【正文】 (第 9 題圖 ) 第 39 頁 12． 某人租用一輛汽車由 A 城前往 B 城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示 . 若汽車行駛的平均速度為 80千米 /小時，而汽車每行駛 1 千米需要的平均費用為 元 . 試指出此人從 A 城出發(fā)到 B 城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費用最少為多少元？ 解： 從 A 城出發(fā)到達 B 城的路線分成如下兩類： （ 1）從 A 城出發(fā)到達 B 城，經(jīng)過 O 城 . 因為從 A 城到 O 城所需最短時間為 26小時，從 O 城到 B 城所需最短時間為 22 小時 . 所以，此類 路線所需 最短時間為26+22=48（小時） . ??（ 5 分） （ 2）從 A 城出發(fā)到達 B 城，不經(jīng)過 O 城 . 這時從 A 城到達 B 城，必定經(jīng)過 C，D， E 城或 F， G， H 城，所需時間至少為 49 小時 . ? ?（ 10 分） 綜上，從 A 城到達 B 城所需的最短時間為 48 小時，所走的路線為： A→ F→ O→ E→ B. ??（ 12分） 所需的費用最少為： 80 48 =4608（元）?（ 14 分） 答：此人從 A 城到 B 城最短路線是A→ F→ O→ E→ B，所需的費用最少為4608 元 ??（ 15 分） 13B． 如圖所示，在△ ABC 中，∠ACB=90176。 . （ 1）當點 D 在斜邊 AB 內(nèi)部時，求證： AB BDADBC BDCD ???222 . （ 2）當點 D 與點 A 重合時，第（ 1）小題中的等式是否存在？請說明理由 . （ 3）當點 D 在 BA 的延長線上時，第（ 1）小題中的等式是否存在？請說明理由 . 解： （ 1）作 DE⊥ BC，垂足為 E. 由勾股定理得 .)( )()(22222222BCBECEBECE DEBEDECEBDCD ???? ????? 所以 BCBEBCCEBC BECEBC BDCD ?????222 . 9 18 12 17 6 14 15 7 11 10 13 5 O B C D E A F G H (第 12 題圖 ) C A B D E 第 40 頁 因為 DE∥ AC，所以 ABBDBCBEABADBCCE ?? , . 故 AB BDADABBDABADBC BDCD ?????222 . ??（ 10 分） （ 2）當點 D 與點 A 重合時，第（ 1）小題中的等式仍然成立。此時有 AD=0， CD=AC， BD=AB. 所以 122222222 ??????? BCBCBC ABACBC BDCD ， 1????? ABABAB BDAD . 從而第（ 1）小題中的等式成立 . ??（ 13 分） （ 3）當點 D 在 BA 的延長線上時，第（ 1）小題中的等式不成立 . 作 DE⊥ BC，交 BC 的延長線于點 E，則 ,21222222BCCEBCBECEBCBECEBCBDCD????????? 而 1????? ABABAB BDAD , 所以 AB BDADBC BDCD ???222 . ??（ 15 分） 〖說明〗第（ 3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分） . 14B． 已知實數(shù) a， b， c 滿足： a+b+c=2， abc=4. （ 1）求 a， b， c 中的最大者的最小值； （ 2）求 cba ?? 的最小值 . 解： （ 1）不妨設 a 是 a， b， c 中的最大者，即 a≥ b， a≥ c， 由題設知 a0， 且 b+c=2a， abc 4? . 于是 b， c是一元二次方程 04)2(2 ???? axax 的兩實根， aa 44)2( 2 ????? ≥ 0， 1644 23 ??? aaa ≥ 0， )4)(4( 2 ?? aa ≥ 0. 所以 a≥ 4. ??（ 8 分） A B C D E 第 41 頁 又當 a=4， b=c=1時，滿足題意 . 故 a， b， c 中最大者的最小值為 4. ??（ 10分） （ 2）因為 abc0，所以 a， b， c 為全大于 0或一正二負 . 1） 若 a， b， c 均大于 0，則由（ 1）知， a， b， c 中的最大者不小于 4，這與a+b+c=2 矛盾 . 2）若 a， b， c 為或一正二負，設 a0， b0， c0，則 22)2( ?????????? aaacbacba ， 由（ 1）知 a≥ 4，故 2a2≥ 6，當 a=4， b=c=1時，滿足題設條件且使得不等式等號成立。故 cba ?? 的最小值為 6. ??（ 15分） 13A． 如圖所示，⊙ O 的直徑的長是關(guān)于 x 的二次方程 0)2(22 ???? kxkx （ k 是整數(shù)）的最大整數(shù)根 . P 是⊙ O 外一點，過點 P 作⊙ O 的切線 PA 和割線 PBC， 其中 A 為切點，點 B， C 是直線 PBC 與⊙ O 的交點 . 若 PA， PB， PC 的長都是正整數(shù)，且 PB 的長不是合數(shù)，求 222 PCPBPA ??的值 . 解： 設 方程 0)2(22 ???? kxkx 的兩個根 為 1x ， 2x ， 1x ≤ 2x .由根與系數(shù)的關(guān)系得 kxx 2421 ??? ， ① kxx ?21 . ② 由題設及①知， 1x ， 2x 都是整數(shù) . 從①，②消去 k， 得 42 2121 ??? xxxx ， 9)12)(12( 21 ??? xx . 由上式知， 42?x ，且當 k=0時， 42?x ，故最大的整數(shù)根為 4. 于是⊙ O 的直徑為 4，所以 BC≤ 4. 因為 BC=PC－ PB 為正整數(shù)，所以 BC=1， 2， 3或 4. ??（ 6分） B O C P A (第 13A 圖 ) 第 42 頁 連結(jié) AB， AC，因為∠ PAB=∠ PCA， 所以 PAB∽ △ PCA， PAPCPBPA? 