【正文】 值 2…………………………………………16 分(3,0)?21第 56 課 綜合應(yīng)用（最值、范圍）1． 已知雙曲線 的右焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)相同 則215xym??21yx?,此雙曲線的漸近線方程為 ▲ （蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知 為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)， 為圓 的一條直徑，則A295x?MN2(1)xy???的最大值為 ▲ 15AMN???在平面直角坐標(biāo)系 中，已知橢圓 ： 的離心率 ，直線xOyC21(0)xyaba???12e?過橢圓 的右焦點(diǎn) ，且交橢圓 于 ， 兩點(diǎn)．:10()lxmy???RFCAB（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；C（2）已知點(diǎn) ，連結(jié) ，過點(diǎn) 作垂直于 軸的直線 ，設(shè)直線 與直線 交于點(diǎn) ．試探索5(,)2DBAy1l1lBDP當(dāng) 變化時(shí)，是否存在一條定直線 ，使得點(diǎn) 恒在直線 上？若存在，請(qǐng)求出直線 的方程；若m2lP2l 2l不存在，請(qǐng)說明理由．18．解：（1）由題設(shè)，得 解得 從而 ，1,2ca?????， ,ca???， 223bac??? 28 所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． ………………………4 分C2143xy??（2）令 ，則 ， 或者 ， ．0m?(1)A， ()B?， 3()2A?， (1)B，當(dāng) ， 時(shí)， ；當(dāng) ， 時(shí)， ，3()， 2， 2P， ， ， 3(4)2P?，所以，滿足題意的定直線 只能是 ． ………………………6 分l4x?下面證明點(diǎn) 恒在直線 上．Px設(shè) ， ，由于 垂直于 軸，所以點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ，從而只要證明 在1()Axy， 2()By， PAyP1y1(4)Py，直線 上． ………………………8 分D由 得 ，20143xmy???????， 2(43)690my???，2()0D???， ．① ……………………10 分122643ym???122943y???∵ ，…13 分212212133()055DBP ymykx ?????1212+3ymy??①式代入上式，得 ，所以 ． ……………………15 分0DBPk?=DBPk∴點(diǎn) 恒在直線 上，從而直線 、直線 與直線 三線恒過同一點(diǎn) ，1(4)Py， 1l2:4lx?P所以存在一條定直線 ： 使得點(diǎn) 恒在直線 上． ……………………16 分2l4x?2l（鎮(zhèn)江期末）已知橢圓 的右焦點(diǎn) ，離心率為 ，過 作兩條互相垂直)0(??bay)0,1(F2F的弦 ， ，設(shè) ， 的中點(diǎn)分別為 ， ．ABCDMN（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線 必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；MN（3）若弦 ， 的斜率均存在，求 面積的最大值．F?解：（1）由題意 ， ，則 ， ， ……3 分1c?2aa?1b橢圓的方程為 ． ……4 分2xy?（2） ， 斜率均存在，設(shè)直線 方程為 ，ABCDAB(1)ykx??Ay xBODCMNF 29 ， ， ，1(,)Axy2(,)By1212(,()xxMk??得 ， ……5 分2,0k??????22()40?故 ． ……6 分21224,xk?????22(,)1k??將上式中的 換成 ，則同理可得 ． ……8 分k2(,)kN?如 ，得 ，則直線 斜率不存在，221??1k??M此時(shí)直線 過點(diǎn) ，下證動(dòng)直線 過定點(diǎn) ． ……9 分MN(,0)3(,0)3P（法一）若直線 斜率存在，則 ，22242()31 1MNkkk????????直線 為 ， ……11 分MN2223()1kkyx????令 ，得 ．0?31kx???又當(dāng) ， 斜率有一個(gè)不存在時(shí)，也過點(diǎn) ，ABCD(,0)所以，直線 過定點(diǎn) ． ……12 分MN2(,0)3（法二）動(dòng)直線 最多過一個(gè)定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在 軸上，x設(shè) 與 軸交點(diǎn)為 ，下證動(dòng)直線 過定點(diǎn) ．23x?(,)PMN2(,0)3P當(dāng) 1k??時(shí)， PMk?， ……10 分22311kk????同理將上式中的 換成 ，可得 ， ……11 分k?22()31PNkk???則 PMNk?，直線 過定點(diǎn) ．2(,0)3又當(dāng) ， 斜率有一個(gè)不存在時(shí)，也過點(diǎn) ，ABCD(,0)3所以，直線 過定點(diǎn) ． ……12 分2(,0)3（3）由第（2）問可知直線 過定點(diǎn) ，N(,)P 30 故 S△FMN=S△FPM+S△FPN 2211||||33kk????? ……13 分241|()|()65k?? ．22(|)|5k?令 ，S △FMN ． ……14 分1|[,)|t???21()()5tft????21t??，則 在 單調(diào)遞減， ……15 分239。()0)tft???[,??當(dāng) 時(shí) 取得最大值，此時(shí) S△FMN 取得最大值 ，此時(shí) ． ……16 分t?(ft 191k??