【正文】 ，交 AC 于點 D；作 AB 的中點 E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）； （ 2）連接 DE，求證： △ ADE≌△ BDE． 【考點】 作圖 —復(fù)雜作圖；全等三角形的判定． 【分析】 （ 1） ① 以 B 為圓心，任意長為半徑畫弧，交 AB、 BC 于 F、 N，再以 F、N 為圓心，大于 FN 長為半徑畫弧，兩弧交于點 M，過 B、 M 畫射線，交 AC 于D，線段 BD 就是 ∠ B 的平分線； ② 分別以 A、 B 為圓心，大于 AB 長為半徑畫弧，兩弧交于 X、 Y，過 X、 Y 畫直第 38 頁（共 46 頁） 線與 AB 交于點 E，點 E 就是 AB 的中點； （ 2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 ∠ ABD 的度數(shù)，進而得到 ∠ ABD=∠ A，根據(jù)等角對等邊可得 AD=BD，再加上條件 AE=BE， ED=ED，即可利用 SSS 證明 △ ADE≌△ BDE． 【解答】 解：（ 1）作出 ∠ B 的平分線 BD； 作出 AB 的中點 E． （ 2）證明： ∵∠ ABD= 60176。=30176。， ∠ A=30176。， ∴∠ ABD=∠ A， ∴ AD=BD， 在 △ ADE 和 △ BDE 中 ∴△ ADE≌△ BDE（ SSS）． 22．某校開展校園 “美德少年 ”評選活動，共有 “助人為樂 ”， “自強自立 ”、 “孝老愛親 ”， “誠實守信 ”四種類別，每位同學只能參評其中一類，評選后，把最終入選的 20 位校園 “美德少年 ”分類統(tǒng)計，制作了如下統(tǒng)計表． 類別 頻數(shù) 頻率 助人為樂美德少年 a 自強自立美德少年 3 b 孝老愛親美德少年 7 誠實守信美德少年 6 c 根據(jù)以上信息，解答下列問題： 第 39 頁（共 46 頁） （ 1）統(tǒng)計表中的 a= 4 ， b ， c= ； （ 2）校園小記者決定從 A、 B、 C 三位 “自強自立美德少年 ”中，隨機采訪兩位，用畫樹狀圖或列表的方法，求 A， B 都被采訪到的概率． 【考點】 列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表． 【分析】 （ 1）先利用第 3 組的頻數(shù)和頻率計算出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后計算 a、 b、c 的值； （ 2）畫樹狀圖展示所有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出 A， B 都被采訪到的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計算． 【解答】 解：（ 1） 7247。 =20， a=20 =4， b=3247。 20=， c=6247。 20=； 故答案為 4， ， ； （ 2）畫樹狀圖為： 共有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，其中 A， B 都被采訪到的結(jié)果數(shù)為 2， 所以 A， B 都被采訪到的概率 = = ． 23．如圖，在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。， OA=AB=6，將 △ OAB 繞點 O 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ OA1B1． （ 1）線段 OA1 的長是 6 ， ∠ AOB1 的度數(shù)是 135176。 ； （ 2）連接 AA1，求證：四邊形 OAA1B1 是平行四邊形； （ 3）求四邊形 OAA1B1 的面積． 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的判定． 【分析】 （ 1）圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，邊長和角的度數(shù)不變； （ 2）可證明 OA∥ A1B1 且相等，即可證明四邊形 OAA1B1 是平行四邊形； 第 40 頁（共 46 頁） （ 3）平行四邊形的面積 =底 高 =OA OA1． 【解答】 （ 1）解：因為， ∠ OAB=90176。， OA=AB， 所以， △ OAB 為等腰直角三角形，即 ∠ AOB=45176。， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即 OA1=OA=6， 對應(yīng)角 ∠ A1OB1=∠ AOB=45176。，旋轉(zhuǎn)角 ∠ AOA1=90176。， 所以， ∠ AOB1 的度數(shù)是 90176。