。 故 )(2 BCPBPBPA ?? ③ ??（ 10分） （ 1）當 BC=1時，由③得， PBPBPA ?? 22 ，于是 222 )1( ??? PBPAPB ，矛盾！ （ 2） 當 BC=2時，由③得， PBPBPA 222 ?? ，于是 222 )1( ??? PBPAPB ，矛盾！ （ 3） 當 BC=3時，由③得， PBPBPA 322 ?? ，于是 PBPBPAPBPA 3))(( ??? ， 由于 PB 不是合數(shù)，結(jié)合 PBPAPBPA ??? ，故只可能 ??? ?? ?? ,3,1 PBPBPA PBPA ??? ?? ?? ,3PBPBPA PBPA ??? ?? ?? ,3 ,PBPA PBPBPA 解得 ??? ?? .1,2PBPA 此時 21222 ??? PCPBPA . （ 4）當 BC=4，由③得， PBPBPA 422 ?? ，于是 2222 )2(4)1( ?????? PBPAPBPBPB ，矛盾 . 綜上所述 21222 ??? PCPBPA . ?? （ 15分） 14A． 沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的 4 個數(shù) a， b， c， d 滿足不等式))(( cbda ?? 0，那么就可以交換 b， c 的位置，這稱為一次操作 . （ 1）若圓周上依次放著數(shù) 1， 2， 3， 4， 5， 6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓 周上任意依次相連的 4個數(shù) a， b， c， d， 都有 ))(( cbda ?? ≤0 ？請說明理由 . （ 2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著 2022個正整數(shù) 1， 2，?， 2022， 第 43 頁 問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的 4 個數(shù) a， b， c， d， 都有 ))(( cbda ?? ≤0 ？請說明理由 . 解： （ 1）答案是肯定的 . 具體操作如下： ??（ 5 分） （ 2）答案是肯定的 . 考慮這 2022 個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為 P. ??（ 7 分） 開始時， 0P =1 2+2 3+3 4+? +2022 2022+2022 1，經(jīng)過 k（ k≥ 0）次操作后，這 2022 個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為 kP ，此時若圓周上依次相連的 4 個數(shù) a，b， c， d 滿足不等式 ))(( cbda ?? 0， 即 ab+cdac+bd，交換 b， c 的位置后，這 2022個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為 1?kP ，有 0)()(1 ????????????? cdabbdaccdbcabbdcbacPP kk . 所以 11 ???? kk PP ，即每一次操作 ，相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少 1，由于相鄰兩數(shù)乘積總大于 0，故經(jīng)過有限次操作后，對任意依次相連的 4 個數(shù) a， b， c， d， 一定有 ))(( cbda ?? ≤0 . ? (1－ 4)(2－ 3)0 交換 2， 3 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 (1－ 2)(3－ 4)0 交換 3， 4 1 3 2 4 5 6 (3－ 6)(2－ 5)0 交換 2， 5 1 3 2 4 5 6 (3－ 5)(2－ 4)0 交換 2， 4 第 44 頁 2022 年 “TRULY174。信利杯 ”全國初中數(shù)學競賽試題 參考答案和評分標準 一、選擇題（共 5 小題，每小題 6分，滿分 30 分 . 以下每道小題均給出了代號為A， B， C， D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的 . 請將正確選項的代號填入題后的括號里 . 不填、多填或錯填得零分） 1. 已 知實數(shù) ba? ，且滿足 )1(33)1( 2 ???? aa ， 2)1(3)1(3 ???? bb . 則baaabb ?的值為（ ） . （ A） 23 （ B） 23? （ C） 2? （ D） 13? 答 ：選（ B） ∵ a、 b 是關(guān)于 x 的方程 ? ? 03)1(31 2 ????? xx 的兩個根，整理此方 程，得 0152 ??? xx ， ∵ 0425 ???? ， ∴ 5???ba ， 1?ab . 故 a、 b 均為負數(shù) . 因此 ? ? 232222 ????????????? ab abbaabab baabbaababbaaabb . 2. 若直角三角形的兩條直角邊長為 a 、 b ，斜邊長為 c ，斜邊上的高為 h ，則有 （ ） . （ A） 2hab? （ B） hba 111 ?? （ C）222 111 hba ?? （ D） 222 2hba ?? 答 ：選（ C） ∵ 0??ha ， 0??hb ， ∴ 2hab? ， 22222 2 hhhba ???? ； 因此，結(jié)論（ A）、（ D）顯然不正確 . 第 45 頁 設斜邊為 c，則有 cba ?? ， abchhba 2121)(21 ??? ，即有 hba 111 ?? ， 因此，結(jié)論（ B）也不正確 . 由 abhba 2121 22 ?? 化簡整理后，得222 111 hba ??， 因此結(jié)