【正文】 ttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxu? ???? fttff tttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuyyyyu0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (12/12) 3) 若 z(t)≠0,則 e(t)=z(t)y(t)。 ? 這時 ,線性二次型問題為 :用不大的控制能量 ,使輸出y(t)跟蹤期望信號 z(t)的變化 (e(t)保持在零值附近 ),稱為 輸出跟蹤問題 。 ? 下面將陸續(xù)介紹 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 、 輸出調(diào)節(jié)器 和 最優(yōu)跟蹤問題 的求解方法 、 解的性質(zhì)以及最優(yōu)狀態(tài)反饋實現(xiàn) ,具體內(nèi)容為： ? 時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (1/3) 時變 狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 前面已經(jīng)指出 ,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題為 : ? 用不大的控制能量 ,使狀態(tài) x(t)保持在零值附近的二次型最優(yōu)控制問題 。 ? 該問題的描述如下 。 時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (2/3) ? 有限時間 LQ調(diào)節(jié)器問題 設 線性時變系統(tǒng) 的狀態(tài)方程和初始條件為 式中 ,控制量 u(t)不受約束 。 ? 尋找最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列二次型性能指標泛函為最小 式中 , F和 Q(t)為 非負定矩陣 。 ? R(t)為 正定矩陣 。 ? 末態(tài)時刻 tf是 固定的 。 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , [ , ]ft A t t B t t t t t t? ? ? ?x x u x xdtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxC(t)=I,z(t)=0,則 y(t)=x(t)=e(t) 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (3/3) ? 由于所討論的系統(tǒng)為 線性系統(tǒng) ,給定的性能指標泛函 J 對狀態(tài)變量 x(t)和控制量 u(t)均 連續(xù)可微 ,因此 ,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 可用 變分法 、 極大值原理 和 動態(tài)規(guī)劃方法 中的 任一種求解 。 ? 本節(jié) 采用 變分法 給出最優(yōu)控制解存在的充分必要條件及最優(yōu)控制問題解的表達式 ,討論最優(yōu)控制解的存在性 、 唯一性等性質(zhì)及解的計算方法 。 ? 內(nèi)容為： ? 最優(yōu)控制的充分必要條件 ? 矩陣 P(t)的若干性質(zhì) ? 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 dtttRtttQttFttuJ fttff ? ??? 0 )]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxx最優(yōu)控制的充分必要條件 (1/10)— 定理 714 1. 最優(yōu)控制的 充分必要條件 ? 定理 714(有限時間 LQ調(diào)節(jié)器 ) 對于有限時間 LQ調(diào)節(jié)器問題 ,為其最優(yōu)控制的 充分必要條件 是 ? 最優(yōu)軌線為下述狀態(tài)方程 的解 ,而最優(yōu)性能值為 式中 ,P(t)為下述矩陣 黎卡提 微分方程 的 正定 或 半正定 解 。 * * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux],[,)(),()()()()( 000**** fttttttBttAt ???? xxuxx?**0 0 01[ ( ) ] ( 0 ) , 02J J t P?? ? ? ?u x x xdtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxτ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??最優(yōu)控制的充分必要條件 (2/10) ? 證明 1） 必要性證明 。 已知 u*(t)是最優(yōu)控制 ,需要證明 。 ? 這里可變分的宗量為 x(t),u(t)和 x(tf) 。 ? 首先將有限時間 LQ調(diào)節(jié)器問題 (條件極值問題 )化為無條件極值問題 。 ? 為此 ,引入維向量拉格朗日算子 ,將性能指標函數(shù)表示為 * * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux0τ τ τ11( ) ( ) [ ] [ ] d22ftff tJ t F t Q R A B t???? ? ? ? ? ??????x x x x u u λ x u x最優(yōu)控制的充分必要條件 (3/10) ? 因而該優(yōu)化問題就變?yōu)閷ι鲜鱿鄬τ谇髽O值問題 。 ? 定義哈密頓函數(shù) 則式 (7167)可以進一步表示為 τ τ1( , , ) [ ] [ ]2H Q R A B?? ? ? ?xu λ x x u u λ xu0τ τ τ11( ) ( ) [ ] [ ] d ( 7 1 6 7 )22 ftfftJ t F t Q R A B t???? ? ? ? ? ? ??????x x x x u u λ x u x000ττ1( ) ( ) [ ( , , ) ] d21( ) ( ) ( ) ( ) | [ ( , , ) ] d2ffftff tttf f t tJ t F t H tt F t t t H t???? ? ?? ? ? ???x x x u λ λ xxx λ x x u λ λ x00( ) ( )1( ) ( ) ( )2 ( )[ ( ) ( ) ] ( )fftfff f ftftf f ftt F t HHJ x t t t dttHHt F t t x dt?? ???? ???? ? ? ? ?? ? ???? ????? ? ? ? ?????? ? ???????????? ? ? ? ?????????????xxλ x λ xux x ux λ x λ uxu最優(yōu)控制的充分必要條件 (4/10) ? 根據(jù)極值的必要條件 ?J=0,可以求得 以及極值條件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1( ) ( )2 ( )fffffHt A t t B t tHt Q t t A t tt F tt F tt???? ? ???? ? ? ? ??????x x uλλ x λxxxλ xx0[ ( ) ( ) ] ( ) ftf f f t HHJ t F t t x d t? ???? ? ? ???????? ? ? ? ??????????x λ x λ uxu( ) ( ) ( ) ( ) 0H R t t B t t?? ? ? ?? u λu最優(yōu)控制的充分必要條件 (5/10) ? 由極值條件 (7173)得最優(yōu)控制律為 ? 注意到狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程及其終端條件均為線性 ,因此 ,?(t)和 x(t)之間必定為線性關(guān)系 ,可以表示為 ? 由上述兩式可以得到 u(t)的最優(yōu)解 。 ? 其中矩陣 P(t)滿足規(guī)范方程 ,可由規(guī)范方程解出 。 ? 求解方法如下 。 *1( ) ( ) ( ) ( )t R t B t t????u λ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 7 1 7 3 )H R t t B t t?? ? ? ? ?? u λu*( ) ( ) ( )t P t t?λ x最優(yōu)控制的充分必要條件 (6/10) ? 對方程 (7175)求導數(shù)得 ? 由方程 (7171),又有 ? 比較上述兩式 ,可以求得矩陣 P(t)是矩陣黎卡提微分方程的 對稱正定 或 半正定解 。 ? 因此 ,證明了定理的必要性 。 1