí)變的 。 圖 78 不同 r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (12/13) ? 圖 79表示在 a=1,f=0,q=r=1,f取 0或1的情況下 ,以 tf為參數(shù)時(shí)黎卡提微分方程的解 p(t)的一組曲線 。 ? 可見(jiàn) r很小意即在性能指標(biāo)中控制 u的價(jià)值不太重要 ,狀態(tài) x(t)將迅速被控制到零值 。 ? 下面通過(guò)分析一個(gè)一階系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)該調(diào)節(jié)器的基本特性 。 ? 定理 714給出最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的 u*(t)的充分必要條件為 u*=R1B?Px ? 由于黎卡提微分方程末值問(wèn)題的解 P(t)是唯一存在的 ,因此 ,u*(t)的存在性得證 。 ? 事實(shí)上 ,將黎卡提微分方程和邊界條件的兩邊作轉(zhuǎn)置 ,并考慮到 R(t),Q(t)和 F都為對(duì)稱矩陣 ,則有 ? 因此 ,矩陣 P(t)和它的轉(zhuǎn)置 P?(t)滿足同一個(gè)矩陣微分方程和邊界條件 。 已知 , 欲證 u*(t)為最優(yōu)控制 。 ? 首先將有限時(shí)間 LQ調(diào)節(jié)器問(wèn)題 (條件極值問(wèn)題 )化為無(wú)條件極值問(wèn)題 。 ? R(t)為 正定矩陣 。 2) 若令 z(t)=0,則 y(t)=e(t)。 ? 如 u(t)為與電壓或電流成正比的 標(biāo)量函數(shù) 時(shí) ,該項(xiàng)為 u2(t),并與功率成正比 ,而 ?u2(t)dt則與在 [t0,tf]區(qū)間內(nèi) u(t)所做的功或所消耗的能量成正比 。 ? 在 e(t)為 標(biāo)量函數(shù) 時(shí) ,該項(xiàng)可取為 e2(t),于是該項(xiàng)與經(jīng)典控制理論中判別系統(tǒng)性能的誤差平方積分指標(biāo)一致 。 ? 非負(fù)定 的常數(shù)矩陣 F為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對(duì)誤差向量 e(t)在末態(tài)時(shí)刻 tf各分量的要求不同 、 重要性不同 。 A(t)、 B(t)和 C(t)分別是 n n、 n r和 m n維的分段連續(xù)的時(shí)變矩陣。 線性二次