概率論課堂講義ppt課件-資料下載頁
2025-01-14 22:53本頁面
【正文】 概率密度和邊緣概率密度，則 X和 Y相互獨(dú)立的充要條件是等式 f(x， y) = fx(x)fY(y) 對(duì) f(x， y)， fx(x)， fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)成立 . 證明： (1) 充分性。若 f(x， y)=fx(x)fY(y) ，則 ( , ) ( , ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x y x y XYF x y f u v d v d u f u f v d v d u所以， X與 Y相互獨(dú)立 ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ???xyX Y X Yf u d u f v d v F x F y(2)必要性。若 X與 Y相互獨(dú)立，則在 f(x， y) ， fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)有 )()()()()()(),(),(22yfxfdyydFdxxdFyxyFxFyxyxFyxfYXYXYX????????????例 2: 設(shè) (X， Y)?N(μ 1， μ 2， σ 12， σ 22， ρ) ，證明 X 與Y相互獨(dú)立的充要條件為 ρ=0 。 證明 : (X， Y)的概率密度為 ]})())((2)([)1(21e x p {121),(2222212121212221????????????????????????xxxxyxf關(guān)于 X和 Y的邊緣密度分別為 ,21)( 21212)(1???????xX exf22222)(221)( ???????yY eyf(1)充分性。如果 ρ=0, 則對(duì)所有 x， y有 f(x， y) = fx(x)fY(y) ，即 X與 Y相互獨(dú)立。 (2)必要性。如果 X與 Y相互獨(dú)立，由于 f(x， y), fx(x), fY(y)都是連續(xù)函數(shù)，故對(duì)所有 x， y有 f(x， y) = fx(x)fY(y) ，特別地，取 x=181。1 ， y=181。2可得 ]2)(2)([212222212121)()( ?????????????yxYX eyfxf因此21221 21121??????? ??從而 ρ=o. 例 3 設(shè) (X,Y)的概率密度為 2221( , ) ( 1 s in ) , ,2xyf x y x y e x y???? ? ? ? ? ? ? ?求關(guān)于 X與關(guān)于 Y的邊緣概率密度 。 若 X與 Y不相互獨(dú)立，由 X、 Y均服從正態(tài)分布， 不能保證 (X,Y)服從二維正態(tài)分布。 222 2 2 222 2 2 21( ) ( , ) ( 1 si n )211si n2 2xyXx y y xf x f x y dy x y e dye e dy x y e dy e?? ???? ?? ??? ???? ??? ? ? ??? ??? ? ???? ? ? ?????????解 ：即 X~N(0,1)，同理可證 Y ~N(0,1) *作業(yè) 習(xí)題 三 8,10,13
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