【說明】本題原創(chuàng)．考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)；考查函數(shù)最值、定點(diǎn)定值問題題型；考查變量代換法、函數(shù)思想、分類討論思想、一般與特殊思想；考查運(yùn)算能力、演繹論證（分析法證明）能力、直覺思維能力，猜想探究能力．（泰州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，橢圓 的左頂點(diǎn)為 ，與 軸xOy:E21(0)xyab???Ax平行的直線與橢圓 交于 、 兩點(diǎn)，過 、 兩點(diǎn)且分別與直線 、 AC垂直的直線相交于EBCB點(diǎn) ．已知橢圓 的離心率為 ，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為 ． D5345（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明點(diǎn) 在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；（3）求 面積的最大值．BC? xy DCOBA 31 解：（1）由題意得 ， ，53ca?245c??解得 ，所以 ，所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．3,a2bE2194xy??……………4 分（2）設(shè) ，顯然直線 的斜率都存在，設(shè)為00(,)(,)BxyC?,ABCD，則 ， ，1234,k 0120,3ykx??00343,xkky????所以直線 的方程為： ，,BD0000(),()xyy?消去 得 ，化簡(jiǎn)得 ，y000033()()xx?????3?故點(diǎn) 在定直線 上運(yùn)動(dòng)． ……………10 分（3）由（2）得點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ，D202209(3)Dxxyyy??又 ，所以 ，則 ，20224xy??220224x??2022 054()4Dxyyy???所以點(diǎn) 到直線 的距離 為 ， DBCh00059?將 代入 得 ，0y?2194xy??2034yx?所以 面積BCD?209612ABCSh?????，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，故20202277414yy????????2022y?02y?時(shí)， 面積的最大值為 ． ……………16 分0?B?（蘇北三市調(diào)研三）如圖，已知橢圓 ，其離心率為 ，兩條準(zhǔn)線之間的距2:1(0)xyMab???32離為 ． ， 分別為橢圓 的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn) 的直線 ， 分別與橢圓 交83C??,2Tt?TBCM于 ， （1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；M 32 （2）若?TBC 的面積是?TEF 的面積的 倍，求 的最大值 .k（1）由題意 ，解得 ，238,ca?2,3ac?，橢圓方程為 ………………………………………………………………………4 分b?214xy?（2）解法一: ……………………………………………………………………………6 分1TBCSt??直線 方程為： ，聯(lián)立 ，得 yxt??214xyt??????284Etx??所以 到 的距離284,tE???????:TC30y? …………………………………………………………………8 分????22 22 1994ttt tdt????直線 方程為： ，聯(lián)立 ，得 ,TC31yxt?231xyt??????2436Ftx?，2246,3ttF?????????TF2246tt??????????????……………………………………10 分??????222221319193663tt ttt t?? ??????2222226494TEFt ttSd??????? ………………………………………………………………………………12 分??2341BCTEFttk?令 ,則21tm???………………………………………………………………………14 分22(8)69,3km???≤當(dāng)且僅當(dāng) ,即 等號(hào)成立,4t?yBxFEOCT（第 18 題） 33 所以 的最大值為 .……………………………………………………………………………………………6k43分解法二:直線 方程為： ，TB1yxt??聯(lián)立 ，得 ……………………………………………………………………………6 分241xyt??????284Et?直線 方程為： ，聯(lián)立 ，得 …………………………………………8 分TC31yxt?213xyt???????2436Ftx? ………………………………10 分1sin2TBCEFBTCSk EF??????TCTBEFxCx????……………………………………………………………… 12 分??222243681436tttt?????令 ,則1tm?? ……………………………………………………………………14 分22()94,3km?≤當(dāng)且僅當(dāng) ,即 等號(hào)成立4t?所以 的最大值為 . …………………………………………………………………………………16 分（蘇錫常鎮(zhèn)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，四邊形 的頂點(diǎn)都在橢圓xOyABCD 上，對(duì)角線 與 分別過橢圓的左焦點(diǎn) 和右焦點(diǎn) ，且21(0)xyab???AC1(,0)F?2(1,0)F，橢圓的一條準(zhǔn)線方程為ACBD?4x? （1）求橢圓方程； （2）求四邊形 面積的取值范圍 34