【正文】 ，交 AC 于點(diǎn) D；作 AB 的中點(diǎn) E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）； （ 2）連接 DE，求證： △ ADE≌△ BDE． 【考點(diǎn)】 作圖 —復(fù)雜作圖；全等三角形的判定． 【分析】 （ 1） ① 以 B 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 AB、 BC 于 F、 N，再以 F、N 為圓心，大于 FN 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn) M，過(guò) B、 M 畫(huà)射線，交 AC 于D，線段 BD 就是 ∠ B 的平分線； ② 分別以 A、 B 為圓心，大于 AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于 X、 Y，過(guò) X、 Y 畫(huà)直第 38 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 線與 AB 交于點(diǎn) E，點(diǎn) E 就是 AB 的中點(diǎn)； （ 2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 ∠ ABD 的度數(shù)，進(jìn)而得到 ∠ ABD=∠ A，根據(jù)等角對(duì)等邊可得 AD=BD，再加上條件 AE=BE， ED=ED，即可利用 SSS 證明 △ ADE≌△ BDE． 【解答】 解：（ 1）作出 ∠ B 的平分線 BD； 作出 AB 的中點(diǎn) E． （ 2）證明： ∵∠ ABD= 60176。=30176。， ∠ A=30176。， ∴∠ ABD=∠ A， ∴ AD=BD， 在 △ ADE 和 △ BDE 中 ∴△ ADE≌△ BDE（ SSS）． 22．某校開(kāi)展校園 “美德少年 ”評(píng)選活動(dòng)，共有 “助人為樂(lè) ”， “自強(qiáng)自立 ”、 “孝老愛(ài)親 ”， “誠(chéng)實(shí)守信 ”四種類(lèi)別，每位同學(xué)只能參評(píng)其中一類(lèi)，評(píng)選后，把最終入選的 20 位校園 “美德少年 ”分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，制作了如下統(tǒng)計(jì)表． 類(lèi)別 頻數(shù) 頻率 助人為樂(lè)美德少年 a 自強(qiáng)自立美德少年 3 b 孝老愛(ài)親美德少年 7 誠(chéng)實(shí)守信美德少年 6 c 根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題： 第 39 頁(yè)（共 46 頁(yè)） （ 1）統(tǒng)計(jì)表中的 a= 4 ， b ， c= ； （ 2）校園小記者決定從 A、 B、 C 三位 “自強(qiáng)自立美德少年 ”中，隨機(jī)采訪兩位，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求 A， B 都被采訪到的概率． 【考點(diǎn)】 列表法與樹(shù)狀圖法；頻數(shù)（率）分布表． 【分析】 （ 1）先利用第 3 組的頻數(shù)和頻率計(jì)算出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后計(jì)算 a、 b、c 的值； （ 2）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出 A， B 都被采訪到的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計(jì)算． 【解答】 解：（ 1） 7247。 =20， a=20 =4， b=3247。 20=， c=6247。 20=； 故答案為 4， ， ； （ 2）畫(huà)樹(shù)狀圖為： 共有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，其中 A， B 都被采訪到的結(jié)果數(shù)為 2， 所以 A， B 都被采訪到的概率 = = ． 23．如圖，在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。， OA=AB=6，將 △ OAB 繞點(diǎn) O 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。得到 △ OA1B1． （ 1）線段 OA1 的長(zhǎng)是 6 ， ∠ AOB1 的度數(shù)是 135176。 ； （ 2）連接 AA1，求證：四邊形 OAA1B1 是平行四邊形； （ 3）求四邊形 OAA1B1 的面積． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的判定． 【分析】 （ 1）圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊長(zhǎng)和角的度數(shù)不變； （ 2）可證明 OA∥ A1B1 且相等，即可證明四邊形 OAA1B1 是平行四邊形； 第 40 頁(yè)（共 46 頁(yè)） （ 3）平行四邊形的面積 =底 高 =OA OA1． 【解答】 （ 1）解：因?yàn)椋?∠ OAB=90176。， OA=AB， 所以， △ OAB 為等腰直角三角形，即 ∠ AOB=45176。， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即 OA1=OA=6， 對(duì)應(yīng)角 ∠ A1OB1=∠ AOB=45176。，旋轉(zhuǎn)角 ∠ AOA1=90176。， 所以， ∠ AOB1 的度數(shù)是 90176。+45176。=135176。． （ 2）證明： ∵∠ AOA1=∠ OA1B1=90176。