【正文】 k的各分量為 kx =（ oz―a y） / 2 sinθ （ ） ky =（ ax―n z） / 2 sinθ （ ） kz =（ ny―o x） / 2 sinθ （ ） 注意 ： 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角 θ較小或接近 180176。 時 ， 上述三個式子的分子和分母都很小 ， 所計算的 k值是不精確的 。 為此可繼續(xù)根據(jù)式 （ ） 和式 （ ） 對應(yīng)元素以及它們的代數(shù)和相等的關(guān)系來求出 k的各個分量 。 擴(kuò)展與縮小 （ Stretching and scaling） 一個變換 T a 0 0 0 0 b 0 0 T = 0 0 c 0 （ ） 0 0 0 1 將沿著 x 軸以 a 因子 ， 沿著 y 軸以 b 因子 ， 沿著 z 軸 c 因子均勻擴(kuò)展著各種物 體 。 假定在一個物體上任意一個點 x i + y j + z k ， 它的變換是 a x a 0 0 0 x b y 0 b 0 0 y c z = 0 0 c 0 z （ ） 1 0 0 0 1 1 這個正好表示出所說的擴(kuò)展 。 這樣 ， 一個正方體可以由這個變換變成長方體 。 變換 s s 0 0 0 0 s 0 0 s = 0 0 s 0 （ ） 0 0 0 1 將以 s為比例因子來擴(kuò)展或縮小任一物體 。 透視變換 （ Perspective transformation） 假設(shè)由一個簡單透鏡把一個物體形成的像 如圖 。 透鏡的軸沿著 y 的方向 ， 焦距 為 f ， 物體上的一個點 x, y, z 成象為 x/, y/, z/。 y/ 表示象距 ， 它隨著物距 y 而變化 。 如果在通 過 y/ 而垂直于 y 的平面 （ 照相機的底片 ） 上畫 出各個點 ， 那么就形成了一個透視像 。 射線穿 過透鏡中心不偏轉(zhuǎn) ， 則 z / y = z/ / y/ （ ） x / y = x/ / y/ （ ） 根據(jù)平行透鏡的軸的射線通過焦點 ， 我們 可以寫出 z / f = z/ / ( y/ + f ) （ ） x / f = x/ / ( y/ + f ) （ ） x/ y/ 和 z/ 是負(fù)數(shù) ， 而 f 是正數(shù) 。 用式 （ ） 和 式 （ ） 消去 y/ ， 得 z / f = z/ ( z/ y / z + f ) （ ） z y x 0 ( x’, y’, z’ ) ( x, y, z ) ? ? f ? 圖 透視變換 求出 x/ = x ( 1―y/f ) （ ） y/ = y ( 1―y/f ) （ ） z/ = z ( 1―y/f ) （ ） 齊次變換 p 能導(dǎo)出同樣結(jié)果 ， 變換 p 是 1 0 0 0 0 1 0 0 p = 0 0 1 0 （ ） 0 1/f 0 1 任何一點 x i + y j + z k 變換為 x 1 0 0 0 x y 0 1 0 0 y z = 0 0 1 0 z （ ） 1―y/f 0 1/f 0 1 1 用比例因子 1― y / f 除得到的象點 x/, y/, z/ 有 [ x /(1―y/f)] i + [ y/(1―y/f)] j + [ z/(1―y/f)] k （ ） 這個結(jié)果與前面利用透視原理的結(jié)果完全相同 。 在 p 變換的第二列最底一元素為 ― 1/f， 則導(dǎo)出一個沿著 y 軸的一透視變換 。 如果 ― 1/f 是第三列最底一項 ， 那就是沿 z 軸的透視變換 。 變換方程 （ Transform equations） 研究一下圖 一個物體與機械手 情 況 ， 機械手用變換 Z 相對于基坐標(biāo)系被定位 。 機械手的端點用變換 ZT6 來描述 ， 而末端執(zhí)行器 用變換 T6E 來描述 。 物體用變換 B 相對于基坐 標(biāo)系被定位 。 最后 ， 機械手末端抓手用變換 BG 相對于物體被定位 。 末端抓手位置的描述有兩種 方式 ， 一種是相對于物體的描述 ， 一種是相對于 機械手的描述 。 由于兩種方式描述的是同一個 點 ， 我們可以把這個描述等同起來 ， 得到 Z ZT6 T6E = B BG （ ） 這個方程可以用有向變換圖來表示 （ 見圖 ） 。 圖的每一段弧表示一個變換 。 從它的定 義的坐標(biāo)系向外指向 。 用 Z1左乘和用 E1右乘方程 （ ） ， 得到 T6 = Z1 B G E1 （ ） 0 E G B Z T6 z y x 圖 一個物體與機械手 ? 圖 有向變換圖 G B E T6 Z ? ? 0 從有向變換圖上我們可以直接得到上述結(jié)果 ， 從 T6弧線的尾部開始 ， 沿著圖形順時針依次列出各個變換 ， 直到 T6弧的箭頭為止 。 在逆變換時 ， 我們從 T6弧的箭頭開始 ， 按逆時針方向依次列出各個變換 ， 直到 T6弧的起始點為止 ， 則可得到 T6的逆 T61 = E G1 B1 Z （ ） 對上式求逆得到與式 （ ） 完全相同的結(jié)果 。 作為進(jìn)一步的例子 ， 假設(shè)一個物體 B 的位置不知道 ， 但機械手移動 ， 使得末端抓手正好定位在物體上面 。 然后用 G1 右乘式 （ ） 求出 B 。 或者在有向變換圖中從 B 的尾部沿著逆時針方向到達(dá)弧 B 的箭頭 ， 直接得到同樣結(jié)果 。 B = Z T6 E G1 （ ） 同樣 ， 我們可以用有向變換圖求出變換的連接組 。 例如 Z T6 = B G E1 （ ） 用有向變換圖簡化了變換方程的求解 ， 可以直接寫出變換結(jié)果 。 為了避免畫圓 ， 我們用圖 ， 其中虛線表示那兩個節(jié)點是被連在一起的 ， 中間各垂線段表示相對坐標(biāo)系 。 B G E T6 Z 圖 有向變換圖的另一種形式 小結(jié) （ Summary） ? 齊次變換可以用來描述空間坐標(biāo)系的位置與方向 。 如果坐標(biāo)系被固定在物體 或機械手連桿上 ， 那么該物體或機械手的位置與方向同樣很容易被描述 。 ? 物體 A相對于物體 B的齊次變換可以求其逆 ， 來獲得物體 B相對于物體 A的描述 。 ? 變換可以表示為旋轉(zhuǎn)變換和 /或平移變換的乘積 。 如果變換是從左到右 ， 那么旋轉(zhuǎn)和 /或平移是相對于當(dāng)前的坐標(biāo)系 。 如果變換是從右到左 ， 那么旋轉(zhuǎn)和 /或平移是相對于參考坐標(biāo)系進(jìn)行 。 ? 齊次變換用正交分量來描述坐標(biāo)系 ， 即用角度的正弦和余弦 。 這種描述可與旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來 。 在一般性旋轉(zhuǎn)的情況下 ， 旋轉(zhuǎn)是繞任意向量旋轉(zhuǎn) θ 角 。