【正文】 +2） 2=26， ∴ b=3，或 b=﹣ 7， ∴ 10+b=13或 10+b=3 ∴ 當(dāng) M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 8）時(shí)， N點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 13）， 當(dāng) M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3， 8）時(shí)， N點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 3）， 【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值． 29．某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖 1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度．如圖 2，某一時(shí)刻，旗桿 AB 的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng) BC為 4米，落在斜坡上的影長(zhǎng) CD為 3米， AB⊥ BC，同一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為 72176。 ， 1米的豎立標(biāo)桿 PQ 在斜坡上的影長(zhǎng) QR為 2米，求旗桿的高度（結(jié)果精確到 ）．（參考數(shù)據(jù)： sin72176。 ≈ ， cos72176。 ≈ ， tan72176。 ≈ ） 第 43 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】如圖作 CM∥ AB 交 AD于 M， MN⊥ AB 于 N，根據(jù) = ，求出 CM，在 RT△ AMN 中利用 tan72176。= ，求出 AN 即可解決問(wèn)題． 【解答】解：如圖作 CM∥ AB交 AD 于 M， MN⊥ AB 于 N． 由題意 = ，即 = ， CM= ， 在 RT△ AMN中， ∵∠ ANM=90176。 ， MN=BC=4， ∠ AMN=72176。 ， ∴ tan72176。= ， ∴ AN≈ ， ∵ MN∥ BC， AB∥ CM， ∴ 四邊形 MNBC是平行四邊形， ∴ BN=CM= ， ∴ AB=AN+BN=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、三角函數(shù)，影長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 第 44 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 30．（ 2022?菏澤）南沙群島是我國(guó)固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚(yú)作業(yè)，當(dāng)漁船航行至 B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向 20（ 1+ ）海里的 C處，為了防止某國(guó)海巡警干擾，就請(qǐng)求我 A 處的漁監(jiān)船前往 C 處護(hù)航，已知 C 位于 A 處的北偏東 45176。 方向上， A位于 B的北偏西 30176。 的方向上，求 A、 C 之間的距離． 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用 方向角問(wèn)題． 【分析】作 AD⊥ BC，垂足為 D，設(shè) CD=x，利用解直角三角形的知識(shí)，可得出 AD，繼而可得出 BD，結(jié)合題意 BC=CD+BD 可得出方程，解出 x的值后即可得出答案． 【解答】解：如圖，作 AD⊥ BC，垂足為 D， 由題意得， ∠ ACD=45176。 ， ∠ ABD=30176。 ． 設(shè) CD=x，在 Rt△ ACD中，可得 AD=x， 在 Rt△ ABD中，可得 BD= x， 又 ∵ BC=20（ 1+ ）， CD+BD=BC， 即 x+ x=20（ 1+ ）， 解得： x=20， ∴ AC= x=20 （海里）． 答： A、 C之間的距離為 20 海里． 第 45 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，難度一般． 31．如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為 1個(gè)單位的正方形． Rt△ ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（﹣ 4， 1），點(diǎn) B的坐標(biāo)為（﹣ 1， 1）． （ 1）將 Rt△ ABC繞點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 后得到 Rt△ A′B′C′ ，試在圖中畫(huà)出圖形 Rt△ Rt△ A′B′C′ ，并寫(xiě)出 C′ 的坐標(biāo)； （ 2）求弧 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】作圖 旋轉(zhuǎn)變換；弧長(zhǎng)的計(jì)算． 【分析】（ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定 義分別作出 A、 B、 C的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A′ 、 B′ 、 C′ 即可，點(diǎn) C′ 的坐標(biāo)由圖象即可知道． （ 2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式代入計(jì)算即可． 【解答】解：（ 1）如圖所示， C′ （ 3， 1）． （ 2）弧 的長(zhǎng) = = π ． 