【正文】 ∵∠ BPD=∠ DPC+∠ BPC， 又 ∵∠ BPD=∠ A+∠ APD， ∴∠ DPC+∠ BPC=∠ A+∠ APD， ∵∠ DPC=∠ A=θ， ∴∠ BPC=∠ APD， 又 ∵∠ A=∠ B=θ， ∴△ ADP∽△ BPC， ∴ ， ∴ AD?BC=AP?BP； （ 3）解：如下圖，過點 D 作 DE⊥ AB 于點 E， ∵ AD=BD=10， AB=12， ∴ AE=BE=6 ∴ DE= =8， ∵ 以 D 為圓心，以 DC 為半徑的圓與 AB 相切， ∴ DC=DE=8， ∴ BC=10﹣ 8=2， ∵ AD=BD， ∴∠ A=∠ B， 又 ∵∠ DPC=∠ A， ∴∠ DPC=∠ A=∠ B， 由（ 1）（ 2）的經驗得 AD?BC=AP?BP， 又 ∵ AP=t， BP=12﹣ t， ∴ t（ 12﹣ t） =102， ∴ t=2 或 t=10， ∴ t 的值為 2 秒或 10 秒． 【點評】本題是對 K 型相似模型的探究和應用，考查了相似三角形的判定與性質、切線的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質、解一元二次方程等知識，以及運用已有經驗解決問題的能力，滲透了特殊到一般的思想 ． 29．如圖 1 所示，已知拋物線 y=﹣ x2+4x+5 的頂點為 D，與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于 C 點，E 為對稱軸上的一點，連接 CE，將線段 CE 繞點 E 按逆時針方向旋轉 90176。后，點 C 的對應點 C′恰好落在 y 軸上． （ 1）直接寫出 D 點和 E 點的坐標； （ 2）點 F 為直線 C′E 與已知拋物線的一個交點，點 H 是拋物線上 C 與 F 之間的一個動點，若過點H 作直線 HG 與 y 軸平行，且與直線 C′E 交于點 G，設點 H 的橫坐標為 m（ 0＜ m＜ 4），那么當 m 為何值時， S△ HGF： S△ BGF=5： 6？ （ 3）圖 2 所示的拋物線是由 y=﹣ x2+4x+5 向右平移 1 個單位后得到的，點 T（ 5， y）在拋物線上，點 P 是拋物線上 O 與 T 之間的任意一點，在線段 OT 上是否存在一點 Q，使 △ PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）首先根據拋物線 y=﹣ x2+4x+5 的頂點為 D，求出點 D 的坐標是多少即可；然后設點 E的坐標是（ 2， m），點 C′的坐標是（ 0， n），根據 △ CEC′是等腰直角三角形，求出 E 點的坐標是多少即可． （ 2）令拋物線 y=﹣ x2+4x+5的 y=0得： x2﹣ 4x﹣ 5=0可求 得 A、 B的坐標，然后再根據 S△ HGF： S△ BGF=5：6，得到： ，然后再證明 △ HGM∽△ ABN， ，從而可證得 ，所以 HG=5，設點 H（ m，﹣ m2+4m+5）， G（ m， m+1），最后根據 HG=5，列出關于 m 的方程求解即可； （ 3）分別根據 ∠ P、 ∠ Q、 ∠ T 為直角畫出圖形，然后利用等腰直角三角形的性質和一次函數的圖象的性質求得點 Q 的坐標即可． 【解答】方法一： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=﹣ x2+4x+5=﹣（ x﹣ 2） 2+9 ∴ D 點的坐標是（ 2， 9）； ∵ E 為對稱軸上的一點， ∴ 點 E 的橫坐標是：﹣ =2， 設點 E 的 坐標是（ 2， m），點 C′的坐標是（ 0， n）， ∵ 將線段 CE 繞點 E 按逆時針方向旋轉 90176。后，點 C 的對應點 C′恰好落在 y 軸上， ∴△ CEC′是等腰直角三角形， ∴ 解得 或 （舍去）， ∴ 點 E 的坐標是（ 2， 3），點 C′的坐標是（ 0， 1）． 綜上，可得 D 點的坐標是（ 2， 9），點 E 的坐標是（ 2， 3）． （ 2）如圖 1 所示： 令拋物線 y=﹣ x2+4x+5 的 y=0 得： x2﹣ 4x﹣ 5=0， 解得： x1=﹣ 1， x2=5， 所以點 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）． 設直線 C′E 的解析式是 y=kx+b，將 E（ 2， 3）， C′（ 0， 1），代入得 ， 解得： ， ∴ 直線 C′E 的解析式為 y=x+1， 將 y=x+1 與 y=﹣ x2+4x+5，聯(lián)立得： ， 解得： ， ， ∴ 點 F 得坐標為（ 4， 5），點 A（﹣ 1， 0）在直線 C′E 上． ∵ 直線 C′E 的解析式為 y=x+1， ∴∠ FAB=45176。． 過點 B、 H 分別作 BN⊥ AF、 HM⊥ AF，垂足分別為 N、 M． ∴∠ HMN=90176。