【正文】 BC 相切于點 D，交 AB 于點 E，交 AC 于點 F，點 P 是 ⊙ A 上的一點，且 ∠ EPF=45176。，則圖中陰影部分的面積為 4﹣ π ． 【考點】 切線的性質；扇形面積的計算． 【分析】 圖中陰影部分的面積 =S△ ABC﹣ S 扇形 AEF．由圓周角定理推知 ∠ BAC=90176。． 【解答】 解：如圖，連接 AD． ∵⊙ A 與 BC 相切于點 D， ∴ AD⊥ BC． ∵∠ EPF=45176。， ∴∠ BAC=2∠ EPF=90176。． ∴ S 陰影 =S△ ABC﹣ S 扇形 AEF= BC?AD﹣ = 4 2﹣ =4﹣ π． 故答案是： 4﹣ π． 三、解答題（一）（共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分） 17．用公式法解方程： 2x2+3x=1． 【考點】 解一元二次方程 公式法． 【分析】 移項后求出 b2﹣ 4ac 的值，再代入公式求出即可． 第 40 頁（共 48 頁） 【解答】 解：移項得： 2x2+3x﹣ 1=0， b2﹣ 4ac=32﹣ 4 2 （﹣ 1） =17， x= ， x1= ， x2= ． 18．一個不透明的盒子中裝有 2 枚黑色的棋子和 1 枚白色的棋子，每枚棋子除了顏色外其余均相同．從盒中隨機摸出一枚棋子，記下顏色后放回并攪勻，再從盒子中隨機摸出一枚棋子，記下顏色，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的棋子顏色不同的概率． 【考點】 列表法與樹狀圖法． 【分析】 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的棋子顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 解：畫樹狀圖得： ∵ 共有 9 種等可能的結果，兩次摸出的棋子顏色不同的有 4 種情況， ∴ 兩次摸出的棋子顏色不同的概率為： ． 19．如圖，是一個高速公路的隧道的橫截面，若它的形狀是以 O 為圓心的圓的一部分，路面 AB=12 米，拱高 CD=9 米，求圓的半徑． 【考點】 垂徑定理的應用． 【分析】 首先根據(jù)垂徑定理和已知條件求出 AD、 OD 的值，然后根據(jù)勾股定理求出圓的半徑． 第 41 頁（共 48 頁） 【解答】 解： ∵ CD⊥ AB 且過圓心 O， ∴ AD= AB= 12=6 米， 設半徑為 r 米， ∴ OA=OC=r 米， ∴ OD=CD﹣ OC=（ 9﹣ r）米， ∴ 在 Rt△ AOD 中， OA2=OD2+AD2， ∴ r2=（ 9﹣ r） 2+62， 解得： r= ． 故 ⊙ O 的半徑為 米． 四、解答題（二）（共 3 小題，每小題 7 分，共 21 分） 20．如圖，在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點 △ ABC（頂點是網格線的交點）． （ 1）將 △ ABC 繞點 B 順時針旋轉 90176。得到 △ A′BC′，請畫出 △ A′BC′． （ 2）求 A 點所經過的路線的長度． 【考點】 作圖 旋轉變換；軌跡． 【分析】 （ 1）直接利用旋轉的性質得出對應點位置，進而得出答案； （ 2）直接利用弧長公式的應用進而得出答案． 【解答】 解：（ 1）如圖所示： △ A′BC′即為所求； 第 42 頁（共 48 頁） （ 2） A 點所經過的路線的長度為： = π． 21． 2022 年某市曾爆發(fā)登革熱疫情，登革熱是一種傳染性病毒，在病毒傳播中，若 1 個人患病，則經過兩輪傳染就共有 144 人患?。? （ 1）毎輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ （ 2）若病毒得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，三輪傳染后，患病的人數(shù)共有多少人？ 【考點】 一元二次方程的應用． 【分析】 （ 1）設每輪傳染中平均一個人傳染了 x 人，根據(jù)經過兩輪傳染后共有144 人患病，可求出 x； （ 2）根據(jù)（ 1）中求出的 x，進而求出第三輪過后，又被感染的人數(shù)． 