高二文科數(shù)學(xué)圓錐曲線基礎(chǔ)訓(xùn)練(含答案)-資料下載頁
2025-07-23 15:14本頁面
【正文】 ．（15分）已知橢圓C：以雙曲線的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．【解析】 (1)易知雙曲線的焦點為(－2,0)，(2,0)，離心率為，則在橢圓C中a＝2，e＝，故在橢圓C中c＝，b＝1，所以橢圓C的方程為 (2)①設(shè)M(x0，y0)(x0≠177。2)，由題易知A(－2,0)，B(2,0)，則kMA＝，kMB＝，故kMAkMB＝＝， 點M在橢圓C上，則，即，故kMAkMB＝，即直線MA，MB的斜率之積為定值。 ②解法一：設(shè)P(4，y1)，Q(4，y2)，則kMA＝kPA＝，kMB＝kBQ＝， 由①得，即y1y2＝－3，當(dāng)y10，y20時，|PQ|＝|y1－y2|≥2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝，y2＝－時等號成立．同理，當(dāng)y10，y20時，當(dāng)且僅當(dāng)，y2＝時，|PQ|有最小值. 解法二：設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y＝k(x＋2)，從而P(4,6k) 由①知直線MB的斜率為，則直線MB的方程為y＝(x－2)，故得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即|PQ|有最小值.
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