初中數(shù)學(xué)競賽試題-資料下載頁
2025-07-23 10:20本頁面
【導(dǎo)讀】利用全等△或相似多邊形；利用圓中的等量關(guān)系等。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證。明a=p，即所謂“截長補(bǔ)短”，角的問題仿此進(jìn)行。直接用已知的定理。的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。利用兩線平行與垂直的判定定理。利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于。CD，連結(jié)BE交CD于F。構(gòu)造兩個(gè)全等△。連結(jié)ED、AC、AF。連結(jié)OF、OP、OB。已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：∠O1AO2=∠M1AM2?！鸇E=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠?！螦BC平分線距離的2倍。AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。延長HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。
【正文】 ， 2， 3 時(shí)，得整數(shù)對分別為（ 31， 1519）、（ 124，1116）和（ 279， 775） .當(dāng) t＞ 3 時(shí) y?x 不合題意，因此不同的整數(shù)對的個(gè)數(shù)是 3，故應(yīng)選（ C） . 解法 2 ∵1984= ∴ 由此可知： x 必須具有 31t2形式， y 必須具有 31k2形式，并且 t+k=8（ t， k 均為正整數(shù)） .因?yàn)?0＜ x＜ y，所以 t＜ t=1，k=7 時(shí)得（ 31， 1519）； t=2， k=6 時(shí)得（ 124， 1116）；當(dāng) t=3， k=5 時(shí)得（ 279， 775） .因此不同整數(shù)對的個(gè)數(shù)為 3. 練習(xí)二十 1. 選 擇題 (1)方程 x2y2=105 的正整數(shù)解有 ( ). （ A） 一組 （ B）二組 （ C）三組 （ D）四組 (2)在 0,1,2,? ， 50 這 51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被 2， 3， 4 整除的有（ ） . （ A） 3 個(gè) （ B） 4 個(gè) （ C） 5 個(gè) （ D） 6 個(gè) 2．填空題 （ 1）的個(gè)位數(shù)分別為 _________及 _________. (2)滿足不 等式 104?A?10 5的整數(shù) A 的個(gè)數(shù)是 x179。10 4+1，則 x 的值________. (3) 已知整數(shù) y 被 7 除余數(shù)為 5,那么 y3被 7 除時(shí)余數(shù)為 ________. (4) (全俄第 14 屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題 )求出任何一組滿足方程 x251y2=1 的自然數(shù)解 x 和 y_________. 3.(第 26 屆國際數(shù)學(xué)競賽預(yù)選題 )求三個(gè)正整數(shù) x、 y、 z 滿足 . 4．（ 1985 年上海數(shù)學(xué)競賽題）在數(shù)列 4， 8， 17， 77， 97， 106， 125， 238 中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是 3 的倍數(shù)，而不是 9 的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？ 5．求 的整數(shù)解 . 6．求證 可被 37 整除 . 7．（全俄 1986 年數(shù)學(xué)競賽題）求滿足條件 的整數(shù) x， y 的所有可能的值 . 8．（ 1985 年上海初 中數(shù)學(xué)競賽題）已知直角三角形的兩直角邊長分別為 l 厘米、 m厘米，斜邊長為 n 厘米，且 l， m， n 均為正整數(shù)， l 為質(zhì)數(shù) .證明： 2（ l+m+n）是完全平方數(shù) . 9.(1988 年全國初中數(shù)學(xué)競賽題 )如果 p、 q、 、 都是整數(shù)，并且 p＞ 1，q＞ 1，試求 p+q 的值 . 練習(xí)二十 . 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可變形為 x2=(7y+1)2+2y(y7),令 y=7 可得 x=50. x?y?z, 則 ,故 x?3. 又有 故 x?2. 若 x=2,則 ,故 y? ,故 y?4. 若 y=4,則 z= y=5,則 z= y=6,則 z 無整數(shù)解 .若 x=3,類似可以確定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整數(shù) . 2 解 . ,然后將方程變形為 y=5+x2 要使 y 為整數(shù) ,5x1 應(yīng)是完全平方數(shù) ,?, 解得 ≡8(mod37),∴8888 2222≡8 2(mod37). 7777≡7(mod37),7777 3333≡7 3(mod37),88882222+77773333≡(8 2+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N. :原方程變形為 3x2(3y+7)x+3y27y=0由關(guān)于 x 的二次方程有解的條件 △?0及 y 為整數(shù)可得 0?y?5, 即 y=0,1,2,3,4, ,原方程 僅有兩組解 (4,5)、 (5,4). 8.∵l 2+m2=n2,∴l(xiāng) 2=(n+m)(nm).∵l 為質(zhì)數(shù) ,且 n+m＞ nm＞ 0,∴n+m=l 2,nm=l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l21,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1) 2(l+m+1)是完全平方數(shù) . p≠q, 不妨設(shè) p＞ =n,則 m＞ n 由此可得不定方程(4mn)p=m+2,解此方程可得 p、 q 之值 .
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