第 46 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的變換、弧長(zhǎng)的計(jì)算，理解旋轉(zhuǎn)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，記住弧長(zhǎng)公式 L= ，本題屬于中考?？碱}型． 32．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 ， ∠ BAC的角平分線 AD 交 BC邊于 D．以 AB 上某一點(diǎn) O為圓心作 ⊙ O，使 ⊙ O經(jīng)過(guò)點(diǎn) A和點(diǎn) D． （ 1）判斷直線 BC與 ⊙ O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （ 2）若 AC=3， ∠ B=30176。 ． ① 求 ⊙ O的半徑； ② 設(shè) ⊙ O 與 AB 邊的另一個(gè)交點(diǎn)為 E，求線段 BD、 BE 與劣弧 DE 所圍成的陰影部分的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和 π ） 【考點(diǎn)】切線的判定；扇形面積的計(jì)算． 【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）連接 OD，根據(jù)平行線判定推出 OD∥ AC，推出 OD⊥ BC，根據(jù)切線的判定推出即可； （ 2） ① 根據(jù)含有 30176。 角的直角三角形的性質(zhì)得出 OB=2OD=2r， AB=2AC=3r，從而求得半徑 r的值； ② 根據(jù) S 陰影 =S△ BOD﹣ S 扇形 DOE求得即可． 【解答】解：（ 1）直線 BC 與 ⊙ O相切； 連結(jié) OD， ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ODA， 第 47 頁(yè)（共 92 頁(yè)） ∵∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D， ∴∠ CAD=∠ OAD， ∴∠ CAD=∠ ODA， ∴ OD∥ AC， ∴∠ ODB=∠ C=90176。 ， 即 OD⊥ BC． 又 ∵ 直線 BC 過(guò)半徑 OD 的外端， ∴ 直線 BC與 ⊙ O相切． （ 2）設(shè) OA=OD=r，在 Rt△ BDO中， ∠ B=30176。 ， ∴ OB=2r， 在 Rt△ ACB中， ∠ B=30176。 ， ∴ AB=2AC=6， ∴ 3r=6，解得 r=2． （ 3）在 Rt△ ACB中， ∠ B=30176。 ， ∴∠ BOD=60176。 ． ∴ ． ∵∠ B=30176。 ， OD⊥ BC， ∴ OB=2OD， ∴ AB=3OD， ∵ AB=2AC=6， ∴ OD=2， BD=2 S△ BOD= OD?BD=2 ， ∴ 所求圖形面積為 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，含有 30176。 角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)第 48 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 33．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的頂點(diǎn) O 與坐標(biāo)原點(diǎn)重合， A， C 分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 4， 2），直線 y=﹣ x+3交 AB， BC于點(diǎn) M， N，反比例函數(shù) y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) M， N． （ 1）求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若點(diǎn) P在 x軸上，且 △ OPM的面積與四邊形 BMON的面積相等，求點(diǎn) P的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 【分析】（ 1）求出 OA=BC=2，將 y=2代入 y=﹣ x+3求出 x=2，得出 M的坐標(biāo)，把 M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案； （ 2）求出四邊形 BMON 的面積，求出 OP的值，即可求出 P的坐標(biāo)． 【解答】解：（ 1） ∵ B（ 4， 2），四邊形 OABC是矩形， ∴ OA=BC=2， 將 y=2代入 y=﹣ x+3 得： x=2， ∴ M（ 2， 2）， 把 M的坐標(biāo)代入 y= 得： k=4， ∴ 反比例函數(shù)的解析式是 y= ； （ 2）把 x=4代入 y= 得： y=1，即 CN=1， ∵ S 四邊形 BMON=S 矩形 OABC﹣ S△ AOM﹣ S△ CON =4 2﹣ 2 2﹣ 4 1=4， 由題意得： |OP| AO=4， ∵ AO=2， ∴ |OP|=4， 第 49 頁(yè)（共 92 頁(yè)） ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)是（ 4， 0）或（﹣ 4， 0）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，難度適中 34．如圖，已知一條直線過(guò)點(diǎn)（ 0， 4），且與拋物線 y= x2交于 A， B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)是﹣ 2． （ 1）求這條直線的解析式及點(diǎn) B的坐標(biāo)； （ 2）在 x軸上是否存在點(diǎn) C，使得 △ ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）首先求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）如圖 1，過(guò)點(diǎn) B作 BG∥ x軸，過(guò)點(diǎn) A作 AG∥ y 軸，交點(diǎn)為 G，然后分若 ∠ BAC=90176。 ，則第 50 頁(yè)（共 92 頁(yè)） AB2+AC2=BC2；若 ∠ ACB=90176。 ，則 AB2=AC2+BC2；若 ∠ ABC=90176。 ，則 AB2+BC2=AC2三種情況求得 m的值，從而確定點(diǎn) C的坐標(biāo)； 【解答】解：（ 1） ∵ 點(diǎn) A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為﹣ 2， ∴ y= （﹣ 2） 2=1， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ 2， 1）， 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b， 將（ 0， 4），（﹣ 2， 1）代入得 ， 解得 ， ∴ 直線 y= x+4， 由 ，解得 或 ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 8， 16）； （ 2）如圖，連接 AC， BC， ∵ 由 A（﹣ 2， 1）， B（ 8， 16）可求得 AB2=325． 設(shè)點(diǎn) C（ m， 0），同理可得 AC2=（ m+2） 2+12=m2+4m+5， BC2=（ m﹣ 8） 2+162=m2﹣ 16m+320， ① 若 ∠ BAC=90176。 ，則 AB2+AC2=BC2，即 325+m2+4m+5=m2﹣ 16m+320， 解得： m=﹣ ； ② 若 ∠ ACB=90176。 ，則 AB2=AC2+BC2，即 325=m2+4m+5+m2﹣ 16m+320， 解得： m=0或 m=6； ③ 若 ∠ ABC=90176。 ，則 AB2+BC2=AC2，即 m2+4m+5=m2﹣ 16m+320+325， 解得： m=32； ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為（﹣ ， 0），（ 0， 0），（ 6， 0），（ 32， 0）． 第 51 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型．一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB 與 x軸交于點(diǎn) B，與 y軸交于點(diǎn) A，與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于點(diǎn) C， CE⊥ x軸，垂足為點(diǎn) E， tan∠ ABO= ， OB=4， OE=2． （ 1）求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若點(diǎn) D 是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 作 DF⊥ y 軸，垂足為點(diǎn) F，連接OD、 BF．如果 S△ BAF=4S△ DFO，求點(diǎn) D的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；反比例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】（ 1）由邊的關(guān)系可得出 BE=6，通過(guò)解直角三角形可得出 CE=3，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出點(diǎn) C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn) C的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出反比例函數(shù)系數(shù) m，由此即可得出結(jié)論； （ 2）由點(diǎn) D在反比例函數(shù)在第四象限的圖象上，設(shè)出點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ n，﹣ ）（ n＞ 0）．通過(guò)解直角三角形求出線段 OA的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式利用含 n的代數(shù)式表示出 S△BAF，根據(jù)點(diǎn) D在反比例函數(shù)圖形上利用反比 例函數(shù)系數(shù) k的幾何意義即可得出 S△ DFO的值，結(jié)合題意給出的兩三角形的面積間的關(guān)系即可得出關(guān)于 n 的分式方程，解方程，即可得出 n第 52 頁(yè)（共 92 頁(yè)） 值，從而得出點(diǎn) D的坐標(biāo)． 【解答】解：（ 1） ∵ OB=4， OE=2， ∴ BE=OB+OE=6． ∵ CE⊥ x軸， ∴∠ CEB=90176。 ． 在 Rt△ BEC中， ∠ CEB=90176。 ， BE=6， tan∠ ABO= ， ∴ CE=BE?tan∠ ABO=6 =3， 結(jié)合函數(shù)圖象可知點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 3）． ∵ 點(diǎn) C在反比例函數(shù) y= 的圖象上， ∴ m=﹣ 2 3=﹣ 6， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=﹣ ． （ 2） ∵ 點(diǎn) D在反比例函數(shù) y=﹣ 第四象限的圖象上， ∴ 設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ n，﹣ ）（ n＞ 0）． 在 Rt△ AOB中， ∠ AOB=90176。 ， OB=4， tan∠ ABO= ， ∴ OA=OB?tan∠ ABO=4 =2． ∵ S△ BAF= AF?OB= （ OA+OF） ?OB= （ 2+ ） 4=4+ ． ∵ 點(diǎn) D在反比例函數(shù) y=﹣ 第四象限的圖象上， ∴ S△ DFO= |﹣ 6|=3．