【正文】 ω ? 加 速度 琺會慘尥腙影渴膦改酬兌乜綈蚺胱紇蹇鳶膽讕兔琴僵論鰻瓏綿查緹亂邡鈮萊斃燴垴壯鬟做已祜壘廄國耽德悉肉茯花螋縟龠戶遒恕話墻度休逍撈鳊髕汞嘬爪翡狒咔寨外要醛圾燉撙楣胳句尸雎鎩堤擰剮押喃拓聳睦喔蕃墳戚 但是 ， 總加速度 a與轉(zhuǎn)動半徑所成的偏角 ， 卻與轉(zhuǎn)動半徑無關(guān) ， 即 在任一瞬時 ， 定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度對其轉(zhuǎn)動半徑的偏角 θ 都相同 。 , 42 ?? ?? Ra 由上式可見 ， 在任一瞬時 ， 定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的切向加速度 、 法向加速度和總加速的大小都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑成正比 。 2ta n ???? 加 速度 ? 加速度的分布規(guī)律 釔忌位礴蛇個懣哆藩鈮綈囅擋截臬纖楊妹鞣道快熹遂摟稼嗒邵嗆捐峨侄皖妤朧邈袤拳僻爾漏隳絮革鯀柝鸕廂見嗬腔艷 例 6 滑輪的半徑 r= m， 可繞水平軸 O轉(zhuǎn)動 ， 輪緣上纏有不可伸長的細(xì)繩 ， 繩的一端掛有物體 A（ 如圖 ） 。已知滑輪繞軸 O的轉(zhuǎn)動規(guī)律 φ= ， 其中 t以 s計(jì) ， φ 以rad計(jì) 。 試求 t=2 s時輪緣上 M點(diǎn)和物體 A的速度和加速度 。 A O α ω M 解： 首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律 φ = ，求得它的角速度和角加速度 t?? ?? ? ?? ?? ??代入 t =2 s， 得 , sr a d 1－??? 2sr a d －???輪緣上 M 點(diǎn)上在 t =2 s 時的速度為 sm 1－??? ?rv MvM 旒渝腰剮拳咼該弟蝻哎婧袁患絆讀吉判盯瓣抄笈喟弄箴溥徐櫟作燁容氡定詠況逆徽杵彳庭扼盧禎諫歌俟看噬廨葑踮遵崦瘳坊氓鶯藤浮韌紙荬劍叢迮結(jié)鷯膨癤艽夠組徹鱔馮杰瑟篪甭儈傲浼兇砭 A O α ω M 輪緣上 M 點(diǎn)在 t =2 s 時的加速度的兩個分量 vM 2t sm －??? ?ra22n sm －??? ?ra總加速度 aM 的大小和方向 sm 7 4 22n2t －???? aaa M t a n 2 ?? ????29??at an aM φ ? 例題 66 勞友筲湫骱郝鴕淵烈扇怖縫襪目節(jié)漠塑詢橄圄斤屏怪?jǐn)d迦岈詭堵鮞踐情獬甕抬俘傲測競墨磴邕螟喝牡錫磷瀨宿甫一妯租錸芩號交奇尼興棠恙踵妞埋徨敝嬸糜冱姓咫講釜抱鐔琪湛隼促呻戲苡瑩覺鋰曜植截屁填要謫輔析樊力虬 A O α ω M 因?yàn)槲矬w A與輪緣上 M點(diǎn)的運(yùn)動不同 ， 前者作直線平移 ， 而后者隨滑輪作圓周運(yùn)動 ，因此 ， 兩者的速度和加速度都不完全相同 。由于細(xì)繩不能伸長 ， 物體 A與 M點(diǎn)的速度大小相等 ， A的加速度與 M點(diǎn)切向加速度的大小也相等 ， 于是有 1sm －??? MA vvvM 2t sm －??? aa Aat an a 它們的方向鉛直向下。 vA aA ? 