， ∠ ADN=90176。． 又 ∵∠ NAD=∠ HNM=45176。． ∴△ HGM∽△ ABN ∴ ， ∵ S△ HGF： S△ BGF=5： 6， ∴ ． ∴ ，即 ， ∴ HG=5． 設點 H 的橫坐標為 m，則點 H 的縱坐標為﹣ m2+4m+5，則點 G 的坐標為（ m， m+1）， ∴ ﹣ m2+4m+5﹣（ m+1） =5． 解得： m1= ， m2= ． （ 3）由平移的規(guī)律可知：平移后拋物線的解析式為 y=﹣（ x﹣ 1） 2+4（ x﹣ 1） +5=﹣ x2+6x． 將 x=5 代入 y=﹣ x2+6x 得： y=5， ∴ 點 T 的坐標為（ 5， 5）． 設直線 OT 的解析式為 y=kx，將 x=5， y=5 代入得； k=1， ∴ 直線 OT 的解析式為 y=x， ①如圖 2 所示：當 PT∥ x 軸時， △ PTQ 為等腰直角三角形， 將 y=5 代入拋物線 y=﹣ x2+6x 得： x2﹣ 6x+5=0， 解得： x1=1， x2=5． ∴ 點 P 的坐標為（ 1， 5）． 將 x=1 代入 y=x 得： y=1， ∴ 點 Q 的坐標為（ 1， 1）． ②如圖 3 所示： 由 ①可知：點 P 的坐標為（ 1， 5）． ∵△ PTQ 為等腰直角三角形， ∴ 點 Q 的橫坐標為 3， 將 x=3 代入 y=x 得； y=3， ∴ 點 Q 得坐標為（ 3， 3）． ③如圖 4 所示： 設直線 PT 解析式為 y=kx+b， ∵ 直線 PT⊥ QT， ∴ k=﹣ 1． 將 k=﹣ 1， x=5， y=5 代入 y=kx+b 得： b=10， ∴ 直線 PT 的解析式為 y=﹣ x+10． 將 y=﹣ x+10 與 y=﹣ x2+6x 聯(lián)立得： x1=2， x2=5 ∴ 點 P 的橫坐標為 2． 將 x=2 代入 y=x 得， y=2， ∴ 點 Q 的坐標為（ 2， 2）． 綜上所述：點 Q 的坐標為（ 1， 1）或（ 3， 3）或（ 2， 2）． 方法二： （ 1） ∵ y=﹣ x2+4x+5， ∴ 頂點 D（ 2， 9）， C（ 0， 5），設 E（ 2， a）， ∴ 點 C′可視為點 C 繞點 E 逆時針旋轉 90176。而成， 將 E 點平移至原點， E1（ 0， 0），則 C1（﹣ 2， 5﹣ a）， 將 C1點繞原點逆時針旋轉 90176。，則 C2（ a﹣ 5，﹣ 2）， 將 E1點平移至 E 點，則 C2 平移后即為 C′（ a﹣ 3， a﹣ 2）， ∵ C′在 y 軸上， ∴ 設 C′X=0， ∴ a﹣ 3=0， ∴ a=3， ∴ C′Y=1， ∴ E（ 2， 3）， C′（ 0， 1）． （ 2）作 BM⊥ x 軸，交直線 C′E 于點 M， ∴ A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， ∵ E（ 2， 3）， C′（ 0， 1）， ∴ lC′E： y=x+1， ∴ M（ 5， 6）， ∵ HX=m， ∴ H（ m，﹣ m2+4m+5）， G（ m， m+1）， S△ HGF= （ FX﹣ GX）（ HY﹣ GY）， S△ BGF= （ FX﹣ GX）（ MY﹣ BY）， ∴ ， ∴ ， ∴ m2﹣ 3m+1=0， ∴ m1= ， m2= ． （ 3） ∵ 拋物線右移 1 單位， ∴ y=﹣ x2+6x， ∵ T（ 5， y）， ∴ T（ 5， 5）， ∵ O（ 0， 0）， ∴ lOT： y=x， 設 Q（ n， n）（ 0＜ n＜ 5）， ①若 P 為直角頂點時， PX=QX， PY=QY， ∴ P（ n， 5）， ∴ ﹣ n2+6n=5， ∴ n1=1， n2=5（舍）， ∴ Q（ 1， 1）， ②若 Q 為直角頂點時，點 P 可視為點 T 繞點 Q 逆時針旋轉 90176。而成， 將 Q 點平移至原點， Q′（ 0， 0），則 T′（ 5﹣ n， 5﹣ n）， 將 T′點繞原點逆時針旋轉 90176。，則 P′（ n﹣ 5， n﹣ 5）， 將 Q′點平移至 Q 點，則 P′平移后即為 P（ 2n﹣ 5， 5）， ∴ ﹣（ 2n﹣ 5） 2+6（ 2n﹣ 5） =5， ∴ n1=3， n2=5（舍）， ∴ Q（ 3， 3）， ③若 T 為直角頂點時，點 P 可視為點 Q 繞點 T 逆時針旋轉 90176。而成， 同理可得： Q（ 2， 2）， ∴ 綜上所述：點 Q 的坐標為（ 1， 1）或（ 3， 3）或（ 2， 2）． 【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，明確 △ HGF 和 △ BGF 的面積比等于 HG 和 AB 的邊長比是解題的關鍵，同時解答本題主要應用了分類討論的思想需要同學們分別根據 ∠ P、 ∠ Q、 ∠ T為直角進行分類計算．