【正文】 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (11/12)— 例 712 ? 例 712 已知 一階 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)分別為。 ?因此 ,在無限時間的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中 ,要求系統(tǒng) 至少是 狀態(tài)能鎮(zhèn)定的 。 τ 1 τ 0P A A P P B R B P Q?? ? ? ?τ 1 τ ( 7 1 7 8 )( ) 0fP P A A P P B R B P QPt?? ? ? ? ? ?? ?? ???定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (7/12)— 定理 716 ? 定理 716(無限時間 狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理 ) 無限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 的最優(yōu)控制存在且唯一 ,并可由下式?jīng)Q定 u*=R1B?Px 式中 ,n n維矩陣 P是 黎卡提矩陣代數(shù)方程 的 唯一 非負定 的解 。 定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (5/12) ? 由黎卡提微分方程解的性質(zhì)可知 ,矩陣 P(t)是如下黎卡提微分方程末值問題的解 。 ? 尋找最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小 式中 ,Q為 非負定 常數(shù)矩陣 。 ? 因此 ,建立 P(t)為 定常矩陣 的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 的條件 就是得到 定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律 的條件 。 ? 這些曲線表明 ,隨 tf的增長 ,函數(shù) p(t)的前面部分趨于同一個穩(wěn)態(tài)值 ,其時變值僅在后面很小的時間段內(nèi)呈現(xiàn) ,而且該穩(wěn)態(tài)值與末端條件無關(guān) 。 ? r很大意即控制 u的價值較重要 ,狀態(tài) x(t)將由于控制量投入得小 ,則衰減得很慢 。 **1 2 0( ) ( ) [ , ]ft t t t t? ? ?xx**1 2 0( ) ( ) [ , ]ft t t t t? ? ?uu最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (5/13)— 例 711 ? 例 711 已知 一階 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)分別為 式中 ,f?0,q?0,r0。 (2) 唯一性證明 。 ? 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論 ,則對任意t?[t0,tf],有 P?(t)=P(t),即 P(t)是 對稱的 。 ? 引入如下等式 *1 τ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )t R t B t P t t???ux000 0 01 1 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d2 2 2 d1[ ] d2fftf f f tttt P t t t P t t P ttP P P t? ? ??????? ? ???x x x x x xx x x x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (8/10) ? 進而 ,利用 (7160)和 (7166),上式可以進一步表示為 考慮到若取控制律為 u=R1B?Px ,對上述方程進行配方得 000 0 0111( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221{ [ ] } d21{ [ ] } d2fff f fttttt P t t t P t tA P P P A B P P B tQ P B R B P B P P B t??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???x x x xx x u x x ux x u x x u00 0 01111( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221{ [ ] [ ] } d2ff f fttt P t t t P t tQ R R B P R R B P t??? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??x x x xx x u u x x x x0τ 1 τ0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 6 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 6 6 )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d2 2 2ftf f f tt A t t B t tP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q tt P t t t P t t P P P t? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??x x ux x x x x x x x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (9/10) ? 考慮到 P(tf)=F,可以導(dǎo)出 這表明 ,當(dāng) u=R1B?Px時 ,性能指標(biāo)將取最小值 即 u*=R1B?Px為最優(yōu)控制 。 ? 為此 ,引入維向量拉格朗日算子 ,將性能指標(biāo)函數(shù)表示為 * * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux0τ τ τ11( ) ( ) [ ] [ ] d22ftff tJ t F t Q R A B t???? ? ? ? ? ??????x x x x u u λ x u x最優(yōu)控制的充分必要條件 (3/10) ? 因而該優(yōu)化問題就變?yōu)閷ι鲜鱿鄬τ谇髽O值問題 。 ? 末態(tài)時刻 tf是 固定的 。 這時 ,線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)? 該問題轉(zhuǎn)化成 :用不大的控制能量 ,使輸出值 y(t)保持在零值附近 ,稱為 輸出調(diào)節(jié)器問題 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (10/12) ? 因此 ,該項 Lu是用來衡量控制功率大小的代價函數(shù) 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (8/12) ? 非負定 的時變矩陣 Q(t)為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對相應(yīng)的誤差向量 e(t)的分量在各時刻的要求不同 、 重要性不同 。 該項函數(shù)值 總是為非負的 。 ? 假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足 0m?r?n,且 u(t)不受約束 。 ? 該類問題的 優(yōu)點 是能得到最優(yōu)控制解 u*(t)的統(tǒng)一解析表達形式 和一個 簡單的且易于工程實現(xiàn)的 最優(yōu)狀態(tài)反饋律。 ? 因此 ,線性二次型問題 對于從事自動控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。 ? 用 z(t)表示預(yù)期的輸出 ,它為 m維向量 ,則定義 輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)y(t) 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( )t A t t B t t tt C t t? ? ??x x u x xyx線性二次型最優(yōu)控制 (5/12) ? 控制的目標(biāo) J是 尋找 最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列 二次型性能指標(biāo)泛函 為最小 式中 , R(t), Q(t)和 F都為 對稱 矩陣 對稱 F為 m m維 非負定 的 常數(shù) 矩陣 。 ? 若矩陣 F的第 i行第 i列元素值較大 ,代表二次項的重要性較大 ,對其精度要求較高 。 ? 時變矩陣 Q(t)的不同選擇 ,對閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大 。 ? 正定的時變矩陣 R(t)亦為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對相應(yīng)的控制向量 u(t)的分量在各時刻的要求不同 、 重要性不同 。 ? ???? fttff tttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxu? ???? fttff tttRtttQttFtJ 0 d)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuyyyyu0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22 ftfftJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (12/12) 3) 若 z(t)≠0,則 e(t)=z(t)y(t)。 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , [ , ]ft A t t B t t t t t t? ? ? ?x x u x xdtttRtttQttFttuJ fttff ? ???0)]()()()()()([21)()(21)]([ τττ uuxxxxC(t)=I,z(t)=0