， ∴ OA∥ A1B1， 又 ∵ OA=AB=A1B1， ∴ 四邊形 OAA1B1 是平行四邊形． （ 3）解： ?OAA1B1 的面積 =6 6=36． 24．在 “感恩節(jié) ”前夕，我市某學(xué)生積極參與 “關(guān)愛(ài)孤寡老人 ”的活動(dòng)，他們購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為 6 元一雙的 “孝心襪 ”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣(mài)，并將所得利潤(rùn)全部捐給鄉(xiāng)村孤寡老人，在試賣(mài)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是每雙 10 元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為 200雙，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲 1 元，每天的銷(xiāo)售量就減少 20 雙． （ 1）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)， “孝心襪 ”每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大； （ 2）結(jié)合上述情況，學(xué)生會(huì)干部提出了 A、 B 兩種營(yíng)銷(xiāo)方案． 方案 A： “孝心襪 ”的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò) 11 元； 方案 B：每天銷(xiāo)售量不少于 20 雙，且每雙 “孝心襪 ”的利潤(rùn)至少為 10 元． 請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)銷(xiāo)售單價(jià) x 元，利潤(rùn)為 w 元．由題意 w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． （ 2）分別求出兩種方案利潤(rùn)的最大值，即可判斷． 【解答】 解：（ 1）設(shè)銷(xiāo)售單價(jià) x 元，利潤(rùn)為 w 元． 由題意 w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 第 41 頁(yè)（共 46 頁(yè)） ∵ ﹣ 20＜ 0， ∴ x=13 時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大， ∴ 銷(xiāo)售單價(jià)為 13 元時(shí)， “孝心襪 ”每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大． （ 2）方案 A： “孝心襪 ”的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò) 11 元； ∵ w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 又 ∵ 6＜ x≤ 11， ∴ x=11 時(shí)， w 的值最大，最大值為 5740 元． 方案 B：每天銷(xiāo)售量不少于 20 雙，且每雙 “孝心襪 ”的利潤(rùn)至少為 10 元． ∵ w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 又 ∵ 16≤ x≤ 19， ∴ x=16 時(shí)， w 的值最大，最大值為 5600 元． ∵ 5740＜ 5600， ∴ 方案 A 的利潤(rùn)最大． 25．如圖，已知 △ ABC 是 ⊙ O 內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn) B 作 BD⊥ AC 于點(diǎn) D，連接 AO并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于點(diǎn) F，交 DB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，且點(diǎn) B 是 的中點(diǎn)． （ 1）求證： DE 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 8，點(diǎn) O、 F 為線段 AE 的三等分點(diǎn)，求線段 BD 的長(zhǎng)度； （ 3）判斷線段 AD、 CD、 AF 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 切線的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）欲證明 DE 是切線，只要證明 OB⊥ DE 即可． （ 2）由 OB∥ AD，推出 = = = ，推出 AD=12，在 Rt△ ADE 中， AD=12，AE=24，推出 DE= = =12 ，由 DB= DE，即可解決問(wèn)題． 第 42 頁(yè)（共 46 頁(yè)） （ 3）如圖 2 中，結(jié)論： AF=AD+CD．連接 BF，作 BH⊥ AE 于 E，只要證明 △ BAD≌△ BAH，推出 AD=AH， BD=BH，再證明 △ BCD≌△ BFH， 39。推出 CD=HF 即可． 【解答】 （ 1）證明：如圖 1 中，連接 OB． ∵ AD⊥ BD， ∴∠ ADB=90176。， ∴∠ DAB+∠ ABD=90176。， ∵ OA=OB， ∴∠ OAB=∠ OBA， ∵ 點(diǎn) B 是 的中點(diǎn)， ∴∠ DAB=∠ BAF=∠ ABO， ∴∠ ABO+∠ ABD=90176。， ∴∠ OBD=90176。， ∴ OB⊥ DE， ∴ DE 是 ⊙ O 的切線． （ 2） ∵ AD⊥ DE， OB⊥ DE， ∴ OB∥ AD， ∴ = = = ， ∴ AD=12， 在 Rt△ ADE 中， ∵ AD=12， AE=24， ∴ DE= = =12 ， ∴ DB= DE=4 ， （ 3）如圖 2 中，結(jié)論： AF=AD+CD． 