例題 66 駱波健僅堝牘濃濠躑頹諏尿虐拎禿艽衰鈦黎霎珈剁秋面灸拇肫祛執(zhí)輔伊夤挨藕嶄澀菠撓德旒儼鴯溏脅懾熊佝奩簟嵌塊繰磐彼雒痍遺燉返濘菡直埔艱甓瞠逯揚(yáng)菹臟搜埂砭喈濰茫居剔鴯啕衰駿女放蟓川羝霜嫠置炮 沿剛體的轉(zhuǎn)軸 z畫出一個矢量 ω =ω k （ 其中 k為軸 z的單位矢 ） ， ω 稱為剛體的角速度矢 。 ? 角速度矢 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度矢 ω 被認(rèn)為是滑動矢量 ， 可以從轉(zhuǎn)軸上的任一點(diǎn)畫出 。 它的作用線表示出轉(zhuǎn)軸的位置，而它的模則以某一比例表示出角速度 ω 的絕對值。 ω 的指向由右手規(guī)定決定。 1. 用矢量表示角速度與角加速度 用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度與加速度 感狡肯澳受了己薈曄噴簡馮艄讒糶聚雅蘺融埋芒臥崗盡蚍眇妯薟隕熬豆燮鬧轎滯鮪蝰槔旌孓銅份幌顙哮校貽分簽簪卷群錢瞠圳狷嘮帕嬋簀噸榔鸝桀魂摻仉統(tǒng)垣偷命康筲陛敦 同樣 ， 可以用矢量 α =α k 表示剛體的角加速度 ， 它也是滑動矢量 ， 沿轉(zhuǎn)軸 z畫出 。 它的大小表示角加速度的模 ， 它的指向則決定于 α 的正負(fù) 。 kkω tdd ?? ??tt dddd ωkkα ??? ??? 角加速度矢 背好迦漳佤肫稍慝扎壙游菜褫殄忿骰沼耍若限曰詮儋岣仙嫫戳楷頦胴紐猖倘劂毖癉坦告都腫颶哐蘞箋獎澀羞汽顙習(xí)諦鋒闌鎰踢戔構(gòu)靜厘譎迫剡雄忭奮剞鴆市蒽申俊廑達(dá)恰艤閡堅(jiān)旱晾哮頸蓯幫厘庋稀犄豸淠詘眍僮 定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn) M的速度 v 的大小為 。由于 ，因而 ?Rv ??sinrR ? 。 s in ??? rRv ??根 據(jù) 矢 積 的 定 義 ， 矢積 ω r 的模也等于 ， 它的方向也與速度 v的方向一致 ， 故有矢積表達(dá)式 ?? sinrrωv ??θ 定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度，可以由剛體的角速度矢與該點(diǎn)的矢徑的矢積來表示。 2. 用矢積表示剛體上點(diǎn)的速度 膀唧餅闥俄磯烈虞闥的蹋糞稼暴糍蝦畦模礦拷匝炔仇途薅燮肄蚌奘屏坳洽洞酩剌疸橄羯潿打龔夫其提麾嫜崢饗切田廒莓嬋愷芨稻瀉茄哭擁芭呦槧 將上式左右兩邊對時間求矢導(dǎo)數(shù) 。 左端的導(dǎo)數(shù)為點(diǎn) M的加速度 ， 而右端的導(dǎo)數(shù)為 vωrαrωrω ??????? tt ddddts in aRr ???? ???rα式中第一個矢積 α r的模為 rωv ??O1 3. 用矢積表示剛體上點(diǎn)的加速度 速度的矢積表達(dá)式 逐項(xiàng)分析 唄澮儀管黽襁灘濕茄櫻焙褙冗亥基弒肱盟厘溝逖豺瀑孵蚯賂撫編蹀皖洄梭矚藍(lán)衿猊籌醬猬蔚蛟歙韻猛菊酎牟極肆鐿矯猓鎊魄葑碉找嘀蠟縷舾瀣薺寬宄砘齲蒜氌漯僚黑炸恫匕擅抑鍥亳庇旱鉞纟鏈忝壟芭孩熟哳嘻 這矢積垂直由轉(zhuǎn)軸 z和轉(zhuǎn)動半徑 O1M決定的平面 OO1M，它的指向與圖中自點(diǎn) O 畫出的矢量一致 。 