+45176。=135176。． （ 2）證明： ∵∠ AOA1=∠ OA1B1=90176。， ∴ OA∥ A1B1， 又 ∵ OA=AB=A1B1， ∴ 四邊形 OAA1B1 是平行四邊形． （ 3）解： ?OAA1B1 的面積 =6 6=36． 24．在 “感恩節(jié) ”前夕，我市某學生積極參與 “關(guān)愛孤寡老人 ”的活動，他們購進一批單價為 6 元一雙的 “孝心襪 ”在課余時間進行義賣，并將所得利潤全部捐給鄉(xiāng)村孤寡老人，在試賣階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是每雙 10 元時，每天的銷售量為 200雙，銷售單價每上漲 1 元，每天的銷售量就減少 20 雙． （ 1）求銷售單價為多少元時， “孝心襪 ”每天的銷售利潤最大； （ 2）結(jié)合上述情況，學生會干部提出了 A、 B 兩種營銷方案． 方案 A： “孝心襪 ”的銷售單價高于進價且不超過 11 元； 方案 B：每天銷售量不少于 20 雙，且每雙 “孝心襪 ”的利潤至少為 10 元． 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 【考點】 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)銷售單價 x 元，利潤為 w 元．由題意 w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題． （ 2）分別求出兩種方案利潤的最大值，即可判斷． 【解答】 解：（ 1）設(shè)銷售單價 x 元，利潤為 w 元． 由題意 w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 第 41 頁（共 46 頁） ∵ ﹣ 20＜ 0， ∴ x=13 時，每天的銷售利潤最大， ∴ 銷售單價為 13 元時， “孝心襪 ”每天的銷售利潤最大． （ 2）方案 A： “孝心襪 ”的銷售單價高于進價且不超過 11 元； ∵ w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 又 ∵ 6＜ x≤ 11， ∴ x=11 時， w 的值最大，最大值為 5740 元． 方案 B：每天銷售量不少于 20 雙，且每雙 “孝心襪 ”的利潤至少為 10 元． ∵ w=（ x﹣ 6） [200﹣ 20（ x﹣ 10） ]=﹣ 20（ x﹣ 13） 2+5780． 又 ∵ 16≤ x≤ 19， ∴ x=16 時， w 的值最大，最大值為 5600 元． ∵ 5740＜ 5600， ∴ 方案 A 的利潤最大． 25．如圖，已知 △ ABC 是 ⊙ O 內(nèi)接三角形，過點 B 作 BD⊥ AC 于點 D，連接 AO并延長交 ⊙ O 于點 F，交 DB 的延長線于點 E，且點 B 是 的中點． （ 1）求證： DE 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 8，點 O、 F 為線段 AE 的三等分點，求線段 BD 的長度； （ 3）判斷線段 AD、 CD、 AF 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【考點】 切線的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形的外接圓與外心． 【分析】 （ 1）欲證明 DE 是切線，只要證明 OB⊥ DE 即可． （ 2）由 OB∥ AD，推出 = = = ，推出 AD=12，在 Rt△ ADE 中， AD=12，AE=24，推出 DE= = =12 ，由 DB= DE，即可解決問題． 第 42 頁（共 46 頁） （ 3）如圖 2 中，結(jié)論： AF=AD+CD．連接 BF，作 BH⊥ AE 于 E，只要證明 △ BAD≌△ BAH，推出 AD=AH， BD=BH，再證明 △ BCD≌△ BFH， 39。推出 CD=HF 即可． 【解答】 （ 1）證明：如圖 1 中，連接 OB． ∵ AD⊥ BD， ∴∠ ADB=90176。， ∴∠ DAB+∠ ABD=90176。， ∵ OA=OB， ∴∠ OAB=∠ OBA， ∵ 點 B 是 的中點， ∴∠ DAB=∠ BAF=∠ ABO， ∴∠ ABO+∠ ABD=90176。， ∴∠ OBD=90176。， ∴ OB⊥ DE， ∴ DE 是 ⊙ O 的切線． （ 2） ∵ AD⊥ DE， OB⊥ DE， ∴ OB∥ AD， ∴ = = = ， ∴ AD=12， 在 Rt△ ADE 中， ∵ AD=12， AE=24， ∴ DE= = =12 ， ∴ DB= DE=4 ， （ 3）如圖 2 中，結(jié)論： AF=AD+CD． 理由：連接 BF，作 BH⊥ AE 于 E． 