【正文】 BC 相切于點(diǎn) D，交 AB 于點(diǎn) E，交 AC 于點(diǎn) F，點(diǎn) P 是 ⊙ A 上的一點(diǎn)，且 ∠ EPF=45176。，則圖中陰影部分的面積為 4﹣ π ． 【考點(diǎn)】 切線(xiàn)的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算． 【分析】 圖中陰影部分的面積 =S△ ABC﹣ S 扇形 AEF．由圓周角定理推知 ∠ BAC=90176。． 【解答】 解：如圖，連接 AD． ∵⊙ A 與 BC 相切于點(diǎn) D， ∴ AD⊥ BC． ∵∠ EPF=45176。， ∴∠ BAC=2∠ EPF=90176。． ∴ S 陰影 =S△ ABC﹣ S 扇形 AEF= BC?AD﹣ = 4 2﹣ =4﹣ π． 故答案是： 4﹣ π． 三、解答題（一）（共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分） 17．用公式法解方程： 2x2+3x=1． 【考點(diǎn)】 解一元二次方程 公式法． 【分析】 移項(xiàng)后求出 b2﹣ 4ac 的值，再代入公式求出即可． 第 40 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【解答】 解：移項(xiàng)得： 2x2+3x﹣ 1=0， b2﹣ 4ac=32﹣ 4 2 （﹣ 1） =17， x= ， x1= ， x2= ． 18．一個(gè)不透明的盒子中裝有 2 枚黑色的棋子和 1 枚白色的棋子，每枚棋子除了顏色外其余均相同．從盒中隨機(jī)摸出一枚棋子，記下顏色后放回并攪勻，再?gòu)暮凶又须S機(jī)摸出一枚棋子，記下顏色，用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的棋子顏色不同的概率． 【考點(diǎn)】 列表法與樹(shù)狀圖法． 【分析】 首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的棋子顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 解：畫(huà)樹(shù)狀圖得： ∵ 共有 9 種等可能的結(jié)果，兩次摸出的棋子顏色不同的有 4 種情況， ∴ 兩次摸出的棋子顏色不同的概率為： ． 19．如圖，是一個(gè)高速公路的隧道的橫截面，若它的形狀是以 O 為圓心的圓的一部分，路面 AB=12 米，拱高 CD=9 米，求圓的半徑． 【考點(diǎn)】 垂徑定理的應(yīng)用． 【分析】 首先根據(jù)垂徑定理和已知條件求出 AD、 OD 的值，然后根據(jù)勾股定理求出圓的半徑． 第 41 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【解答】 解： ∵ CD⊥ AB 且過(guò)圓心 O， ∴ AD= AB= 12=6 米， 設(shè)半徑為 r 米， ∴ OA=OC=r 米， ∴ OD=CD﹣ OC=（ 9﹣ r）米， ∴ 在 Rt△ AOD 中， OA2=OD2+AD2， ∴ r2=（ 9﹣ r） 2+62， 解得： r= ． 故 ⊙ O 的半徑為 米． 四、解答題（二）（共 3 小題，每小題 7 分，共 21 分） 20．如圖，在邊長(zhǎng)為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn) △ ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)）． （ 1）將 △ ABC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ A′BC′，請(qǐng)畫(huà)出 △ A′BC′． （ 2）求 A 點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)度． 【考點(diǎn)】 作圖 旋轉(zhuǎn)變換；軌跡． 【分析】 （ 1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案； （ 2）直接利用弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用進(jìn)而得出答案． 【解答】 解：（ 1）如圖所示： △ A′BC′即為所求； 第 42 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 2） A 點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)度為： = π． 21． 2022 年某市曾爆發(fā)登革熱疫情，登革熱是一種傳染性病毒，在病毒傳播中，若 1 個(gè)人患病，則經(jīng)過(guò)兩輪傳染就共有 144 人患病． （ 1）毎輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ （ 2）若病毒得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，三輪傳染后，患病的人數(shù)共有多少人？ 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 x 人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144 人患病，可求出 x； （ 2）根據(jù)（ 1）中求出的 x，進(jìn)而求出第三輪過(guò)后，又被感染的人數(shù)． 【解答】 解：（ 1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 x 人， 由題意，得 1+x+x（ x+1） =144， 解得 x=11 或 x=﹣ 13（舍去）． 