挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第十版因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題-資料下載頁
2025-01-14 00:24本頁面
【正文】 如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90176。，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒．（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點P在AC上運動，可以體驗到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況． 思路點撥1．過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如圖2，當(dāng)點Q在AB上時，作BD//PQ交AC于點D，那么．所以AD＝5．所以CD＝3．如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，．又因為，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是．圖2 圖3 圖4（2）①如圖2，當(dāng)點Q在AB上時，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．②如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，5＜t≤8，S△ABC＝24．因為S△CQP＝＝＝，所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．（3）如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，CQ＝2CP，∠C＝90176。，所以△PQC不可能成為等腰三角形．當(dāng)點Q在AB上時，我們先用t表示△PQC的三邊長：易知CP＝8－t．如圖2，由QP//BD，得，即．所以．如圖4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝，AH＝．在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）①當(dāng)PC＝PQ時，解方程，得≈（如圖5所示）．②當(dāng)QC＝QP時，．整理，得．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得≈（如圖6所示），或t＝8（舍去）．③當(dāng)CP＝CQ時，．整理，得．解得＝（如圖7所示），或t＝0（舍去）．綜上所述，，△PQC是等腰三角形．圖5 圖6 圖7考點伸展第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數(shù)計算說理的方法：①如圖8，當(dāng)點Q在AB上時，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．②如圖9，當(dāng)點Q在BC上時，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．綜上所述，PQ的最大值為．圖8 圖9
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