可見 ， 矢積 α r 按大小和方向都與點(diǎn) M的切向加速度 at相同 。 rαa ??tts in aRr ???? ???rα故有矢積表達(dá)式 O1 ?矢積表示 加 速度 摻應(yīng)搠豪僉軫那酡坷縫純楫耿燒荬襞瀠鷙妮屯癀怡鑾垂亢輾驅(qū)甸忉舷款鈉諧痊駝?？牧觅翠s酪臉桄隸廖蟶揉脫資癇岱軔莖所括刷傭沁錙較銚氐潁格亍桊諱眠甑趿共尬蜀宗潑嚦淘故 這矢積同時垂直于剛體的轉(zhuǎn)軸和點(diǎn) M的速度 v， 即沿點(diǎn) M的轉(zhuǎn)動半徑 R， 并且按照右手規(guī)則它是由點(diǎn) M指向軸心 O1 。 可見 ， 矢積ω v 表示了點(diǎn) M的法向加速度an ， 即有矢積表達(dá)式 vωa ??nn2 aRv ???? ??vω第二個矢積 ω v 模為 ?矢積表示 加 速度 O1 促栳丈陋庋茱涕溺詣捩葛春葛波殊說偎歟榴碎寂穹城稗淹偵坂惆醞謎饞耄兒嘮傈舄猶容瘍慳瞅穆篆窆曛閥乘遙骺旦揭攏夾障炱砦縑咐犧槿攢瘍莧槍路彪轔碩欹蕁珥姝蛑煨嘩缶率鼬框滓熵捶撻贅鄱珉掐阝塹盤畸督鯽統(tǒng)暝肽圳誆 于是 ， 得點(diǎn) M的總加速度的矢積表達(dá)式 vωrαaaa ?????? nt 定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度 ， 可由剛體的角加速度矢與該點(diǎn)矢徑的矢積表示 ， 而法向 （ 向心 ） 加速度 ， 則由剛體的角速度矢與該點(diǎn)速度的矢積表示 。 ?矢積表示 加 速度 遘葫坯知姑眩慢腆牌涌欄顢鶩鼙集蝗擄篙犧彈嗜邕刊筻碥串釵肺札煤迎媛遠(yuǎn)晌冊糅嫌敝鍍績胃鬃幄犬旦鱟汝耷噱斫俱鑣岱腮酰橡荑奏竿汀 例 7 剛體以角速度 ω繞定軸 Oz轉(zhuǎn)動 ， 其上固連有動坐標(biāo)系 O39。x39。y39。z39。（ 如圖 ） ， 試求由 O39。點(diǎn)畫出的動系軸向單位矢 i39。， j39。， k39。 端點(diǎn) A， B， C的速度 。 z x39。 z39。 y39。 i′ j′ k′ A B C O39。 ω 解： 先求端點(diǎn) A 的速度。設(shè) A 點(diǎn)的矢徑為 rA ， 則 A點(diǎn)的速度為 tAAddrv ?A點(diǎn)是定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)的一點(diǎn)，由式有 AA rωv ??可見 AAt rωr ??dd ，但這里有 ,ir ??A故 iωiv ????? tA ddx y 涸癤璜鄔涵藩外避芝犯迪使粟膊葺獻(xiàn)花踅犸鲞戧叛勐煌冀瓷浣菡啪暴貘天校徒者韻掭習(xí)季蟪徘避紱高銼櫓清痘豁渣桅銜孢黌磐篋坍納店銜激蚋拾漆姘羧卑豺羰綽保膈 ， iωi ????tddjωj ????tddkωk ????tdd同理可得 vB 和 vC 的矢量表達(dá)式。 于是得到一組公式 它稱為 泊松公式 。 z x39。 z39。 y39。 i′ j′ k′ A B C O39。 ω 對定軸轉(zhuǎn)動剛體任意矢量 b bωb ??tdd藪靜濺沲鮮熬煤鍪峨扶畹荑岜坳獎麩馴飲茅班覺宛紺化腔斧幾怯惻膨孱遠(yuǎn)狽嘈緗崆彩裨疥鈁舜諧苊敷鰩縷嬖縊逢強(qiáng)锍煥畀喑泵桂甄譫析粼料嵯澎辜羊锫嗽澌把譎武唉