在 △ BAD 和 △ BAH 中， ， 第 43 頁（共 46 頁） ∴△ BAD≌△ BAH， ∴ AD=AH， BD=BH， ∵∠ BCD+∠ ACB=180176。， ∠ ACB+∠ BFH=180176。， ∴∠ BCD=∠ BFH， 在 △ BCD 和 △ BFH 中， ， ∴△ BCD≌△ BFH， 39。 ∴ CD=HF， ∴ AF=AH+HF=AD+CD． 26．如圖，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點（點 A 在點 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點 C， OB=1， OC=3． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖，點 P 為拋物線上的一點，且在直線 AC 上方，當 △ ACP 的面積是 時，求點的坐標； （ 3）是否存在拋物線上的點 P，使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，說明理由． 第 44 頁（共 46 頁） 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）把點 B、 C 的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù) b、 c 的方程組，通過解方程組求得它們的值； （ 2）過點 P 作直線 l， l∥ y 軸，交直線 AC 于點 D，由點 A、 C 的坐標得到直線AC 的方程，由三角形的面積公式和函數(shù)圖象上點的坐標特征來求點 P 的坐標； （ 3）由（ 1）中所求解析式可設(shè)點 P 的坐標為（ m，﹣ m2﹣ 2m+3）．當 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況進行討論： ① 以點 A 為直角頂點；② 以點 C 為直角頂點；利用勾股定理分別列出關(guān)于 m 的方程，解方程即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， ∵ OB=1， OC=3， ∴ B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， 將其代入 y=﹣ x2+bx+c，得 ， 解得 ， 故該拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2）如圖 1，過點 P 作直線 l， l∥ y 軸，交直線 AC 于點 D， 由（ 1）知，拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ 2x+3=﹣（ x+3）（ x﹣ 1），則 A（ 3， 0）． 由 A（ 3， 0）， C（ 0， 3）易得直線 AC 的解析式為： y=x+3． 設(shè) P（ x，﹣ x2﹣ 2x+3）． 則 D（ x， x+3）． ∴ PD=﹣ x2﹣ 3x． ∵△ ACP 的面積是 ， 第 45 頁（共 46 頁） ∴ PD?OA= ，即 （﹣ x2﹣ 3x） 3= ， 解得 x=﹣ ， ∴ P（﹣ ， ）； （ 3）存在． 設(shè)點 P 的坐標為（ m，﹣ m2﹣ 2m+3）． ∵ A（﹣ 3， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC2=32+32=18， AP2=（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2， CP2=m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2． 當 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況： ① 如圖 1，如果點 C 為直角頂點，那么 AC2+CP2=AP2， 即 18+m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2=（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2， 整理得 m2+m=0， 解得 m1=﹣ 1， m2=0（不合題意舍去）， 則點 P 的坐標為（﹣ 1， 4）； ② 如圖 2，如果點 A 為直角頂點，那么 AC2+AP2=CP2， 即 18+（ m+3） 2+（﹣ m2﹣ 2m+3） 2=m2+（﹣ m2﹣ 2m） 2， 整理得 m2+m﹣ 6=0， 解得 m1=2， m2=﹣ 2（不合題意舍去）， 則點 P 的坐標為（ 2，﹣ 5）； 綜上所述，所有符合條件的點 P 的坐標為（﹣ 1， 4）或（ 2，﹣ 5）． 第 46 頁（共 46 頁）