理由：連接 BF，作 BH⊥ AE 于 E． 在 △ BAD 和 △ BAH 中， ， 第 43 頁(yè)（共 46 頁(yè)） ∴△ BAD≌△ BAH， ∴ AD=AH， BD=BH， ∵∠ BCD+∠ ACB=180176。， ∠ ACB+∠ BFH=180176。， ∴∠ BCD=∠ BFH， 在 △ BCD 和 △ BFH 中， ， ∴△ BCD≌△ BFH， 39。 ∴ CD=HF， ∴ AF=AH+HF=AD+CD． 26．如圖，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C， OB=1， OC=3． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖，點(diǎn) P 為拋物線上的一點(diǎn)，且在直線 AC 上方，當(dāng) △ ACP 的面積是 時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）是否存在拋物線上的點(diǎn) P，使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 第 44 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）把點(diǎn) B、 C 的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù) b、 c 的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作直線 l， l∥ y 軸，交直線 AC 于點(diǎn) D，由點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo)得到直線AC 的方程，由三角形的面積公式和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）由（ 1）中所求解析式可設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m，﹣ m2﹣ 2m+3）．當(dāng) △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論： ① 以點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)；② 以點(diǎn) C 為直角頂點(diǎn)；利用勾股定理分別列出關(guān)于 m 的方程，解方程即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， ∵ OB=1， OC=3， ∴ B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， 將其代入 y=﹣ x2+bx+c，得 ， 解得 ， 故該拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2）如圖 1，過(guò)點(diǎn) P 作直線 l， l∥ y 軸，交直線 AC 于點(diǎn) D， 由（ 1）知，拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ 2x+3=﹣（ x+3）（ x﹣ 1），則 A（ 3， 0）． 由 A（ 3， 0）， C（ 0， 3）易得直線 AC 的解析式為： y=x+3． 設(shè) P（ x，﹣ x2﹣ 2x+3）． 則 D（ x， x+3）． ∴ PD=﹣ x2﹣ 3x． ∵△ ACP 的面積是 ， 第 45 頁(yè)（共 46 頁(yè)） ∴ PD?OA= ，即 （﹣ x2﹣ 3x） 3= ， 解得 x=﹣ ， ∴ P（﹣ ， ）； （ 3）存在． 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m，﹣ m2﹣ 2m+3）． ∵ A（﹣ 3， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC2=32+32=18， AP2=（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2， CP2=m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2． 當(dāng) △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況： ① 如圖 1，如果點(diǎn) C 為直角頂點(diǎn)，那么 AC2+CP2=AP2， 即 18+m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2=（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2， 整理得 m2+m=0， 解得 m1=﹣ 1， m2=0（不合題意舍去）， 則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4）； ② 如圖 2，如果點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)，那么 AC2+AP2=CP2， 即 18+（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2=m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2， 整理得 m2+m﹣ 6=0， 解得 m1=2， m2=﹣ 2（不合題意舍去）， 則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2，﹣ 5）； 綜上所述，所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4）或（ 2，﹣ 5）． 第 46 頁(yè)（共 46 頁(yè)）