答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 11 個(gè)人； （ 2） 144+144 11=1728（人）． 答：三輪傳染后，患病的人數(shù)共有 1728 人． 22．如圖所示，在等腰 Rt△ ABC 中， ∠ CAB=90176。， P 是 △ ABC 內(nèi)一點(diǎn)，將 △ PAB繞 A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得 △ DAC． 第 43 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 1）試判斷 △ PAD 的形狀并說(shuō)明理由； （ 2）連接 PC，若 ∠ APB=135176。， PA=1， PB=3，求 PC 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】 （ 1）結(jié)論： △ PAD 是等 腰直角三角形．只要證明 △ BAP≌△ CAD，即可解決問(wèn)題． （ 2））由 △ BAP≌△ CAD，推出 PB=CD=3， ∠ APB=∠ ADC=135176。，由 △ PAD 是等腰直角三角形，推出 ∠ ADP=45176。， ∠ PDC=135176。﹣ ∠ ADP=90176。，由 AP=AD=1，推出PD2=AP2+AD2=2，在 Rt△ PDC 中，根據(jù) PC= 計(jì)算即可． 【解答】 解：（ 1）結(jié)論： △ PAD 是等腰直角三角形． 理由： ∵∠ CAB=∠ PAD=90176。， ∴∠ BAP=∠ CAD， 在 △ BAP 和 △ CAD 中， ， ∴△ BAP≌△ CAD， ∴ PA=AD， ∵∠ PAD=90176。， ∴△ PAD 是等腰直角三角形． （ 2） ∵△ BAP≌△ CAD， ∴ PB=CD=3， ∠ APB=∠ ADC=135176。， ∵△ PAD 是等腰直角三角形， ∴∠ ADP=45176。， ∠ PDC=135176。﹣ ∠ ADP=90176。， ∵ AP=AD=1， 第 44 頁(yè)（共 48 頁(yè)） ∴ PD2=AP2+AD2=2， 在 Rt△ PDC 中， PC= = = 五、解答題（三）（共 3 小題，每小題 9 分，共 27 分） 23．如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， BC 是直徑， ⊙ O 的切線(xiàn) PA 交 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) P，OE∥ AC 交 AB 于點(diǎn) F，交 PA 于點(diǎn) E，連接 BE． （ 1）判斷 BE 與 ⊙ O 的位置關(guān)系并說(shuō)明理由； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 8， BE=6，求 AB 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 切線(xiàn)的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）結(jié)論： BE 是 ⊙ O 的切線(xiàn)．首先證明 ∠ OAP=90176。，再證明 △ EOB≌△EOA，推出 ∠ OBE=∠ OAE 即可解決問(wèn)題． （ 2）由（ 1）可知 AB=2BF，在 Rt△ BEO 中， ∠ OBE=90176。， OB=8， BE=6，可得 OE==10，由 ?BE?OB= ?OE?BF，可得 BF= = ，由此即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1） BE 是 ⊙ O 的切線(xiàn)． 理由：如圖連接 OA． ∵ PA 是切線(xiàn)， ∴ PA⊥ OA， 第 45 頁(yè)（共 48 頁(yè)） ∴∠ OAP=90176。， ∵ BC 是直徑， ∴∠ BAC=90176。， ∵ OE∥ AC， ∴∠ OFB=∠ BAC=90176。， ∴ OE⊥ AB， ∴ BF=FA， ∵ OB=OA， ∴∠ EOB=∠ EOA， 在 △ EOB 和 △ EOA 中， ， ∴△ EOB≌△ EOA， ∴∠ OBE=∠ OAE=90176。， ∴ OB⊥ BE， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線(xiàn)． （ 2）由（ 1）可知 AB=2BF， 在 Rt△ BEO 中， ∵∠ OBE=90176。， OB=8， BE=6， ∴ OE= =10， ∵ ?BE?OB= ?OE?BF， ∴ BF= = ， ∴ AB=2BF= ． 24．某商店只銷(xiāo)售某種商品，其標(biāo)價(jià)為 210 元，現(xiàn)在打 6 折銷(xiāo)售仍然獲利 50%，為擴(kuò)大銷(xiāo)量，商場(chǎng)決定在打 6 折的基礎(chǔ)上再降價(jià)，規(guī)定顧客在已買(mǎi)一件商品之后每再多買(mǎi) 1 件，顧客購(gòu)買(mǎi)的所有商品的單價(jià)再少 2 元，但不能出現(xiàn)虧損的情況，設(shè)顧客購(gòu)買(mǎi)商品件數(shù)為 x（件），公司獲得利潤(rùn)為 W（元） 第 46 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 1）求該商品的進(jìn)價(jià)是多少元？ （ 2）求 W 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量 x 的取值范圍，同時(shí)商店銷(xiāo)售利潤(rùn)最大值？ （ 3）商店發(fā)現(xiàn)在某一范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)顧客購(gòu)買(mǎi)件數(shù) x 越多，商店利潤(rùn) W 反而越少的情況，為避免出現(xiàn)這種情況，應(yīng)規(guī)定最低售價(jià)為多少元？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)某公司銷(xiāo)售某種商品，其標(biāo)價(jià)為 210 元，現(xiàn)在打 6 折銷(xiāo)售仍然獲利 50%，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題； （ 2）根據(jù)題意可以得到 W 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，將 W 與 x 的函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，即可求得最大值； （ 3）由第（ 2）問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)本問(wèn)提供的信息可以解答本題． 【解答】 解：（ 1）設(shè)商品的進(jìn)價(jià)為 x 元，根據(jù)題意可得 210 =（ 1+50%） x， 解得 x=84． 答：該商品的進(jìn)價(jià)是 84 元． （ 2）根據(jù)題意可得， W=x=42x﹣ 2x2=﹣ 2（ x﹣ ） 2+ ， ∵ 210 ﹣ 84﹣ 2x≥ 0，即 x≤ 21， ∴ 當(dāng) x= 時(shí)， W 最大 = ； （ 3） ∵ 當(dāng) x＞ 11 時(shí)， W 隨 x 的增大而減小， ∴ 最低售價(jià)為 84+210 ﹣ 84﹣ 2 11=104 元， 答：應(yīng)規(guī)定最低售價(jià)為 104 元． 25．如圖，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn) C（ 2， 8），交 x 軸于點(diǎn) A （ 6， 0），交 y 軸于點(diǎn)B． （ 1）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn) AB 的解析式； （ 2）點(diǎn) Q （ x， 0）是線(xiàn)段 OA 上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò) Q 點(diǎn)作 x 軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于P 點(diǎn)，交直線(xiàn) BA 于 D 點(diǎn)，求 PD 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式并求出 PD 的最大值； 第 47 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 3） x 軸上是否存在一點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn) Q 作 x 軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于 P 點(diǎn)，交直線(xiàn)BA 于 D 點(diǎn)，使以 PD 為直徑的圓與 y 軸相切？若存在，求出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而得出點(diǎn) B 坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線(xiàn) AB 解析式； （ 2）借助（ 1）的結(jié)論，先建立 PD 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，即可確定出最大值； （ 3）借助（ 2）的結(jié)論，利用圓心到 y 軸的距離等于半徑即可建立方程，解方程即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn) C（ 2， 8）， ∴ 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為 y=a（ x﹣ 2） 2+8， ∵ 點(diǎn) A 在拋物線(xiàn)上， ∴ a（ 6﹣ 2） 2+8=0， ∴ a=﹣ ， ∴ 拋物線(xiàn)的解析式為 y=﹣ （ x﹣ 2） 2+8=﹣ x2+2x+6， ∴ B（ 0， 6）， ∵ A （ 6， 0）， ∴ 直線(xiàn) AB 的解析式為 y=﹣ x+6； （ 2）由（ 1）知，拋物線(xiàn)的解析式為 y=﹣ x2+2x+6，直線(xiàn) AB 的解析式為 y=﹣ x+6； ∵ Q 點(diǎn)作 x 軸， Q （ x， 0）， ∴ P（ x，﹣ x2+2x+6）， D（ x，﹣ x+6）， 第 48 頁(yè)（共 48 頁(yè)） ∴ PD=|﹣ x2+2x+6﹣（﹣ x+6） |=|﹣ x2+3x|， ∵ Q （ x， 0）是線(xiàn)段 OA 上的一動(dòng)點(diǎn)， ∴ 0≤ x≤ 6， ∴ PD=﹣ x2+3x=﹣ （ x2﹣ 6x） =﹣ （ x﹣ 3） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=3 時(shí)， PD 最大，最大值是 ， （ 3）由（ 2）知， P（ x，﹣ x2+2x+6）， D（ x，﹣ x+6）， ∴ 以 PD 為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為 x， 由（ 2）知， PD=|﹣ x2+3x|， ∵ 以 PD 為直徑的圓與 y 軸相切， ∴ |x|= |﹣ x2+3x|， ∴ x=0（舍）或 x=2 或 x=10， ∴ Q（ 2， 0）或（ 10， 0）．