2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽歷年競賽試題及參考答案-資料下載頁
2024-12-23 14:53本頁面
【正文】 角形 ABC， BC CA? ， AD， BE 是它的 兩條高，過點C 作 △ ABC 的外接圓的切線 l ，過點 D， E 分別作 l 的垂線，垂足分別為 F， G． 試比較線段 DF 和 EG 的大小 ， 并證明你的結(jié)論 ． 解 法 1： 結(jié)論是 DF EG? ． 下面給出證明 ． ……………… 5 分 因為 FCD EAB? ?? ，所以 Rt△ FCD ∽ Rt△ EAB． 于是可得 CDDF BE AB??． 同理可得 CEEG AD AB??． ……………… 10 分 又因為 ta n A D B EA C B C D C E? ? ?，所以有 BE CD AD CE? ? ?，于是 可 得 DF EG? ． ……………… 20 分 解法 2： 結(jié)論是 DF EG? ． 下面給出證明 ． ……………… 5 分 連接 DE，因為 90A D B A E B? ? ? ? ?，所以 A， B， D， E四點共圓，故 CED ABC? ?? ． ……………… 10 分 又 l 是⊙ O 的過點 C 的切線，所以 ACG ABC? ?? ． ……………… 15 分 所以， CED ACG? ?? ，于是 DE∥ FG，故 DF＝ EG． ……………… 20 分 （第 13A 題） （第 13A 題） 14． n 個正整數(shù) 12 na a a， ， ， 滿足如下條件： 121 2 0 0 9na a a? ? ? ? ?； 且 12 na a a， ， ， 中任意 n－ 1 個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求 n 的最大值． 解 ： 設(shè) 12 na a a， ， ， 中去掉 ia 后剩下的 n－ 1 個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù) ib ，12in? ， ， ， ．即 12()1 nii a a a ab n? ? ? ?? ?． 于是 ，對于任意的 1≤ ij? ≤ n，都有 1jiijaabb n??? ? ， 從而 1 ( )jin a a??． ……………… 5 分 由于 11 202111nn aabb nn?? ? ???是正整數(shù)，故 31 2 251n??． ……………… 10 分 由于 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 11n n n n na a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ≥ ? ? ? ? ? ? 21 1 1 ( 1 )n n n n? ? ? ? ? ? ? ?， 所以， 2( 1)n? ≤ 2021，于是 n ≤ 45. 結(jié)合 31 2 251n??，所以， n ≤ 9． ……………… 15 分 另一方面，令 1 2 38 0 1 , 8 1 1 , 8 2 1a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?，…， 8 8 7 1a ? ? ? ， 9 8 251 1a ? ? ? ，則這 9個數(shù)滿足題設(shè)要求． 綜上所述， n 的最大值為 9. ……………… 20 分
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