[高二數(shù)學]20xx年高考數(shù)學總復習提能拔高限時訓練：單元檢測—圓錐曲線方程練習詳細答案大綱人教版-資料下載頁
2025-01-09 15:41本頁面
【正文】 方程為 x2=2py(p0),M 為直線 y=2p 上任意一點 ,過 M引拋物線的切線 ,切點分別為 A、 B. (1)求證 :A、 M、 B三點的橫坐標成等差數(shù)列 。 (2)已知當 M點的坐標為 (2,2p)時 ,|AB|= 104 ,求此時拋物線的方程 。 (3)是否存在點 M,使得點 C 關(guān)于直線 AB 的對稱點 D 在拋物線 x2=2py(p0)上 ,其中 ,點 C 滿足OBOAOC ?? (O 為坐標原點 )?若存在 ,求出所有適合題意的點 M 的坐標 。若不存在 ,請說明理由 . (1)證明 :由題意 ,設(shè) A(x1,px221 ),B(x2,px222 ),x1x2,M(x0,2p). 由 x2=2py,得pxy 22?,則 y′=px, 所 以 kMA=pxkpx MB 21 , ?. 因此直線 MA 的方程為 y+2p=px1(xx0), 直線 MB 的方程為 y+2p=px2(xx0). 所以 )(22 01121 xxpxppx ???,① 用心 愛心 專心 )(22 02222 xxpxppx ??? .② 由 ① ②, 得02121 2 xxxxx ????, 因此 2 210 xxx ??,即 2x0=x1+x2. 所以 A、 M、 B三點的橫坐標成等差數(shù)列 . (2)解 :由 (1)知 ,當 x0=2時 , 將其代入 ①② 并整理 ,得 x124x14p2=0, x224x24p2=0, 所以 x x2是方程 x24x4p2=0的兩根 . 因此 x1+x2=4,x1x2=4p2. 又 pxpxxxx pxpxk AB 021122122222 ?????? , 所以 kAB=p2. 由弦長公式 , 得 22212212 1616414)(1|| ppxxxxkAB ???????. 又 |AB|=4 10 , 所以 p=1或 p=2. 因此所求拋物線方程為 x2=2y或 x2=4y. (3)解 :存在 .設(shè) D(x3,y3),由題意 ,得 C(x1+x2,y1+y2), 則 CD的中點坐標為 )2,2( 321321 yyyxxxQ ???? . 設(shè)直線 AB的方程為 )(101 xxpxyy ???, 由點 Q在直線 AB 上 ,并注意到點 )2,2( 2121 yyxx ?? 也在直線 AB上 , 代入 ,得303 xpxy ?. 若 D(x3,y3)在拋物線上 ,則 x32=2py3=2x0x3, 因此 x3=0或 x3=2x0, 即 D(0,0)或 D(2x0,px202 ). 用心 愛心 專心 ① 當 x0=0時 ,則 x1+x2=2x0=0,此時 , 點 M(0,2p)適合題意 . ② 當 x0≠0, 對于 D(0,0),此時022210222122210 422),2,2( px xxxpxxkpxxxC CD ????? , 又pxkAB 0?,AB⊥ CD, 所以 144 22221022210 ????????p xxpx xxpxkk CDAB, 即 x12+x22=4p2,矛盾 . 對于 )2,2( 200 pxxD,因為 C(2x0,pxx 22221 ? ),此時直線 CD平行于 y軸 , 又 00 ??pxkAB, 所以直線 AB 與直線 CD 不垂直 ,與題設(shè)矛盾 . 所以 x0≠0 時 ,不存在符合題意的 M點 . 綜上所述 ,僅存在一點 M(0,2p)適合題意 . (文 )如圖 ,直線 y=21 x 與拋物線 y=81 x24 交于 A、 B 兩點 ,線段 AB 的垂直平分線與直線 y=5交于點 Q. (1)求點 Q的坐標 。 (2)當 P 為拋物線上位于線段 AB下方 (含點 A、 B)的動點時 ,求 △OPQ 面積的最大值 . 解 :(1)解方程組??????????,481,212xyxy得??? ???? 2,411yx 或 ??? ?? ,4,822yx 即 A(4,2),B(8,4). 從而 AB 的中點為 M(2,1). 由 21?ABk,得線段 AB的垂直平分線方程為 y1=(2)179。(x 2). 令 y=5,得 x=5, 用心 愛心 專心 ∴Q(5, 5). (2)直線 OQ的方程為 x+y=0, 設(shè) P(x,81 x24). ∵ 點 P到直線 OQ 的距離 ,25|||,328|2812|481| 22 ??????? OQxxxxd ∴S △OPQ =21 |OQ|d=165 |x2+8x32|. ∵P 為拋物線上位于線段 AB 下方的點 , 且 P不在直線 OQ 上 , ∴ 4≤x4 3 4或 4 3 4x≤8. ∵ 函數(shù) y=x2+8x32在區(qū)間［ 4,8］上單調(diào)遞增 , ∴ 當 x=8時 ,△OPQ的面積取到最大值 30.
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