【解答】 解：（ 1）設每輪傳染中平均一個人傳染了 x 人， 由題意，得 1+x+x（ x+1） =144， 解得 x=11 或 x=﹣ 13（舍去）． 答：每輪傳染中平均一個人傳染了 11 個人； （ 2） 144+144 11=1728（人）． 答：三輪傳染后，患病的人數(shù)共有 1728 人． 22．如圖所示，在等腰 Rt△ ABC 中， ∠ CAB=90176。， P 是 △ ABC 內一點，將 △ PAB繞 A 逆時針旋轉 90176。得 △ DAC． 第 43 頁（共 48 頁） （ 1）試判斷 △ PAD 的形狀并說明理由； （ 2）連接 PC，若 ∠ APB=135176。， PA=1， PB=3，求 PC 的長． 【考點】 旋轉的性質；等腰直角三角形． 【分析】 （ 1）結論： △ PAD 是等 腰直角三角形．只要證明 △ BAP≌△ CAD，即可解決問題． （ 2））由 △ BAP≌△ CAD，推出 PB=CD=3， ∠ APB=∠ ADC=135176。，由 △ PAD 是等腰直角三角形，推出 ∠ ADP=45176。， ∠ PDC=135176。﹣ ∠ ADP=90176。，由 AP=AD=1，推出PD2=AP2+AD2=2，在 Rt△ PDC 中，根據(jù) PC= 計算即可． 【解答】 解：（ 1）結論： △ PAD 是等腰直角三角形． 理由： ∵∠ CAB=∠ PAD=90176。， ∴∠ BAP=∠ CAD， 在 △ BAP 和 △ CAD 中， ， ∴△ BAP≌△ CAD， ∴ PA=AD， ∵∠ PAD=90176。， ∴△ PAD 是等腰直角三角形． （ 2） ∵△ BAP≌△ CAD， ∴ PB=CD=3， ∠ APB=∠ ADC=135176。， ∵△ PAD 是等腰直角三角形， ∴∠ ADP=45176。， ∠ PDC=135176。﹣ ∠ ADP=90176。， ∵ AP=AD=1， 第 44 頁（共 48 頁） ∴ PD2=AP2+AD2=2， 在 Rt△ PDC 中， PC= = = 五、解答題（三）（共 3 小題，每小題 9 分，共 27 分） 23．如圖， △ ABC 內接于 ⊙ O， BC 是直徑， ⊙ O 的切線 PA 交 CB 的延長線于點 P，OE∥ AC 交 AB 于點 F，交 PA 于點 E，連接 BE． （ 1）判斷 BE 與 ⊙ O 的位置關系并說明理由； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 8， BE=6，求 AB 的長． 【考點】 切線的性質；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）結論： BE 是 ⊙ O 的切線．首先證明 ∠ OAP=90176。，再證明 △ EOB≌△EOA，推出 ∠ OBE=∠ OAE 即可解決問題． （ 2）由（ 1）可知 AB=2BF，在 Rt△ BEO 中， ∠ OBE=90176。， OB=8， BE=6，可得 OE==10，由 ?BE?OB= ?OE?BF，可得 BF= = ，由此即可解決問題． 【解答】 解：（ 1） BE 是 ⊙ O 的切線． 理由：如圖連接 OA． ∵ PA 是切線， ∴ PA⊥ OA， 第 45 頁（共 48 頁） ∴∠ OAP=90176。， ∵ BC 是直徑， ∴∠ BAC=90176。， ∵ OE∥ AC， ∴∠ OFB=∠ BAC=90176。， ∴ OE⊥ AB， ∴ BF=FA， ∵ OB=OA， ∴∠ EOB=∠ EOA， 在 △ EOB 和 △ EOA 中， ， ∴△ EOB≌△ EOA， ∴∠ OBE=∠ OAE=90176。， ∴ OB⊥ BE， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線． （ 2）由（ 1）可知 AB=2BF， 在 Rt△ BEO 中， ∵∠ OBE=90176。， OB=8， BE=6， ∴ OE= =10， ∵ ?BE?OB= ?OE?BF， ∴ BF= = ， ∴ AB=2BF= ． 24．某商店只銷售某種商品，其標價為 210 元，現(xiàn)在打 6 折銷售仍然獲利 50%，為擴大銷量，商場決定在打 6 折的基礎上再降價，規(guī)定顧客在已買一件商品之后每再多買 1 件，顧客購買的所有商品的單價再少 2 元，但不能出現(xiàn)虧損的情況，設顧客購買商品件數(shù)為 x（件），公司獲得利潤為 W（元） 第 46 頁（共 48 頁） （ 1）求該商品的進價是多少元？ （ 2）求 W 與 x 的函數(shù)關系式，寫出自變量 x 的取值范圍，同時商店銷售利潤最大值？ （ 3）商店發(fā)現(xiàn)在某一范圍內會出現(xiàn)顧客購買件數(shù) x 越多，商店利潤 W 反而越少的情況，為避免出現(xiàn)這種情況，應規(guī)定最低售價為多少元？ 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）根據(jù)某公司銷售某種商品，其標價為 210 元，現(xiàn)在打 6 折銷售仍然獲利 50%，可以列出相應的方程，從而可以解答本題； （ 2）根據(jù)題意可以得到 W 與 x 的函數(shù)關系式，將 W 與 x 的函數(shù)關系式化為頂點式，即可求得最大值； （ 3）由第（ 2）問的函數(shù)關系式，再根據(jù)本問提供的信息可以解答本題． 【解答】 解：（ 1）設商品的進價為 x 元，根據(jù)題意可得 210 =（ 1+50%） x， 解得 x=84． 答：該商品的進價是 84 元． （ 2）根據(jù)題意可得， W=x=42x﹣ 2x2=﹣ 2（ x﹣ ） 2+ ， ∵ 210 ﹣ 84﹣ 2x≥ 0，即 x≤ 21， ∴ 當 x= 時， W 最大 = ； （ 3） ∵ 當 x＞ 11 時， W 隨 x 的增大而減小， ∴ 最低售價為 84+210 ﹣ 84﹣ 2 11=104 元， 答：應規(guī)定最低售價為 104 元． 25．如圖，拋物線頂點坐標為點 C（ 2， 8），交 x 軸于點 A （ 6， 0），交 y 軸于點B． （ 1）求拋物線和直線 AB 的解析式； （ 2）點 Q （ x， 0）是線段 OA 上的一動點，過 Q 點作 x 軸的垂線，交拋物線于P 點，交直線 BA 于 D 點，求 PD 與 x 之間的函數(shù)關系式并求出 PD 的最大值； 第 47 頁（共 48 頁） （ 3） x 軸上是否存在一點 Q，過點 Q 作 x 軸的垂線，交拋物線于 P 點，交直線BA 于 D 點，使以 PD 為直徑的圓與 y 軸相切？若存在，求出 Q 點的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進而得出點 B 坐標，再用待定系數(shù)法求出直線 AB 解析式； （ 2）借助（ 1）的結論，先建立 PD 與 x 的函數(shù)關系式，即可確定出最大值； （ 3）借助（ 2）的結論，利用圓心到 y 軸的距離等于半徑即可建立方程，解方程即可得出結論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線頂點坐標為點 C（ 2， 8）， ∴ 設拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 2） 2+8， ∵ 點 A 在拋物線上， ∴ a（ 6﹣ 2） 2+8=0， ∴ a=﹣ ， ∴ 拋物線的解析式為 y=﹣ （ x﹣ 2） 2+8=﹣ x2+2x+6， ∴ B（ 0， 6）， ∵ A （ 6， 0）， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x+6； （ 2）由（ 1）知，拋物線的解析式為 y=﹣ x2+2x+6，直線 AB 的解析式為 y=﹣ x+6； ∵ Q 點作 x 軸， Q （ x， 0）， ∴ P（ x，﹣ x2+2x+6）， D（ x，﹣ x+6）， 第 48 頁（共 48 頁） ∴ PD=|﹣ x2+2x+6﹣（﹣ x+6） |=|﹣ x2+3x|， ∵ Q （ x， 0）是線段 OA 上的一動點， ∴ 0≤ x≤ 6， ∴ PD=﹣ x2+3x=﹣ （ x2﹣ 6x） =﹣ （ x﹣ 3） 2+ ， ∴ 當 x=3 時， PD 最大，最大值是 ， （ 3）由（ 2）知， P（ x，﹣ x2+2x+6）， D（ x，﹣ x+6）， ∴ 以 PD 為直徑的圓的圓心的橫坐標為 x， 由（ 2）知， PD=|﹣ x2+3x|， ∵ 以 PD 為直徑的圓與 y 軸相切， ∴ |x|= |﹣ x2+3x|， ∴ x=0（舍）或 x=2 或 x=10， ∴ Q（ 2， 0）或（ 10， 0）．